空間立體投影問題及其數(shù)學(xué)應(yīng)用探析

潘夢雅

摘 要：投影法是解決數(shù)學(xué)幾何問題的重要方法，投影變換可以將一些復(fù)雜的問題簡單化。對空間立體投影問題進行分析，將投影思想運用到數(shù)學(xué)解題中，能提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：幾何；投影；應(yīng)用；教學(xué)效率；教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）23-0074-01

投影法是解決數(shù)學(xué)幾何問題的重要方法，投影變換可以將一些復(fù)雜的問題簡單化。本文介紹了如何運用投影理論解決空間幾何體投影問題，在理解和掌握投影思想和方法后，就可以運用投影原理將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。

一、空間立體投影問題

求空間立體在坐標(biāo)面上的投影時，可以依據(jù)投影曲線（即空間立體在坐標(biāo)面上的投影）的封閉性，分兩種情況進行討論。一是可以先分別求出組成該空間立體的幾個曲面在坐標(biāo)面上的投影，再找出這些投影的公共部分即可得到該空間立體在坐標(biāo)面上的投影。二是如果無法判斷投影曲線的封閉性，可用后一種方法求立體的投影，這種方法不易出錯。

例1：求錐面z= 與柱面z2=2x所圍立體在xoz面上的投影面積。

解：令y=0，可求得z=|x|，所以錐面z= 在xoz面的投影為z=-x與z=x（z≥0）之間的區(qū)域。

而易知柱面z2=2x在xoz面的投影為z2=2x這條拋物線（由于是求所圍成的立體在xoz面的投影，可以將柱面z2=2x在xoz面的投影視為這條拋物線內(nèi)部的區(qū)域）。

轉(zhuǎn)化為二維平面上的問題，即求平面xoz面上z=-x與z=x（z≥0）之間的區(qū)域與拋物線z2=2x內(nèi)部的區(qū)域的重疊部分。做出xoz面，可以清楚地表示這個所求區(qū)域為在z=x（z≥0）之上的部分與z2=2x所包含的區(qū)域的重疊部分。

可得投影面積為S= dz dx= 。

（在另外兩個坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域可類似得到）。

二、投影的數(shù)學(xué)應(yīng)用

解決投影問題時，可以將與面積、坐標(biāo)相關(guān)的曲面積分轉(zhuǎn)化為曲面在其投影區(qū)域上的二重積分，再進行運算。計算空間閉曲線上的曲線積分時，可以用斯托克斯公式將其先轉(zhuǎn)化為曲面積分，再轉(zhuǎn)化為在曲面投影區(qū)域上的二重積分來進行計算。而在確定三重積分時，不管是利用直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系還是球面坐標(biāo)系，都可以將空間曲線或者空間立體投影到坐標(biāo)面上，再根據(jù)投影區(qū)域來確定積分變量的變化范圍。

例2：設(shè)一個立方體由上半球面z= 與錐面z= 所圍成，求它在平面xoy上的投影區(qū)域。

分析：由圖1可知，此投影區(qū)域是封閉的，于是可以直接求該空間幾何體在平面xoy上的投影區(qū)域。

解：聯(lián)立兩曲面z= z= ，消去z，得x2+y2=1，這也是關(guān)于xoy平面的投影柱面，故立方體在xoy平面的投影面方程為：x2+y2≤1。

同理可得在另外兩個坐標(biāo)面上的投影面的方程。

例3：計算 dv，其中V為由x2+y2-z2=0與z=1所圍成的封閉區(qū)域。

分析：可以用“投影法”求解，具體解題方法如下。

解：如圖2所示，不妨設(shè)V在xoy面下的投影區(qū)域為D，聯(lián)立x2+y2-z2=0z=1，消去z得x2+y2=1，所以有D：x2+y2≤1，按柱坐標(biāo)變換x=rcosθy=rsinθz=z，（0≤r<+∞，0≤θ≤2π，-∞

綜上所述，投影法是解決數(shù)學(xué)幾何問題的重要方法，投影變換可以將一些復(fù)雜的問題簡單化，能讓學(xué)生更好地對空間立體投影問題進行分析。教師將投影思想運用到數(shù)學(xué)幾何問題的解題過程中，能夠有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因此，教師在解決空間幾何問題的過程中，要積極運用投影理論，將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何知識。

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