模糊離差

羅揚(yáng)華

摘 要 本文對(duì)投資組合量化問(wèn)題做出了一些模型，對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量進(jìn)行一定的研究，也給出了模糊離差——熵來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)的方法，這個(gè)方法由收益率的期望和離差消除投資分配的不確定性。于是就建立了熵度量風(fēng)險(xiǎn)的組合投資優(yōu)化模型，得出該模型能很好的計(jì)算到了證券市場(chǎng)決策中各種各樣的影響因素，也能說(shuō)明作投資就要分散風(fēng)險(xiǎn)這一想法，如果預(yù)期收益到達(dá)一定水準(zhǔn)時(shí)，這能給投資者們提供了一個(gè)更加科學(xué)安全的投資方法。

關(guān)鍵詞 模糊離差 熵 投資組合優(yōu)化實(shí)證分析

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1模糊熵的概念和性質(zhì)

1968年Zadeh在提出模糊集概念的基礎(chǔ)上首次定義了伴隨概率分布的模糊熵。

假定（L=…，一下所有L都成立）為一個(gè)有限模糊集合，對(duì)應(yīng)的概率集合，則模糊熵公式為：

（1-1）

其中，為模糊集合的隸屬度函數(shù)。

若存在另一獨(dú)立有限模糊集合，對(duì)應(yīng)概率集合為，則存在：

（1-2）

其中，

在此基礎(chǔ)上，1972年De Luca和Termini對(duì)Zadeh的模糊熵表達(dá)式進(jìn)行了修正，提出了只依賴(lài)于可能性理論的模糊熵表達(dá)式。

加入n個(gè)事件，而且規(guī)定每次就只能有一件事發(fā)生，那么只要最終結(jié)果不是已經(jīng)被認(rèn)定為0或者是1的話(huà)，則可以當(dāng)作存在模糊不確定性，設(shè) 的隸屬度為，，，定義模糊熵：

（1-3）

1.1基于模糊熵的投資組合模型

一般來(lái)說(shuō)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)出現(xiàn)也就是一開(kāi)始的組合投資期望收益相比較無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益來(lái)說(shuō)是要高的，這樣的話(huà)就會(huì)給人帶來(lái)很高的收益同時(shí)也要付出讓人痛苦萬(wàn)分的風(fēng)險(xiǎn)。所以對(duì)于投資者能否準(zhǔn)確的判定價(jià)格走勢(shì)也就意味著能否風(fēng)險(xiǎn)遠(yuǎn)離投資者的關(guān)鍵所在。

假設(shè)一組模糊變量代表不同證券的模糊收益狀況代表不同證券的投資比例。

2000年Tanaka在MV模型的基礎(chǔ)上建立了模糊環(huán)境下的MV模型：

（1-4）

其中，代表模糊環(huán)境下的方差，代表模糊環(huán)境下的期望收益率。

進(jìn)一步地，模型可改寫(xiě)為：

（1-5）

其中代表第i種證券的模糊收益期望，代表第i種證券模糊收益的方差。

考慮到方差指標(biāo)依然存在諸多缺陷，2008年Huang在Liu和Zhang的基礎(chǔ)上建立了模糊熵模型.定義離散變量的模糊熵：

（1-6）

其中 （1-7）

依循MV模型的思想建立如下兩種模型，第一種是在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下，以最高收益作為目的的函數(shù)的模型：

（1-8）

第二種則是以固定的收益水準(zhǔn)下，最小風(fēng)險(xiǎn)作為目的的函數(shù)的模型：

在該模型中，模糊熵代表著收益分布，想要收益分布集中就要求得它的最小值，值越小收益分布越集中。一般來(lái)說(shuō)，處理非公制數(shù)據(jù)使用模糊熵組合投資是更為明智的做法，這也從側(cè)面反映出模糊熵更有優(yōu)越性。但是，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中，前輩們的一些均值模型要求得最優(yōu)組合會(huì)出現(xiàn)各種失衡問(wèn)題，讓過(guò)多的投資資金放在少數(shù)證券上是非常不聰明的做法，這跟分散風(fēng)險(xiǎn)是背道而馳的。則，我們可以建立模型來(lái)分析這些問(wèn)題。

