考慮區(qū)間元素個(gè)數(shù)的區(qū)間猶豫模糊決策方法*

阮傳揚(yáng)，韓莉娜

1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510320

2.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030

3.廣東省生產(chǎn)力促進(jìn)中心，廣州 510070

1 引言

近年來(lái)，由于決策環(huán)境的不確定性以及人類認(rèn)知的局限性，傳統(tǒng)的決策方法很難適應(yīng)時(shí)代潮流，已然無(wú)法解決現(xiàn)實(shí)中的很多決策問(wèn)題，相應(yīng)的模糊決策理論應(yīng)運(yùn)而生。自文獻(xiàn)[1]提出能夠刻畫(huà)模糊現(xiàn)象和解決模糊問(wèn)題的模糊集以來(lái)，隨著時(shí)代的進(jìn)步，相關(guān)學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了擴(kuò)展[2-3]，目前模糊集及其擴(kuò)展理論廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、智能控制、項(xiàng)目投資、人事評(píng)估等實(shí)際決策問(wèn)題中[4]。傳統(tǒng)的模糊集及其擴(kuò)展形式因不能有效刻畫(huà)猶豫信息而受到約束，文獻(xiàn)[5-6]提出了一種能夠有效反映猶豫信息的猶豫模糊集理論，其最大特點(diǎn)是允許一個(gè)屬性同時(shí)出現(xiàn)不同的評(píng)估值，可以有效避免決策信息的缺失。然而，大多實(shí)際決策問(wèn)題中，猶豫信息往往很難用精確的評(píng)估值來(lái)表達(dá)，因而文獻(xiàn)[7]將區(qū)間數(shù)與猶豫模糊信息相結(jié)合提出了區(qū)間猶豫模糊集，即用多個(gè)區(qū)間數(shù)表示出現(xiàn)的可能隸屬度。

目前有關(guān)區(qū)間猶豫模糊集的信息集成、距離測(cè)度、相關(guān)系數(shù)等已被應(yīng)用到諸多領(lǐng)域，例如工廠選址、杰出人才評(píng)估、水庫(kù)運(yùn)營(yíng)模式選擇、云計(jì)算安全評(píng)估、應(yīng)急預(yù)案評(píng)估、能源項(xiàng)目評(píng)估等[8-15]。距離測(cè)度是運(yùn)用區(qū)間猶豫模糊信息進(jìn)行多屬性決策的一項(xiàng)關(guān)鍵方法，文獻(xiàn)[16]定義了區(qū)間猶豫模糊距離公式，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了區(qū)間猶豫模糊標(biāo)準(zhǔn)化公式，之后提出一種區(qū)間猶豫模糊灰色妥協(xié)關(guān)聯(lián)決策方法，并將其有效應(yīng)用于云計(jì)算安全評(píng)估的實(shí)例中。文獻(xiàn)[17]將熵值引入到區(qū)間猶豫模糊集中，提出了基于熵值的區(qū)間猶豫模糊距離測(cè)度和相似度公式，并將其應(yīng)用于軟件評(píng)價(jià)問(wèn)題中。文獻(xiàn)[18]提出了基于區(qū)間猶豫模糊信息的漢明距離、歐氏距離以及豪斯道夫距離的具體表達(dá)式，并將其有效應(yīng)用于多屬性決策問(wèn)題中。在上述區(qū)間猶豫模糊距離測(cè)度中，不同的區(qū)間猶豫模糊元所含區(qū)間元素個(gè)數(shù)可能存在差異，目前采用的一種方法就是在含有區(qū)間元素較少的區(qū)間猶豫模糊元中人為添加區(qū)間元素，缺點(diǎn)就是主觀隨意性過(guò)大，隨著決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的不同，備選方案排序也會(huì)隨著發(fā)生變化，很難做到備選方案排序的最終統(tǒng)一。針對(duì)人為添加元素的問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]首先給出了猶豫模糊集猶豫度的概念，之后在此基礎(chǔ)上給出了符號(hào)距離的定義，有效解決了這個(gè)問(wèn)題，但是該種方法未將猶豫模糊元中元素個(gè)數(shù)的影響考慮進(jìn)去，在某些情況下決策結(jié)果不理想，具有一定程度的局限性。文獻(xiàn)[20]經(jīng)過(guò)深入分析，發(fā)現(xiàn)上述區(qū)間猶豫模糊距離測(cè)度定義中僅考慮了不同區(qū)間猶豫模糊元之間的差異，忽視了區(qū)間猶豫模糊元的個(gè)數(shù)之間的差異，這一缺陷將會(huì)直接影響實(shí)際決策問(wèn)題中的決策效果。文獻(xiàn)[21]考慮到了決策者分歧程度以及元素個(gè)數(shù)的雙重影響，提出了基于猶豫模糊信息的改進(jìn)猶豫度的概念，并以此為基礎(chǔ)給出了猶豫模糊集的改進(jìn)符號(hào)距離的定義，做到了一定程度的應(yīng)對(duì)，但是元素個(gè)數(shù)的影響過(guò)大，甚至超過(guò)了元素本身數(shù)值及其離散程度的影響，在元素個(gè)數(shù)偏少或相差不大的情況下會(huì)導(dǎo)致決策結(jié)果與直觀認(rèn)識(shí)情況不符的現(xiàn)象。

