高中數(shù)學解題中如何回避分類討論

龔世杰

摘 要 分類討論是高中數(shù)學學習中的一種重要的思想方法，分類討論對學生思維能力要求比較高，嚴謹?shù)乃伎际欠诸愑懻摰幕A(chǔ)，學生學習分類討論的方法時，總是會遇到分類不清，考慮不周全等問題，并且分類討論過程都比較反鎖，所以如何回避分類討論也是需要掌握的技巧，特別是解決選擇填空問題時，更加有效。

關(guān)鍵詞 分離參數(shù) 正難則反 變換主元 特殊值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

學生在處理需要分類討論的問題時，經(jīng)常會因思路混亂而無法得出正確答案，面對有些問題中，如何避免討論也是學生需要具備的一種能力，對于分類討論問題，能回避則回避，本文總結(jié)了學生學習過程中可能會遇見的能避免討論的常見問題。

1分離變量回避討論

在導數(shù)的學習中，經(jīng)常會涉及到求參數(shù)的取值范圍，對于含參數(shù)的函數(shù)問題，分類討論十分普遍，分離參數(shù)是最常見的避免討論的方法，分離參數(shù)學生容易掌握，其主要思想是通過分離參數(shù)，得到參數(shù)與具體函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到參數(shù)的范圍。

例1：設(shè)函數(shù)f（x）=ax22x+2，對于任意的10，求實a數(shù)的取值范圍。

解析：由題可分離參數(shù)，將a分離出來，則只需要證明a大于等于右式最大值即可，由導數(shù)易得實數(shù)a的取值范圍是a>。若從二次函數(shù)的角度來處理本題，需要討論二次函數(shù)開口方向及對稱軸與定義域的大小關(guān)系，從而需要進行復雜的分類討論，當a>0時，由拋物線的圖像得a>；當a<0時，經(jīng)計算端點值解得x∈ ； 當a=0時，不合題意舍去。由上述過程可見分離參數(shù)的辦法使得整個問題的處理變得簡潔。

2變換主元回避討論

含參數(shù)的問題中，學生習慣性的認為函數(shù)中自變量就是x，其實自變量與參數(shù)是相互的，當我們把x看做參數(shù)，參數(shù)就可以看成是自變量，在有些問題中，已知一個參數(shù)的范圍求另一個參數(shù)的范圍時，可以將已知范圍的參數(shù)作為自變量，使得問題得到簡化，在中學數(shù)學的學習中常見的是二次或高次函數(shù)與一次函數(shù)的變換，將曲線的問題變換成直線的問題來解決，從而避免分類討論。

例2：若不等式x2+px>4x+p3對一切0≤p≤4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍。

解析：由題可將原式變?yōu)橐詐為自變量的函數(shù)，顯然它是關(guān)于p的一次函數(shù)，則要使命題成立，只要有兩個端點處都為正，解得x>3或x<1，本題可以利用二次函數(shù)的零點來處理，則需要分類討論。需要分三種情況：（1）當p=2時，x≠1；（2）當21；（3）當0≤p<2時，即x<1或x>3，綜上可得，對任意0≤p≤4均成立，取交集可得x<1或x>3。由過程可見，分類討論的方法較為復雜，并且對學生的要求很高。

3正難則反回避討論

在面對至少，至多等問題時，正面考慮可能會遇到多重情況的討論，此時可考慮從反面考慮，得到參數(shù)范圍之后，再求參數(shù)范圍的補集。

例3：已知方程4x2ax+1=0在（0，1）內(nèi)至少有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：從反面考慮若方程4x2ax+1=0在（0，1）內(nèi)沒有實根，再通過分離參數(shù)，易得a<4。若從正面解決該問題，需要分以下幾種情況：（1）當方程原有兩個相等實根時，即a=4時，有根符合題意。當a=4時不和題意舍去，故a=4；（2）當方程4x2ax+1=0有兩個不等實根時，由根的分布通過分兩個情況可得a>4。綜上可得實數(shù)a的取值范圍是a≥4。從兩種解法上看，本題從反面考慮時就回避了原方程在（0，1）內(nèi)有一根或兩個不相等的實根或兩個相等實根的討論，簡化了過程，但是從反面考慮方程沒有實根，因為是定區(qū)間上的討論，也需要討論跟與區(qū)間端點的討論本解法又采用了分離參數(shù)的辦法回避了討論，整個過程簡單清晰，學生更容易掌握和理解，若從正面解決，需要利用二次函數(shù)根的分布并且需要討論方程根的個數(shù)，相對復雜，因此正難則反的思想也是非常有效的解題策略。

4特殊值法回避討論

特殊值法是通過一些特殊值得到參數(shù)的范圍，則參數(shù)的范圍為該范圍的子集，從而縮小了參數(shù)的范圍，達到避免討論的目的，該方法的重點是合理的選取特殊點，特別是區(qū)間的端點及區(qū)間內(nèi)的整數(shù)點。

例4：已知函數(shù)f（x）=x33（a1）x26ax，當a>0時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：f'（x）=3x36（a1）x6a，因為f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則f'（x）在區(qū)間[1，2]上恒正或恒負，而：f'（1）=3<0，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，二次函數(shù)f'（x）在區(qū)間[1，2]上恒負，易得a≥。如果本題不適用特殊的點縮小考慮范圍，則需要討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減兩種情況，在每種情況之下，又需要討論二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，需再進行分類討論，解題過程會非常繁瑣。

解題的方法并不是唯一的，要從多方面去考慮問題，找到最優(yōu)的解法，如下例題的解法。

例5：設(shè)f（x）=ax33x+1，若對于x∈[1，1]總有f（x）≥0成立，求a的值。

解析：由題知f（x）在[1，1]上非負，所以由端點處的值，得2≤a≤4，求導的導函數(shù)的兩根，由a得范圍可知，不許討論，導數(shù)的兩根均在[1，1]內(nèi)，所以由導數(shù)容易得a≥4。本題若分離參數(shù)也可以解決，過程相對復雜，所以要在解題方法中選擇最優(yōu)解可以提高解題效率。

避免討論的方法還有很多，本文只從以上四種類型探究了避免分類討論的方法，學生在處理涉及到需要討論的問題時，如果能靈活使用上述方法，解決問題的能力將有所提升。

參考文獻

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