高阻尼人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的共振頻率研究

傅 豪 葉 茂 徐梅玲

(廣州大學(xué)/廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心,廣州 511400 )

0 引 言

隨著結(jié)構(gòu)材料、工藝的不斷更新,結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出了跨度越來(lái)越大、整體越來(lái)越柔的特點(diǎn),使得結(jié)構(gòu)自振頻率越來(lái)越低,人群的荷載作用致使結(jié)構(gòu)更容易被誘發(fā)振動(dòng),此種現(xiàn)象在大跨度結(jié)構(gòu)中尤為突出。2010年,山西藏山舉行的某大型活動(dòng)中,搭建的臨時(shí)看臺(tái)突然坍塌事件,導(dǎo)致數(shù)名人員受傷[1],孫昊[2]提出,在靜止站立的單個(gè)人或人群會(huì)改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性,所以人體自身對(duì)于結(jié)構(gòu)有著重要的影響。因此,實(shí)際工程中考慮人體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響是必要的。目前,關(guān)于人體-結(jié)構(gòu)相互作用的研究主要分為兩方面:人體生物動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[3]。在人體生物動(dòng)力學(xué)中,Y.Matsumoto和Griffin[3]主要通過(guò)研究人體表觀質(zhì)量,分析人體靜止站立的自然頻率:其中,人體靜止站立時(shí)水平方向的自振頻率為0.5 Hz左右[4],豎直方向?yàn)?～6 Hz[5],并結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬[5]。在土木工程領(lǐng)域,早期研究人員將人體簡(jiǎn)化為附加質(zhì)量作用于結(jié)構(gòu)上,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)自振頻率減小,阻尼不變,這與實(shí)際測(cè)結(jié)構(gòu)不相符。直到1987年,Foschi和Gupta基于體系阻尼增加的現(xiàn)象,提出了人體應(yīng)當(dāng)被簡(jiǎn)化為一個(gè)有阻尼的動(dòng)力模型[7]。再后來(lái),Eills和Ji將人體簡(jiǎn)化為單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼體系(SDOF)[8]和考慮質(zhì)量器單自由度及兩自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼體系[9-10]。E.Shahabpoor等[11]同樣采用單自由度體系分體人體在結(jié)構(gòu)上行走時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。國(guó)內(nèi)這方面的研究較少,楊予等[11]將人體站立豎直方向振動(dòng)等效為單自由度模型進(jìn)行參數(shù)研究,王海等[13]采用SDOF研究人體與梁相互作用的動(dòng)力學(xué)模型以及其耦合作用時(shí)體系的響應(yīng)。

已有的研究成果,有將人體簡(jiǎn)化為單自由度質(zhì)量-彈簧體系,這種模型的缺點(diǎn)是無(wú)法解釋人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的第二階共振頻率低于結(jié)構(gòu)頻率的特性[8]。同時(shí),以往研究人員在探討人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性時(shí),采用系統(tǒng)的固有頻率來(lái)代替共振頻率進(jìn)行討論[13],這種簡(jiǎn)化對(duì)于低阻力的系統(tǒng)是能夠接受的,但人體的高阻尼特性,使得這種簡(jiǎn)化在分析人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力特性時(shí)存在一定的問(wèn)題?；谝陨嫌懻?本文將人體簡(jiǎn)化為兩自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)[6],并結(jié)合Griffin[4]關(guān)于兩自由度人體模型參數(shù),提出了三自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型,并以共振頻率為研究對(duì)象,探討人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性。

1 人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型

高阻尼三自由度人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型如圖1所示,其中上面兩自由度用于模擬人體。其中兩自由度人體模型對(duì)應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量為M1、M2,模態(tài)剛度為K1、K2,模態(tài)阻尼為C1、C2。該三自由度模型的最下面一個(gè)自由度用于模擬結(jié)構(gòu),MS、KS、CS分別為結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼。采用x1、x2、xs分別表示三自由度M1、M2、MS的位移。F為對(duì)結(jié)構(gòu)施加簡(jiǎn)諧荷載(Ps(t)=P0sinωt)的激振器,S為拾振器,用于采集結(jié)構(gòu)在激振器作用下的加速度和位移,并計(jì)算共振頻率。

2 人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)共振頻率

圖1所示三自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼模型的運(yùn)動(dòng)方程下:

