初中數(shù)學(xué)等差數(shù)列問(wèn)題的有效教學(xué)探究

◆閆嵐子

等差數(shù)列是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，然而等差數(shù)列常以探索型問(wèn)題提前出現(xiàn)在初中階段，表現(xiàn)為給出一列數(shù)、一列等式、一列圖形的前幾項(xiàng)，要求通過(guò)觀察、分析、歸納、總結(jié)、猜想等方式推出一般性的結(jié)論；或是給出一個(gè)圖形，要求學(xué)生探索圖形成立的條件及其變化規(guī)律。教師在講授這類(lèi)問(wèn)題時(shí)既不能像對(duì)待高中生那樣用嚴(yán)密的邏輯推理導(dǎo)出通項(xiàng)公式和求和公式，更不能直接給出公式讓學(xué)生死記硬背應(yīng)付考試，也不能放任肆意猜想，思維散而難收，學(xué)生即使偶爾做對(duì)題目，也有碰運(yùn)氣的成分在里面。如何就此問(wèn)題做到有效教學(xué)，乃至學(xué)生做到高效學(xué)習(xí)，是每個(gè)數(shù)學(xué)教師思考的問(wèn)題。下面，筆者根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就有效解決這類(lèi)問(wèn)題作一個(gè)初步的探究。

1 等差數(shù)列變化規(guī)律的分析與總結(jié)

雖然初中階段還沒(méi)有正式學(xué)習(xí)數(shù)列，但代數(shù)式意義、字母表示數(shù)、代數(shù)式表示簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握并能熟練應(yīng)用。用含n的代數(shù)式表示數(shù)列第n項(xiàng)是探究數(shù)列變化規(guī)律的目的也是手段。

1.1 等差數(shù)列的第n項(xiàng)的表示

一列數(shù)中，前后相鄰兩項(xiàng)數(shù)的差都相等的數(shù)列叫等差數(shù)列

以下是常見(jiàn)的等差數(shù)列(n為正整數(shù)，也是序數(shù))

自然數(shù)：1,2,3,4,…n

偶數(shù)：2,4,6,8,…2n

奇數(shù)：1,3,5,7,…2n-1

3的倍數(shù):3,6，9， …3n

相差3的數(shù):4，7，10，...

=3×1+1，3×2+1,3×3+1，…3n+1

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：

自然數(shù)是相差1的等差數(shù)列，相差1的等差數(shù)列第n項(xiàng)是n

偶數(shù)和奇數(shù)都是相差2的等差數(shù)列,相差2的等差數(shù)列第n項(xiàng)含2n

相差3的等差數(shù)列的第n項(xiàng)是含3n

【歸納】等差數(shù)列相差的數(shù)與用n表示的第n項(xiàng)有一定的關(guān)系，相差多少就是多少n，即相差k就是kn；再令n=1讓含n的代數(shù)式值等于數(shù)列的第一個(gè)數(shù)即首數(shù)，從而確定出用含n的代數(shù)式表示的第n項(xiàng)。

例：4,6,8,10,… 相差2就是2n令n=1,2n+2=4，則2n+2是該數(shù)列的第n項(xiàng)。

5,11,17 ,… 相差 6就是 6n令n=1,6n-1=5,則6n-1是該數(shù)列的第n項(xiàng),并驗(yàn)證正確。

由此可以容易得：

（1）相差1的數(shù)列

（2）相差2的數(shù)列

（3）相差3的數(shù)列

相差k就是kn，即第n項(xiàng)是kn±b

1.2 等差數(shù)列的應(yīng)用

1.2.1 探索結(jié)論成立的條件

觀察上面一列算式，你發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律。

第n行n2+n=n×(n+1)

答案：n2+n=n(n+1)

1.2.2 探索圖形變化規(guī)律

探索圖形變化規(guī)律：從圖形的生成入手，需要靠想象，讓第一圖和第二個(gè)圖形重疊，多余出來(lái)部分就是增加的數(shù)，依次把第二個(gè)圖形和第三個(gè)圖形重疊；除了靠想象外，也可以用筆涂出前面的圖形，沒(méi)有涂過(guò)的為多余部分，再看每次多余出來(lái)的部分是否完全一樣，如果一樣，即為等差數(shù)列，快速寫(xiě)出第n項(xiàng)；如果不一樣，可以觀察每次多余出數(shù)的特點(diǎn)，再根據(jù)特點(diǎn)找出規(guī)律，列出第n項(xiàng)。也可以從數(shù)字特點(diǎn)上出發(fā)，找出規(guī)律。