鑒于此，本文首先給出一種基于區(qū)間猶豫模糊信息的改進(jìn)猶豫度與改進(jìn)符號(hào)距離的概念。其次，針對(duì)區(qū)間猶豫模糊元中的區(qū)間元素個(gè)數(shù)和方差構(gòu)造一種區(qū)間猶豫度，基于區(qū)間猶豫度提出相應(yīng)的區(qū)間符號(hào)距離，可以很好地反映決策群體的分歧程度且區(qū)別度明顯。最后，給出了一種具有屬性優(yōu)先級(jí)的區(qū)間猶豫模糊決策方法，并將其應(yīng)用于項(xiàng)目投資的實(shí)際決策問(wèn)題中，以此驗(yàn)證本文所提方法的有效性和合理性。

2 基礎(chǔ)理論

為了解決同一屬性中同時(shí)出現(xiàn)不同區(qū)間評(píng)估值的現(xiàn)象，文獻(xiàn)[7]在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上給出了區(qū)間猶豫模糊集的概念。

定義1[7]設(shè)X={x1,x2,…,xn}是一個(gè)非空集合，則稱：

區(qū)間猶豫模糊元的運(yùn)算法則如下：

定義 2[7]設(shè)為3個(gè)區(qū)間猶豫模糊元，且λ≥0，則它們之間的運(yùn)算法則如下：

基于區(qū)間數(shù)的定義，文獻(xiàn)[22]給出了區(qū)間數(shù)之間的相關(guān)運(yùn)算法則如下：

定義3[22]設(shè)為一組區(qū)間數(shù)，且λ≥0，則它們之間的運(yùn)算法則如下：

另外，均值以及方差如下：

猶豫模糊元中的元素反映了決策者的分歧或猶豫程度，元素之間偏差越大，猶豫程度越高。為了反映決策者的猶豫程度，文獻(xiàn)[19]定義了猶豫模糊元的猶豫度。

定義4[19]設(shè)h={γi|i=1,2,…,lh}為一個(gè)猶豫模糊元，γi為h中第i小的元素，lh為h的元素個(gè)數(shù)，則h的猶豫度如下：

基于定義4的猶豫度，文獻(xiàn)[19]定義了猶豫模糊符號(hào)距離，定義如下：

定義5[19]設(shè)h={γi|i=1,2,…,lh}為一個(gè)猶豫模糊元，γi為h中第i小的元素，lh為h的元素個(gè)數(shù)，采用猶豫模糊元最大值1ˉ為理想點(diǎn)猶豫模糊元，則由h到1ˉ的符號(hào)距離如下：

猶豫模糊信息體現(xiàn)的是決策者的不同意見(jiàn)，猶豫模糊元中在“重復(fù)決策數(shù)據(jù)僅保留一個(gè)”的情況下元素越少，表示意見(jiàn)越統(tǒng)一，為了考慮猶豫模糊元中的元素個(gè)數(shù)對(duì)決策結(jié)果的影響，文獻(xiàn)[21]提出了一類改進(jìn)的猶豫度和符號(hào)距離。

定義6[21]設(shè)h={γi|i=1,2,…,lh}為一個(gè)猶豫模糊元，γi為h中第i小的元素，lh為h的元素個(gè)數(shù)，則h的改進(jìn)猶豫度如下：