圖1 人-結(jié)構(gòu)體系模型Fig.1 Models of human-structure interaction

(1)

式中:

對(duì)式(1)進(jìn)行傅里葉變換,變形得:

式中:

(2)

其中:

Z(ω)=[-MSω2+i(CS+C1)ω+(KS+K1)][-M2ω2+i(C2+C1)ω+(K2+K1)][-M2ω2+iC2ω+K2]-

(iC1ω+K1)2[-M2ω2+iC2ω+K2]-(iC2ω+K2)2[-MSω2+i(CS+C1)ω+(KS+K1)]

通過(guò)式(1)和式(2),可得結(jié)構(gòu)加速的頻率響應(yīng)函數(shù):

ω2H11(ω)=

(3)

其中:

式(3)加速度頻響函數(shù)的極大值點(diǎn)為系統(tǒng)的共振點(diǎn),對(duì)該式求導(dǎo),如下式所示:

(4)

要使式(3)的計(jì)算結(jié)果為系統(tǒng)的共振點(diǎn),計(jì)算結(jié)果應(yīng)滿足式下式:

(5)

由式(4)知影響體系共振頻率的因素有8個(gè):α,α1,β1,β2,ξ1,ξ2,ξS和MS,其中MS為常數(shù)對(duì)方程(4)的根無(wú)影響,不影響體系的共振頻率。在本文中,結(jié)構(gòu)的阻尼比取ξS=0.01,于是主要影響體系響應(yīng)共振頻率的因子為6個(gè),即:質(zhì)量比α,α1,阻尼比ξ1,ξ2,頻率比β1,β2(取β2=εβ1,故分析ε即可)。

3 人體模型參數(shù)

曼徹斯特大學(xué)JI教授團(tuán)隊(duì)[9]發(fā)表了關(guān)于豎直方向人-結(jié)構(gòu)相互作用實(shí)驗(yàn)研究成果,測(cè)得單人(66.4 kg)站立于平臺(tái)、4人(276.7 kg)站立于平臺(tái)時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的加速度如圖3所示。其中該試驗(yàn)豎直固有頻率為2.88 Hz,模態(tài)質(zhì)量為180 kg,低阻尼體系。

根據(jù)人體生物學(xué),Griffin等[6]關(guān)于人體豎直方向兩自由度模型(圖2)的參數(shù),計(jì)算得到質(zhì)量比為α=1.46,阻尼比為ξ1=0.37、ξ2=0.4,圓頻率為ω1=87.34 rad/s、ω2=37.45 rad/s。于是,頻率比β1=4.83、β2=2.07,質(zhì)量比為α=1.46,JI的試驗(yàn)中,單人站立時(shí)有α1=0.21,4人時(shí)有α1=0.89。

將上述Griffin中人體模型參數(shù),帶入體系加速度頻響函數(shù)式(3)中,并通過(guò)MATLAB繪制圖形如圖4所示。圖中縱坐標(biāo)為體系的加速度頻響譜值A(chǔ)11(λ),橫坐標(biāo)為體系振動(dòng)頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率的比值λ。將圖4中模擬的結(jié)果與圖3中進(jìn)行對(duì)比得:單人站立平臺(tái)時(shí)(圖4(a)),試驗(yàn)中出現(xiàn)了一個(gè)比原結(jié)構(gòu)頻率低的共振頻率,與試驗(yàn)的結(jié)果相符合(圖3(a));4人站立于平臺(tái)時(shí),將模擬結(jié)果(圖4(b))與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖3(b))對(duì)比知:圖中出現(xiàn)了與試驗(yàn)結(jié)果相近的兩個(gè)頻率,這也與試驗(yàn)現(xiàn)象符合。但是,在圖4(a)中,Griffin模型計(jì)算得到的結(jié)果在0～15 Hz范圍內(nèi)處還有出現(xiàn)一個(gè)共振值(5.429 Hz),但是Ji的實(shí)驗(yàn)中并沒(méi)有識(shí)別這個(gè)結(jié)果,而圖4(b)則展現(xiàn)出結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常相符,這應(yīng)該與人-結(jié)構(gòu)耦合程度(4人站立時(shí),人-結(jié)構(gòu)耦合更加明顯)和測(cè)試分析技術(shù)的靈敏度有關(guān)。

