求解交通流LWR模型方程的高效數(shù)值方法研究

馮娟娟　楊苗苗

摘 要 對于交通流LWR模型的數(shù)值求解，單元交界面處采用五階WENO-Z+重構(gòu)，時間方向的推進采用強穩(wěn)定的三步三階Runge-Kutta方法。從而得到了一種高精度、高分辨率以及數(shù)值穩(wěn)定的WENO-Z+格式。結(jié)果顯示，對激波有良好的捕捉效果，在間斷區(qū)域沒有非物理振蕩，是模擬交通流LWR模型的理想方法。

關(guān)鍵詞 交通流 高精度 高分辨率

中圖分類號：TP301.6 文獻標(biāo)識碼：A

1概述

對于交通流理論的研究始于上世紀三十年代，最初是應(yīng)用概率論方法分析交通流量和車速的關(guān)系，1933年Kinzer首次將Poisson分布應(yīng)用于交通流的分析。在Greenshields的研究基礎(chǔ)上，Lighthill和Whitham與Richards各自獨立提出了交通流連續(xù)介質(zhì)理論（trafficflowcontinuumtheory），即現(xiàn)在通常所指的LWR模型。LWR模型有易于實現(xiàn)計算的特點，同時從實際的應(yīng)用來看，對于交通管理和信號燈控制有良好的模擬效果。因此LWR模型具有重要的理論和實際意義，本文以該模型為研究對象。

2 LWR模型

交通流LWR模型的質(zhì)量守恒微分形式以及速度公式如下：

其中

為時間，為距離，為車流密度，為最大限速，為阻塞密度。交通流LWR模型的偏微分方程為雙曲形式，具有明確的質(zhì)量守恒意義。

3五階WENO-Z+重構(gòu)

WENO方法，是近年來廣泛使用的一種高分辨率數(shù)值計算方法，主要用于雙曲守恒律方程的數(shù)值求解。WENO方法是在ENO格式的基礎(chǔ)上加權(quán)構(gòu)造的，其性能更穩(wěn)定，對定常問題收斂性更好，它能保證在解的光滑區(qū)精度更高，在解的間斷區(qū)保持陡峭的間斷過渡和本質(zhì)無振蕩的優(yōu)良性質(zhì)。然而，WENO格式在極值點處精度會降低（例如五階WENO格式在極值點處會降為三階）。所以，為了提高WENO格式在極值點處的精度，Borges等通過構(gòu)造全局高階光滑因子的方式，提出五階WENO-Z格式。通過增大非光滑模板所對應(yīng)的非線性權(quán)重的方式構(gòu)造了WENO-Z+格式，該格式具有比五階WENO-Z格式更低的耗散性。此格式在解的光滑區(qū)域有更好的分辨率，在激波和間斷區(qū)域可以保持之前的穩(wěn)定性。

它的新奇之處是在經(jīng)典WENO格式下添加了全局光滑因子，這樣可以提高精度，全局光滑因子是之前光滑因子的一個線性組合。例如，一般情況下，對于五階WENO-Z格式，全局光滑因子為。

為了減少WENO-Z的耗散，在非光滑模板上增加一個可控的量，理想條件下，它需要滿足的要求是：在非光滑模板上，其數(shù)值隨著的增大而增大以提高分辨率，但是如果在模版內(nèi)解出現(xiàn)間斷時，為防止振蕩的出現(xiàn)以及數(shù)值不穩(wěn)定，其數(shù)值隨著的增大而減小。定義。其中是非光滑模板權(quán)重的一個細微增量，實驗結(jié)果表明取時，效果最好。因此得到了WENO-Z+的非歸一化非線性權(quán)重為：

在時間方向的推進采用三階的Runge-Kutta方法：

參考文獻

[1] Acker，F(xiàn).&R.; B. D. R. Borges&B.; Costa.An improved WENO-Z scheme[J]. J. Comput. Phys.，2016（313）：726-753.