2基于離差——熵度量風(fēng)險(xiǎn)的組合投資優(yōu)化研究

2.1離差——熵模型的建立

假如金融市場(chǎng)上可進(jìn)行操作的證券有 N種，投資者在里面選種進(jìn)行組合投資。表示第 i種證券的收益率， 表示第 i種證券的投資比例，則均值離差模型為：

（3-1）

該均值離差模型體現(xiàn)出了當(dāng)投資者的收益水準(zhǔn)達(dá)到u0時(shí)，則投資組合風(fēng)險(xiǎn)就能達(dá)到最小，其中風(fēng)險(xiǎn)度量為收益平均絕對(duì)離差。為證券的收益率， 為投資比例，因?yàn)樽C券收益率是隨機(jī)變量，所以投資比例也是隨機(jī)變量。那么該模型可以認(rèn)為是第i種證券投資概率，那么就是第n種證券投資的概率分布律。則當(dāng)模型達(dá)到時(shí)，那么它的結(jié)果擁有不確定性。用熵來(lái)衡量決策行為的不確定性是完全沒(méi)問(wèn)題的，而且不確定性的大小就是度量，想要收益穩(wěn)定就要讓這些不確定性遠(yuǎn)離我們。描述投資分配不確定性的熵極大化，即：

（3-2）

因此，當(dāng)期望收益的水準(zhǔn)保持一定的值，而卻還要對(duì)自己的投資分配比例了解的清清楚楚，此時(shí)想要收益平均絕對(duì)離差風(fēng)險(xiǎn)變小，那么：

（3-3）

另一方面為使收益穩(wěn)定，還需要考慮式（3-2），于是建立如下證券組合投資的離差-熵模型：

（3-4）

投資者一開(kāi)始期望的收益水準(zhǔn)若有不確定性，那么一定是收益的平均絕對(duì)離差也存在不確定性，該模型的風(fēng)險(xiǎn)度量則是這兩者的不確定性，以投資者的收益為作為首要條件，若想要投資組合風(fēng)險(xiǎn)是最小，那么這是一個(gè)多目標(biāo)的規(guī)劃問(wèn)題。設(shè)為第 i種證券在第期隨機(jī)變量的實(shí)際值， 用樣本數(shù)近似代替

于是模型（3-4）轉(zhuǎn)化為

（3-5）

模型（3-5）可化為等價(jià)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

（3-6）

為解此模型，可將其轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

（3-7）

若，那么它的風(fēng)險(xiǎn)度量是收益的平均絕對(duì)值，而且該模型會(huì)變成模型（3-1）。式中是參數(shù)，由實(shí)際問(wèn)題以及計(jì)算方便程度等情況來(lái)取值，這是風(fēng)險(xiǎn)的平衡系數(shù)。

3結(jié)論

本文對(duì)投資組合量化問(wèn)題做出了一些模型，對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量進(jìn)行一定的研究，也給出了模糊離差——熵來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)的方法，該方法由收益率的期望和離差消除投資分配的不確定性。則建立了熵度量風(fēng)險(xiǎn)的組合投資優(yōu)化模型，得出該模型能很好的計(jì)算到了證券市場(chǎng)決策中各種各樣的影響因素，該模型也能說(shuō)明作投資就要分散風(fēng)險(xiǎn)的想法，如果預(yù)期收益到達(dá)一定水準(zhǔn)時(shí)，這能給投資者們提供了一個(gè)更加科學(xué)安全的投資方法。

參考文獻(xiàn)

[1] Zadeh，L.A. Probability measures of Fuzzy events[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications，1968， 23（02）：421-427.

[2] Luca，A.D.&S.Termini.Algebraic; properties of fuzzy sets[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications， 1972， 40（02）：373-386.

[3] Tanaka.K.Stable Switching Fuzzy Control and Its Application to a Hovercraft Type Vehicle[J]. FUZZ-IEEE 2000， 2000.

[4] Huang，Z.&Q.Shen.Fuzzy; Interpolation and Extrapolation： A Practical Approach[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2008， 16（01）：13-28.