定義7[21]設(shè)h={γi|i=1,2,…,lh}為一個(gè)猶豫模糊元，γi為h中第i小的元素，lh為h的元素個(gè)數(shù)，1~為理想點(diǎn)猶豫模糊元，則稱:

為h到?的改進(jìn)符號(hào)距離。

3 基于區(qū)間猶豫模糊信息的多屬性決策方法

猶豫模糊信息揭示的是決策者的不同意見(jiàn)，具有很大的不確定性，這種不確定性加大了決策的難度，為了有效測(cè)度這種分歧度，決策者進(jìn)行決策時(shí)通常給出的是區(qū)間猶豫模糊信息，鑒于此，本文給出一種基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間猶豫度的概念，并在此基礎(chǔ)上給出基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間符號(hào)距離的定義，之后將其應(yīng)用于屬性之間具有優(yōu)先級(jí)關(guān)系的猶豫模糊決策問(wèn)題中。

3.1 基于區(qū)間猶豫模糊信息的符號(hào)距離

為了對(duì)決策信息進(jìn)行有效處理，距離測(cè)度近年來(lái)被有效應(yīng)用于多屬性決策中，文獻(xiàn)[21]考慮到了決策者分歧程度以及元素個(gè)數(shù)的雙重影響，給出了改進(jìn)的猶豫度和符號(hào)距離的概念，本文基于此給出了一種基于區(qū)間猶豫模糊信息的改進(jìn)猶豫度和符號(hào)距離的定義。

定義 8設(shè)為一區(qū)間猶豫模糊元，?的區(qū)間元素個(gè)數(shù)，則?的改進(jìn)猶豫度如下：

表示區(qū)間猶豫模糊元的方差。

定義 9設(shè)為一區(qū)間猶豫模糊元，?的區(qū)間元素個(gè)數(shù)?為理想點(diǎn)猶豫模糊元，則?的改進(jìn)符號(hào)距離如下：

然而，定義8和定義9對(duì)元素個(gè)數(shù)的處理上并未完全到位，例如，若存在3個(gè)元素?cái)?shù)量不等的區(qū)間猶豫模糊元改進(jìn)猶豫度為改進(jìn)符號(hào)距離為通 過(guò) 分 析以上結(jié)果可知：在元素個(gè)數(shù)偏少且大于1的情況下，區(qū)間猶豫模糊集中區(qū)間元素個(gè)數(shù)的影響過(guò)大，甚至超過(guò)了區(qū)間元素本身數(shù)值及其離散程度的影響，極有可能導(dǎo)致最終決策結(jié)果與直觀認(rèn)識(shí)情況不符的現(xiàn)象。

為解決這類問(wèn)題，本文引入對(duì)數(shù)變換的概念，主要是由于對(duì)數(shù)變換是數(shù)據(jù)變換的一種常用方式，其目的在于使數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式接近所希望的前提假設(shè)，從而可以更平滑地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。例如：經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)大多數(shù)都是偏態(tài)分布，比如收入GDP之類的，而且大多是右偏的，取對(duì)數(shù)后不會(huì)改變數(shù)據(jù)的性質(zhì)和相關(guān)關(guān)系，但壓縮了變量的尺度，從而形成正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，這樣數(shù)據(jù)更加平穩(wěn)，也削弱了模型的共線性、異方差性等。因此，本文給出一種基于區(qū)間猶豫模糊信息且含有對(duì)數(shù)變換的區(qū)間猶豫度的概念，之后在此基礎(chǔ)上給出基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間符號(hào)距離的定義，并討論其基本性質(zhì)。

定義 10設(shè)為一區(qū)間猶豫模糊元，?的區(qū)間元素個(gè)數(shù)，則?的區(qū)間猶豫度如下：

表示區(qū)間猶豫模糊元的方差。

式（8）為基于區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素的方差以及個(gè)數(shù)定義的區(qū)間猶豫度，偏差越大，區(qū)間元素個(gè)數(shù)越多，所對(duì)應(yīng)的區(qū)間猶豫度也越大。

區(qū)間猶豫度滿足如下性質(zhì)[19,21]：

性質(zhì) 1設(shè)為一區(qū)間猶豫模糊元，其對(duì)應(yīng)的補(bǔ)集為

易于驗(yàn)證式（8）滿足性質(zhì)1。

證明（1）由于方差的取值范圍為[0,1]，則

（2）由補(bǔ)集的方差：

而區(qū)間猶豫模糊元中的區(qū)間元素?cái)?shù)量lh恒定，則恒成立。 □

基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間猶豫度，可以得到一種相應(yīng)的區(qū)間符號(hào)距離。

