跳擴(kuò)散模型隨機(jī)利率下期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

李浩然，姚素霞

(1.上海大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海市200444；2.河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

一、引言

Black與Scholes在1973年提出了非常著名的期權(quán)定價(jià)公式，即Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式[1]。眾所周知， Black-Schole模型下的期權(quán)定價(jià)公式對(duì)金融市場(chǎng)的假設(shè)很強(qiáng)，這意味著，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用范圍相對(duì)較窄。為適應(yīng)更廣泛的金融市場(chǎng)假設(shè)，業(yè)界在Black-Scholes模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行了成效卓著的改進(jìn)以及推廣研究工作[2-4]。

期權(quán)定價(jià)雖然在金融市場(chǎng)上應(yīng)用很廣泛，但是有時(shí)金融市場(chǎng)會(huì)存在不完備性，或者不滿足非均衡條件，上述文獻(xiàn)的定價(jià)公式將不再適用。鑒于此，文獻(xiàn)[5]初次提出解決以上問題的辦法，也就是期權(quán)保險(xiǎn)定價(jià)的方法，即把期權(quán)定價(jià)中有關(guān)定價(jià)的問題轉(zhuǎn)化成公平保費(fèi)問題來研究等。更多關(guān)于期權(quán)的保險(xiǎn)定價(jià)的研究可以參見文獻(xiàn)[6-8]等。在以上文獻(xiàn)模型中，全都假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)或者時(shí)間函數(shù)。另外，把無風(fēng)險(xiǎn)利率視為常數(shù)或僅為時(shí)間的確定函數(shù)并不能很好地描述無風(fēng)險(xiǎn)利率的變化特征。

本文是在假設(shè)利率過程服從Hull-White模型和跳躍服從Poisson過程的框架下，得出了模型保險(xiǎn)的定價(jià)公式及其證明過程。

二、市場(chǎng)模型和基本假設(shè)

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格模型{St,t≥0}滿足如下廣義Poisson跳擴(kuò)散模型：

dSt= [μ(t)-λ(t)γ]St-dt+σ(t)St-dBt

+JSt-dNt，

(1)

其中，{Bt}表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程，σ(t)>0，λ(t)≥0。Nt表示價(jià)格在[0,t]區(qū)間內(nèi)跳躍次數(shù)， 并假定Nt強(qiáng)度為λ(t)的Poisson過程，而且與Bt獨(dú)立。隨機(jī)變量J為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程中跳躍的大小，并假設(shè)滿足：J>-1，且

設(shè)債券的價(jià)格模型{Pt,t≥0}服從如下的模型：

dPt=r(t)Ptdt,P0=1,

(2)

其中r(t)表示在t時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率， 它滿足如下的Hull-White短期利率過程：

dr(t)=[α(t)-β(t)r(t)]dt+σr(t)dWt，

(3)

其中α(t)和β(t)是漂移參數(shù)函數(shù)，σr(t)是擴(kuò)散參數(shù)函數(shù)，{Wt}是定義在完備的濾子概率空間{Ω,F,Ft,P}上標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程，并假定它與J和Nt獨(dú)立，且Wt與Bt的相關(guān)系數(shù)為ρ。

下面給出期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)的有關(guān)概念，可以參見文獻(xiàn)[5]。

在[0,T]中，0表示期權(quán)開始的時(shí)間，T為期權(quán)到期日。首先給出如下定義：

(4)

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型{St}，成熟日T，敲定價(jià)格K，C(K,T)為歐式看漲期權(quán)t=0價(jià)格，P(K,T)為看跌期權(quán)在t=0價(jià)值，則在到期日T，期權(quán)被執(zhí)行充分必要條件[9]：

歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行條件：

歐式看跌期權(quán)被執(zhí)行條件：

其中r(t)表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。則由定義2得到：

(5)

(6)

其中IA表示事件A的示性函數(shù)。

三、隨機(jī)利率下期權(quán)保險(xiǎn)定價(jià)公式

本節(jié)我們主要討論期權(quán)的定價(jià)問題，首先給出引理1和引理2。

引理1[9]假設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(0,1)，η～N(0,1)，且Cov(ξ,η)=ρ，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,c,d,k,有

E[exp{cξ+ηd}Iaξ+bη≥k]

引理2 廣義Poisson跳-擴(kuò)散模型(1)的解為

(7)

其中S0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在時(shí)刻零的價(jià)格變量。

定理1 設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程{St,t≥0}滿足廣義Poisson跳-擴(kuò)散模型(1)，無風(fēng)險(xiǎn)利率滿足Hull-White短期利率模型(3)，則歐式看漲期權(quán)的保險(xiǎn)定價(jià)公式的顯式表達(dá)式和買權(quán)與賣權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系分別為：

(8)

(9)

其中Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，

這里A(T)=

證明：由于J1,J2,…,JNt獨(dú)立同分布，且與過程N(yùn)t獨(dú)立，則我們有

又有

我們有

故有

由Hull-White短期利率模型(3)和It公式得[8]:

又因?yàn)?/p>

等價(jià)于

(10)

為書寫方便，記

則(10)式可以表示為：

對(duì)于給定的正整數(shù)n，由于

則由引理1和全數(shù)學(xué)期望公式可得：

因此(8)式成立，同理 (9)式成立。