(1)(2008·湛江)為了慶祝“六·一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽如圖所示：

按照上面的規(guī)律，擺n個(gè)“金魚(yú)”需要火柴的根數(shù)為（）

A．4+4nB.8+6nC.2+6nD.8n

【解析】想象圖1和圖2重疊，圖2和圖3重疊，多余部分都是,即圖形依次多出6個(gè)火柴棒，為相差6的等差數(shù)列，第一個(gè)圖的根數(shù)是8，即首項(xiàng)是8。多6為6n當(dāng)n=1時(shí)6n+2=8第n個(gè)圖形的根數(shù)為6n+2

答案：C

（2）（海南省中考）用同樣黑色棋子按如圖所示的方式擺放，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要棋子________枚(用含n的代數(shù)式表示)

【解析】把前面圖和后面的圖重合，均多出,即多3，第1個(gè)圖有4枚棋子即首項(xiàng)是4，多3就是3n,當(dāng)n=1時(shí)，3n+1=4，所以第n個(gè)圖形有3n+1枚棋子

答案：3n+1

(3)下列是同型號(hào)黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。仔細(xì)觀察圖形完成圖④并寫(xiě)出第n個(gè)圖形有多少塊黑色的瓷磚（用含n的代數(shù)式表示）

【分析】用重疊或涂抹得出的多余部分均不一樣，依次多余出的數(shù)為2,3,4…。從圖形的生成特點(diǎn)上觀察出：第1個(gè)圖1

第2個(gè)圖1+2

第3個(gè)圖1+2+3

……

第n個(gè)圖1+2+3+…+n

而1+2+3+…+n為等差數(shù)列的和，如何計(jì)算等差數(shù)列的和是我們下面要解決的問(wèn)題

2 探究等差數(shù)列的求和公式

2.1 三角形數(shù)1+2+3+4+…+n=?

數(shù)學(xué)家高斯在讀小學(xué)二年級(jí)時(shí)，老師出了這樣一道計(jì)算題

1+2+3 +…+100=?

高斯很快得出了答案，他的計(jì)算方法是：

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，意思是數(shù)是宇宙萬(wàn)物的要素，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的點(diǎn)子或小石子，根據(jù)點(diǎn)子或小石子的排列的形狀把整數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。 13610…這些數(shù)叫三角形數(shù)如圖示

應(yīng)用已知一列數(shù)：1，-2，3,-4,5,-6，7,…將這列數(shù)排成下列形式

按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)是________。

【解析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：數(shù)列偶數(shù)為負(fù)，奇數(shù)為正，每行末尾數(shù)的絕對(duì)值為三角形數(shù)

計(jì)算第10行的上一行第9行末尾數(shù)絕對(duì)值為:

則第10行左數(shù)5個(gè)數(shù)為-50

2.2 三角形數(shù)1+2+3+4+…+n=

（1）2+4+6+8+…+2n=?

由：2+4+6+8+10+12+14 (n=7)

應(yīng)用1找規(guī)律

（1）如圖，第1個(gè)中有幾個(gè)正方體？第2個(gè)中有幾個(gè)正方體？第3個(gè)中呢？

（2）照?qǐng)D示的方法擺下去，第5個(gè)中有幾個(gè)正方形？第10個(gè)中有幾個(gè)正方形？第n個(gè)呢？

2根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律，試寫(xiě)出第10個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)，并猜測(cè)第n個(gè)圖形有_______________個(gè)點(diǎn)。

【解析】圖1：1+0

總之，在求解規(guī)律問(wèn)題時(shí)，應(yīng)有效引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，合理推理，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)、猜想、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想，并由此獲得探索問(wèn)題的一般方法和技巧，從而使學(xué)生達(dá)到高效學(xué)習(xí)。