定義11設(shè)為一區(qū)間猶豫模糊元，?的區(qū)間元素個(gè)數(shù)，1?為理想點(diǎn)猶豫模糊元，則?的區(qū)間符號(hào)距離如下：

區(qū)間符號(hào)距離滿足如下性質(zhì)[19,21]：

性質(zhì) 2設(shè)為 3 個(gè)區(qū)間猶豫模糊元，1?為理想點(diǎn)猶豫模糊元，則：

3.2 考慮屬性優(yōu)先級(jí)的屬性權(quán)重確定方法

本文給出一種考慮屬性優(yōu)先級(jí)的混合加權(quán)方法，保證該方法既能考慮屬性優(yōu)先級(jí)，又能包含屬性信息的離散程度。詳細(xì)步驟如下[23]：

（1）決策專家組給出屬性優(yōu)先級(jí)信息。

（2）通過(guò)計(jì)算第j項(xiàng)屬性的基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間符號(hào)距離方差ej來(lái)確定相鄰優(yōu)先級(jí)屬性xj與xj+1重要性程度之比rj。

其中，令rn=1。

（3）根據(jù)給出的rj值，按照屬性優(yōu)先級(jí)從高到低的順序計(jì)算優(yōu)先級(jí)排序在第k個(gè)屬性的權(quán)重tk為：

3.3 區(qū)間猶豫模糊多屬性決策步驟

基于式（9）的區(qū)間符號(hào)距離以及式（11）屬性權(quán)重確定方法，給出一種屬性具有優(yōu)先級(jí)關(guān)系的區(qū)間猶豫模糊多屬性決策方法。假設(shè)方案集為A={A1,A2,…,Am}，屬性集為G={G1,G2,…,Gn}，其對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量為專家組E={e1,e2,…,ep}中每位專家在進(jìn)行匿名評(píng)價(jià)時(shí)給出每個(gè)方案Ai∈A關(guān)于每個(gè)屬性Gj∈G的區(qū)間評(píng)價(jià)值，去掉完全重復(fù)的區(qū)間元素，就組成了一個(gè)區(qū)間猶豫模糊決策矩陣是一個(gè)區(qū)間猶豫模糊元。

基于區(qū)間符號(hào)距離和屬性優(yōu)先級(jí)的區(qū)間猶豫模糊多屬性決策步驟如下：

步驟1專家組給出每個(gè)方案Ai∈A關(guān)于每個(gè)屬性Gj∈G的區(qū)間評(píng)價(jià)值，得到區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)m×n。

步驟2首先利用式（9）計(jì)算區(qū)間符號(hào)距離，其次依據(jù)式（11）得出具有屬性優(yōu)先級(jí)的權(quán)重信息W=(ω1,ω2,…,ωn)T。

步驟3利用式（12）中的加權(quán)符號(hào)距離公式：得出各方案A={A1,A2,…,Am}的加權(quán)符號(hào)距離并根據(jù)的大小對(duì)各方案進(jìn)行排序，加權(quán)符號(hào)距離?越小，相應(yīng)的方案Ai越優(yōu)。

4 數(shù)值算例分析

深圳一國(guó)際投資銀行準(zhǔn)備將一筆資金用于市場(chǎng)投資，假設(shè)目前備選方案為：軟件公司A1、旅游公司A2、食品公司A3、汽車公司A4和建筑公司A5。為了客觀科學(xué)進(jìn)行決策，該投資銀行的領(lǐng)導(dǎo)層邀請(qǐng)相關(guān)專家進(jìn)行決策，專家組決定在發(fā)展?jié)摿1、投資安全系數(shù)G2、收益率G3以及產(chǎn)品替代性G4這4個(gè)屬性下進(jìn)行綜合評(píng)估，并且屬性權(quán)重向量未知，但決策小組事先給出了屬性優(yōu)先級(jí)關(guān)系G4?G1?G2?G3，專家小組給出每個(gè)方案Ai∈A關(guān)于每個(gè)屬性Gj∈G的評(píng)價(jià)區(qū)間值，去掉完全重復(fù)的區(qū)間數(shù)據(jù)，就組成了一個(gè)基于區(qū)間猶豫模糊信息的決策矩陣{[0.3,0.4],[0.5,0.6]}表示第2個(gè)公司（即旅游公司）在第1個(gè)屬性（即發(fā)展?jié)摿Γ┓矫鎸＜倚〗M有兩種不同觀點(diǎn)，即方案A2關(guān)于屬性G1的評(píng)價(jià)區(qū)間值有[0.3,0.4]和[0.5,0.6]兩種。

