二項式系數(shù)和斐波那契數(shù)高次方的一種關(guān)系

摘 要：本文用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)方法研究了二項式系數(shù)和斐波那契數(shù)高次方的一種關(guān)系，給出了兩者之間恒等式，并進(jìn)行了證明。

關(guān)鍵詞：二項式系數(shù)；斐波那契數(shù)；卷積

一、 引言及主要結(jié)果

眾所周知，二項式定理：如果對于任意整數(shù)n和i滿足n≥i≥0，則（a+b）n=∑ni=0nian-ibi。稱其中的ni是二項式系數(shù)，且ni=n！i?。╪-i）！（1）

由（1）可知，ni一定是一個正整數(shù)。根據(jù)二項式定理，對于任意的復(fù)數(shù)x，得到

（1+x）n=nixi（2）

對于任意的非負(fù)整數(shù)l，令Fl是第l個斐波那契數(shù)（Fl=αl-βlα-β），Ll是第l個Lucas數(shù)（Ll=αn+βn）。對于任意給定的非負(fù)整數(shù)k，正整數(shù)m和n，定義nini=0和{Fmk+i}ni=0的卷積為f（k，m，n），其中

f（k，m，n）=n0Fmk+n1Fmk+1+…+nnFmk+n=∑ni=0niFmk+i（3）

文獻(xiàn)[2-4]已解決m=1，m=2，m=3的卷積計算問題，得到如下結(jié)論：

f（k，1，n）=Fk+2n（4）

f（k，2，n）=5n2L2k+n，2|n5n-12F2k+n，2|n（5）

f（k，3，n）=15（2nF3k+2n-（-1）k+n3+Fk-n），k≥n，15（2nF3k+2n+3Fn-k），k

其中Fk+2n，F(xiàn)2k+n，F(xiàn)3k+2n，F(xiàn)k-n分別表示第k+2n個，第3k+2n個，第2k+n和第k-n個斐波那契數(shù)，L2k+n表示第2k+n個Lucas數(shù)。以上結(jié)論啟發(fā)思考：對于斐波那契數(shù)的高次方是否存在相似結(jié)論？對于任意非負(fù)整數(shù)k和已給定正整數(shù)n，記f（k，4，n）是nini=0和{F4k+i}ni=0的卷積，其中f（k，4，n）=n0F4k+n1F4k+1+…+nnF4k+n。（7）

定理 對于任意給定的非負(fù)整數(shù)k，正整數(shù)n，定義nini=0和{F4k+i}ni=0的卷積為f（k，4，n），則

f（k，4，n）=155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。（8）

二、 證明

證明：對于任意給定的非負(fù)整數(shù)l，由Fl=αl-βlα-βα=1+52，β=1-52，得到

F4l=αl-βl54=125（α4l-4α3lβl+6α2lβ2l-4αlβ3l+β4l）（9）

=125（α4l-4（-1）lα2l+6（-1）2l-4αlβ3l+β4l）（10）

由（3）和（10），得到

f（k，4，n）=∑ni=0niF4k+i=125∑ni=0ni（α4（k+i）-4（-1）（k+i）α2（k+i）+6（-1）2（k+i）-4（-1）（k+i）β2（k+i）+β4（k+i））（11）

由（3），可以推得

∑ni=0niα4i=（1+α4）n，∑ni=0niβ4i=（1+β4）n（12）

所以，

f（k，4，n）=125∑ni=0ni（α4k+4i-4（-1）（k+i）α2k+2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k+2i+β4k+4i））

=125α4k∑ni=0niα4i-4（-1）（k+i）α2k∑ni=0niα2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k∑ni=0niβ2i+β4k∑ni=0niβ4i

=1553n（α4k+2n+β4k+2n）-4（-1）（k+i）5n+1α2k+n-β2k+n5+6

=155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。

其中，1-α=β，1-β=α，αβ=-1，1+α4=3α2，1+β4=3β2，1+α2=5α

類似地，可以得到斐波那契數(shù)5次方或者更高次方的結(jié)論。但公式過于復(fù)雜，不再贅述。

作者簡介：

車雨紅，陜西省渭南市，渭南師范學(xué)院。