關(guān)于“繩拉物體牽連速度”問題的再思考

郭培東 熊建民

摘 要：繩拉物體牽連速度問題是運(yùn)動的合成與分解問題的難點，教師在授課中一般都只是簡單地將船速沿繩和垂直于繩子方向分解。讓學(xué)生感覺有點“突兀”和“玄乎”，本文分別用中學(xué)與大學(xué)的數(shù)學(xué)方法定量分析速度關(guān)系，從而對速度的合成與分解起到深化理解的作用。

關(guān)鍵詞：牽連速度；加速度；速度的合成與分解

如圖1所示，用輕繩以恒定速率v0沿水平方向通過定滑輪牽引小船靠岸，當(dāng)繩與水面夾角為θ時，求此時船靠岸的速度。

一、 教師常見教法

（一） 從運(yùn)動的合成與分解角度分析

在繩牽引小船的運(yùn)動過程中，小船在水平面上運(yùn)動，就是合運(yùn)動，所以小船在水平面上運(yùn)動的速度即是合速度，如圖2將合速度分別沿繩和垂直于繩方向分解得：v0=v船cosθ，使繩收縮；v1=v船cosθ，使繩繞定滑輪上的一點轉(zhuǎn)動；所以v船=v0cosθ。

（二） 從能量轉(zhuǎn)化及守恒角度分析

人對繩做功等于繩對船所做的功；人對繩的拉力為F，則對繩做功的功率為Fv0；繩對物體的拉力，由定滑輪的特點可知，拉力大小也為F，則繩子對物體做功的功率為Fv船cosθ；所以v船=v0cosθ。

學(xué)生對這兩種解法常常感到突兀與懷疑。我們用位移和時間的關(guān)系分別按照中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)方法求出小船此時的速度。

二、 用位移和時間的關(guān)系

（一） 中學(xué)數(shù)學(xué)方法

如圖3：經(jīng)t時間后，小船（船頭）由A運(yùn)動到B，由勾股定理得：

Hsinθ-v0t2=H2+Htanθ-s2 ①

s=2Hcotθ-4H2cot2θ-8Hv0tsinθ+4v02t22 ②

所以v船=dsdt=H2cot2θ-2Hv0tsinθ+v02t2-12Hv0sinθ-v20t ③

所以t=0時，小船在A點的速度即為v船=v0cosθ ④

（二） 大學(xué)數(shù)學(xué)方法

由圖4可知：L2=H2+X2 ⑤

將上式對時間t求導(dǎo)，得

2LdLdt=2xdxdt ⑥

所以v0=-dLdt，v船=-dxdt

即v船=-dxdt=-LxdLdt=Lxv0=v0cosθ ⑦

那么，此時小船的加速度等于多少呢？小球的加速度隨角度的變化情況是怎樣的呢？

（1）中學(xué)數(shù)學(xué)方法：③式對t求導(dǎo)

a=dv船dt=-v20H2cot2θ-2Hv0tsinθ-v20t2-12+Hv0sinθ-v20t2

H2cot2θ-2Hv0tsinθ-v20t2-32 ⑧

所以t=0時，小船在A點的加速度為

a=v20tan3θH ⑨

（2）大學(xué)數(shù)學(xué)方法：⑦式對t求導(dǎo)

a=dv船dt=XdLdt-Ldxdtx2v0=-v0x+Lv船x2v0

=-x+L2xv20x2=H2v20x3=

v20H-1tan3θ B10

說明兩種方法船的加速度是相同的，而且其加速度會隨著角度的增大而增大，其原因不多贅述。

綜上所述，小船靠岸的過程中，如果勻速拉動繩子，小船的速度是逐漸增大的，加速度也是逐漸增大的，如此定量地分析小船和繩子的速度關(guān)系，從而升華了學(xué)生對速度的合成與分解的思維能力。

作者簡介：郭培東，熊建民，福建省漳州市，廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)。