正項級數(shù)斂散性判別法的研究

摘 要：級數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，正項級數(shù)是級數(shù)的重要組成部分。正項級數(shù)的斂散性判別對于級數(shù)的研究是至關重要的。本文在已有結(jié)論的基礎之上結(jié)合一些例題歸納總結(jié)了正項級數(shù)斂散性判別的幾種基本方法和判別技巧。

關鍵詞：級數(shù)；正項級數(shù)；斂散性；判別法；技巧

一、 引言

作為數(shù)學分析中一個非常重要的理論，級數(shù)是表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具。在各種級數(shù)中，正項級數(shù)是最基本的，也是十分重要的一種級數(shù)。研究正項級數(shù)的主要問題是判別正項級數(shù)的斂散性。為此，本文歸納總結(jié)了正項級數(shù)斂散性的一些判別法，希望對數(shù)學分析的學習有一定的促進作用。

二、 幾種基本判別法

（一） 定義判別法

定義1：正項級數(shù)∑∞n=1un的前n項和的極限值存在，則級數(shù)收斂。

（二） 定理判別法

定理1：級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)∑∞n=1an收斂，則limn→∞an=0，反之不成立。

定理1的逆否命題：若limn→∞an≠0，則級數(shù)∑∞n=1an發(fā)散。

（三） 比較判別法

定理2：設∑un與∑vn是兩個正項級數(shù)，若N*對n>N，有un≤vn，

則：（1） 若級數(shù)∑vn收斂，則級數(shù)∑un也收斂；

（2） 若級數(shù)∑vn發(fā)散，則級數(shù)∑un也發(fā)散。

推論：設∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正項級數(shù)，若limn→∞unvn=l，

則：（1） 當0

（2） 當l=0時，且級數(shù)∑∞n=1vn收斂時，級數(shù)∑∞n=1un也收斂；

（3） 當l=+∞時，且級數(shù)∑∞n=1vn收斂時，級數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散。

（四） 比式判別法

定理3：設∑un為正項級數(shù)，有某正數(shù)N0及常數(shù)q（0

（1） 若對一切n>N0，成立不等式un+1un≤q，則級數(shù)∑un收斂；

（2） 若對一切n>N0，成立不等式un+1un≥1，則級數(shù)∑un發(fā)散。

推論1：若∑un為正項級數(shù)，且limn→∞un+1un=q，

則：（1） 當q<1時，級數(shù)∑un收斂；（2） 當q>1或q=+∞時，級數(shù)∑un發(fā)散。

推論2：設∑un為正項級數(shù)，且limn→∞nun=l，

則：（1） 當l<1時，級數(shù)∑un收斂；（2） 當l>1時，級數(shù)∑un發(fā)散。

（五） 根式判別法

定理4：設∑un為正項級數(shù)，有某正數(shù)N0及常數(shù)l，

（1） 若對一切n>N0，成立不等式nun≤l<1，則級數(shù)∑un收斂；

（2） 若對一切n>N0，成立不等式nun≥1，則級數(shù)∑un發(fā)散。

推論1：設∑un為正項級數(shù)，limnun=l，

則：（1） 當l<1時，級數(shù)∑un收斂；

（2） 當l>1時，級數(shù)∑un發(fā)散；

（3） 當l=1，級數(shù)∑un的收斂性不定。

推論2：設∑un為正項級數(shù)，

（1） 若limn→∞un+1un=q<1，則級數(shù)收斂；

（2） 若limn→∞un+1un=q>1，則級數(shù)發(fā)散。

（六） 高斯判別法

定理5：設an+1an=1-pn+θnn1-μθn，有界μ>0，則當p>0時，∑∞n=1an收斂；當p≤1時，∑∞n=1an發(fā)散。

（七） 拉貝判別法

定理6：設∑an為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)N0，常數(shù)r，

（1） 若對一切n>N0成立不等式n1-an+1an≥r>1，則級數(shù)∑an收斂。

（2） 若對一切n>N0成立不等式n1-an+1an≤1，則級數(shù)∑an發(fā)散。

推論：設∑an是正項級數(shù)，且極限limn→∞n1-an+1an=r存在，則：（1） 當r>1時，級數(shù)∑an收斂；（2）當r<1時，級數(shù)∑an發(fā)散。

三、 正項級數(shù)斂散性的判別技巧

（一） 用等價無窮小量代換

例1 判別級數(shù)∑∞n=1n1n2+1-1的斂散性。

解：此為正項級數(shù)，由于n→∞時，n1n2+1-1=elnnn2+1-1～lnnn2+1<1n32。

而∑∞n=11n32收斂，所以∑∞n=1n1n2+1-1收斂。

（二） 利用泰勒公式

例2 判別級數(shù)∑∞n=2（-1）n[n+（-1）n]p（p>0）的斂散性

解：由泰勒公式（1+x）α=1+αx+o（x）知

（-1）n[n+（-1）n]p=（-1）nnp1+（-1）nn-p=（-1）nnp1-p（-1）nnp+o1n

=（-1）nnp-pnp+1+o1np+1

而∑∞n=2（-1）nnp當01時絕對收斂；

∑∞n=2pnp+1與∑∞n=21np+1當p>0時絕對收斂。

所以，當00）條件收斂；當p>1時，絕對收斂。

（三） 利用洛必達法則

例3 判別級數(shù)∑∞n=11-lnnnn的斂散性

解：un=1-lnnnn=enln1-lnnn，

limn→∞un1n=limn→∞nun=limn→∞elnn+nln1-lnnn，

令x=1n，則lnn+nln1-lnnn=-lnx+1xln（1+xlnx），由洛必達法則得

limx→0-xlnx+ln（1+xlnx）x=0，故limn→∞un1n=1。

由∑∞n=11n發(fā)散知，∑∞n=1un發(fā)散。

四、 總結(jié)

要想用最簡便的方法解決正項級數(shù)斂散性判別問題，需要了解和掌握對其中常見的判別法，做到靈活運用。總之，在對其斂散性進行判別時要從正項級數(shù)和判別法的特點出發(fā)，選擇最恰當?shù)姆椒▽ζ溥M行判別。

參考文獻：

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[2]汪皎月.正項級數(shù)斂散性判別法的推廣及應用[N].貴州師范學院學報，2015，31（3）：6-9.

[3]楊鐘玄.對正項級數(shù)斂散性判別法的關系的一些探討[N].新疆大學學報（自然科學版），2002，19（3）：266-271.

作者簡介：

姜畔，吉林省長春市，吉林師范大學。