上述與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析表明,本文提出的高阻尼人-結(jié)構(gòu)三自由度模型能較好地描述人-結(jié)構(gòu)相互作用。為此,本文將以本模型為基礎(chǔ),對(duì)高阻尼人-結(jié)構(gòu)三自由度模型進(jìn)行系統(tǒng)分析,探討人與結(jié)構(gòu)間的質(zhì)量比、頻率比、阻尼比對(duì)人-結(jié)構(gòu)體系共振頻率的影響規(guī)律。

圖2 兩自由度人體模型模型(Griffin )Fig.2 TDOF of human body model (Griffin )

圖3 加速度響應(yīng)譜圖(JI)Fig.3 Spectral response for acceleration (JI)

圖4 模擬的加速度響應(yīng)譜圖(式(5))Fig.4 Spectral response for acceleration (Equation (5))

4 數(shù)值分析

將人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為三自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼模型,通過(guò)理論分析得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)加速度頻響函數(shù)解析式(4),可知影響體系共振頻率主要因子有:兩自由度人體模型模態(tài)質(zhì)量比(α)、阻尼比(ξH1、ξH2),以及人與結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量比(α1、α2)、頻率比(β1、β2)等。通過(guò)結(jié)合Griffin兩自由度人體模型參數(shù),分別對(duì)α1,β1,ξ1,ξ2進(jìn)行定值數(shù)值分析。如秦敬偉等[15]展開單人一簡(jiǎn)支梁系統(tǒng)靜態(tài)耦合下人梁質(zhì)量比、頻率比、阻尼比、人體位置等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)豎向振動(dòng)特性影響的理論研究中,分別獨(dú)立的來(lái)研究對(duì)體系共振頻率的影響,在研究其中一個(gè)參數(shù),如頻率比時(shí),其他參數(shù)為定值,通過(guò)其數(shù)值分析導(dǎo)出的共振頻率影響圖來(lái)判斷對(duì)結(jié)構(gòu)整體共振頻率的影響。則本文其結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量比α1,頻率比β1,阻尼比ξ1、ξ2四個(gè)參數(shù),也是分別獨(dú)立討論,研究其對(duì)體系共振頻率的影響。

結(jié)構(gòu)的阻尼比取ξS=0.01,人體阻尼比為0.1～0.5[5,16]。

圖5中為研究各個(gè)影響因子對(duì)體系共振頻率的影響情況,縱軸為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的加速度頻率譜值,橫軸為體系振動(dòng)頻率與結(jié)構(gòu)基頻的比值λ,表2為對(duì)應(yīng)圖中極大值對(duì)應(yīng)的λ值。

圖5(a)及表2(a)為人體與結(jié)構(gòu)頻率比β1對(duì)體系共振頻率的影響情況;其中,β1分別取0.1、

圖5 各種參數(shù)對(duì)體系共振頻率的影響圖Fig.5 Effects of parameters on presence of resonance frequencies

表2各種參數(shù)對(duì)體系共振頻率的影響

Table 2Effects of parameters on resonance frequencies

1.2、2.4、3.6,α=1.46,α1=0.25,ξ1=0.37,ξ2=0.4,ε=0.429。在此參數(shù)數(shù)取值情況下:隨β1的增加,體系的共振頻率成增大的趨勢(shì);同時(shí),針對(duì)頻率比β1,取(0,6)間隔為0.01的數(shù)值逐項(xiàng)計(jì)算知,當(dāng)β1的取值在[3.47,6.00]內(nèi)時(shí),體系出現(xiàn)三個(gè)共振頻率;取值在[0.44,0.87]內(nèi)時(shí),出現(xiàn)一個(gè)共振頻率,其他情況均出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率。

圖5(b)及表2(b)為人體模型m1與結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量比α1對(duì)體系共振頻率的影響情況;α1取值為0.1、0.5、1.0、1.5,α=1.46,β1=2.5,ξ1=0.37,ξ2=0.4,ε=0.4。由于自由度m1占人體模型總質(zhì)量的0.574倍,故人體模型總質(zhì)量與結(jié)構(gòu)的比值為α1/0.574。此參數(shù)數(shù)取值情況下:體系第一個(gè)共振頻率隨質(zhì)量比α1的增加而成減小的趨勢(shì);同時(shí),針對(duì)質(zhì)量比α1,取(0,6)間隔為0.01的數(shù)值逐項(xiàng)計(jì)算知,當(dāng)α1的取值在[1.41,1.90]內(nèi)時(shí)(人體模型總質(zhì)量與結(jié)構(gòu)的比值取值為[2.46,3.31]),體系出現(xiàn)三個(gè)共振頻率,其他情況均出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率。

圖5(c)及表2(c)和圖5(d)及表2(d)分別表示人體阻尼比ξ1、ξ2對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)加速度響應(yīng)情況的影響,其中α=1.46、α1=0.25、β1=1.5、ε=0.429:在ξ2=0.4時(shí),阻尼比ξ1對(duì)體系第一階共振頻率的影響甚小;隨著ξ1的增加,第二個(gè)共振頻率呈增大的趨勢(shì);在ξ1=0.37時(shí),隨著ξ2的增加,第二個(gè)共振頻率呈減小的趨勢(shì),且當(dāng)ξ2取值較小時(shí)出現(xiàn)三個(gè)共振頻率,且前兩階頻率均小于原結(jié)構(gòu)固有頻率。同時(shí),針對(duì)阻尼比ξ2,取(0,0.5)間隔為0.001的數(shù)值逐項(xiàng)計(jì)算知,當(dāng)ξ2的取值在(0,0.208]內(nèi)時(shí),體系出現(xiàn)三個(gè)共振頻率,其他情況均出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率;同樣范圍內(nèi),分析ξ1的影響時(shí),體系只出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率。于是,可認(rèn)為阻尼比ξ2對(duì)共振頻率的影響比ξ1的影響更明顯。

通過(guò)對(duì)每個(gè)影響因子,進(jìn)行逐項(xiàng)數(shù)值分析可知:當(dāng)采用Griffin的人體模型參數(shù)分析時(shí),頻率比β1對(duì)人-結(jié)構(gòu)相互作用體系出現(xiàn)一個(gè)共振頻率的影響,比質(zhì)量比α1的影響更大;當(dāng)質(zhì)量比頻率比取特定的值時(shí),體系會(huì)出現(xiàn)一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)共振頻率。針對(duì)人-結(jié)構(gòu)相互作用的三自由度模型分析。

5 結(jié) 論

(1) 本文針對(duì)人體的高阻尼特性,基于人體兩自由度模型,提出了高阻尼人-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的三自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼模型,推導(dǎo)得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的加速度頻響譜的解析式。

(2) 通過(guò)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,Griffin人體模型參數(shù)能模擬出試驗(yàn)現(xiàn)象,能基本反映人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性。

(3) 在本文中,根據(jù)式(4)可知,主要影響體系響應(yīng)共振頻率的因子為:質(zhì)量比α、α1,阻尼比ξ1、ξ2=,頻率比β1、β2,本文通過(guò)結(jié)合Griffin兩自由度人體模型參數(shù),分別對(duì)質(zhì)量比之一α1,頻率比之一β1和ξ1、ξ2=進(jìn)行定值數(shù)值分析。

(4)最后,對(duì)高阻尼人-結(jié)構(gòu)三自由度模型進(jìn)行了系統(tǒng)數(shù)值分析,分別獨(dú)立的分析和研究了各個(gè)參數(shù)對(duì)體系共振頻率的影響規(guī)律,表明:采用Griffin模型參數(shù)分析時(shí),由于高阻尼的存在,只有當(dāng)模態(tài)質(zhì)量比α1、α2和頻率比β1、β2取特定值時(shí),才可能出現(xiàn)三個(gè)共振頻率;同時(shí),也解釋了出現(xiàn)一個(gè)共振頻率、兩個(gè)共振頻率以及前兩階頻率均小于原結(jié)構(gòu)固有頻率的情況。在人-結(jié)構(gòu)相互作用的的體系中,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),若人-結(jié)構(gòu)相互作用體系出現(xiàn)一個(gè)共振頻率,頻率比β1比質(zhì)量比α1的影響更大;當(dāng)質(zhì)量比、頻率比取特定的值時(shí),體系會(huì)出現(xiàn)一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)共振頻率,阻尼比ξ2對(duì)共振頻率的影響比ξ2的影響更明顯。