為了獲得最佳投資公司，基于區(qū)間符號(hào)距離的多屬性決策步驟如下：

步驟1專家組給出每個(gè)方案Ai∈A關(guān)于每個(gè)屬性Gj∈G的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣，見(jiàn)表1所示。

步驟2首先利用式（9）計(jì)算區(qū)間符號(hào)距離，見(jiàn)表2。其次依據(jù)式（11）得出屬性權(quán)重：

W=(0.305 1,0.215 9,0.173 9,0.305 1)T

步驟3利用式（12）中的加權(quán)符號(hào)距離公式得出各方案A={A1,A2,…,Am}的加權(quán)符號(hào)距離

Table 1 Interval-valued hesitant fuzzy decision making matrix表1 區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

Table 2 Interval-valued signed distance matrix表2 區(qū)間符號(hào)距離

為了獲得最佳投資公司，若采用定義9改進(jìn)符號(hào)距離的話，具體多屬性決策步驟如下：

步驟1′同步驟1。

步驟2′首先利用定義9計(jì)算改進(jìn)符號(hào)距離，見(jiàn)表3。其次依據(jù)式（11）得出屬性權(quán)重：

W=(0.317 8,0.182 2,0.182 2,0.317 8)T

Table 3 Improved signed distance matrix表3 改進(jìn)符號(hào)距離

步驟3′利用式（12）中的加權(quán)符號(hào)距離公式得出各方案A={A1,A2,…,Am}的加權(quán)符號(hào)距離

由以上結(jié)果可知，本文所述方法主要優(yōu)勢(shì)以及適用條件如下：

（1）采用基于區(qū)間猶豫模糊信息的區(qū)間符號(hào)距離法進(jìn)行決策時(shí)不僅考慮了區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素的均值大小以及離散程度等影響，還考慮了區(qū)間猶豫模糊元素個(gè)數(shù)的影響，包含的范圍比較廣，所得決策結(jié)果具有較好的區(qū)分度和穩(wěn)定性，有效性也更高。

（2）本文基于屬性優(yōu)先級(jí)和區(qū)間猶豫模糊符號(hào)距離建立的屬性權(quán)重確定方法屬于主客觀組合賦權(quán)方法，既能保持屬性優(yōu)先級(jí)恒定，又能有效利用已有區(qū)間評(píng)價(jià)信息科學(xué)合理地確定出屬性權(quán)重，數(shù)值案例表明該方法所得決策結(jié)果合理、可靠。

（3）由數(shù)值案例可知，在區(qū)間猶豫模糊決策矩陣中區(qū)間元素較少的情況下，區(qū)間符號(hào)距離適用范圍比較廣，所得決策結(jié)果合理、有效。不過(guò)，當(dāng)決策矩陣中區(qū)間猶豫模糊集中區(qū)間元素較多時(shí)，由于定義11中有關(guān)區(qū)間猶豫模糊元素個(gè)數(shù)的計(jì)算公式部分隨著區(qū)間元素個(gè)數(shù)的增大而趨向于1，則區(qū)間元素個(gè)數(shù)對(duì)決策結(jié)果的影響不大且計(jì)算復(fù)雜度較高。因此，這種情況下采用文獻(xiàn)[17-19]等經(jīng)典算法比較合適。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素的方差與個(gè)數(shù)提出了一類區(qū)間猶豫模糊符號(hào)距離，并在此基礎(chǔ)上研究了屬性具有優(yōu)先級(jí)關(guān)系的多屬性決策問(wèn)題。主要工作如下：

（1）為了考慮元素個(gè)數(shù)的影響，利用文獻(xiàn)[21]中基于猶豫模糊信息的改進(jìn)猶豫度和改進(jìn)符號(hào)距離，給出了基于區(qū)間猶豫模糊信息的改進(jìn)猶豫度和改進(jìn)符號(hào)距離的定義。

（2）基于區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素的方差與個(gè)數(shù)定義了一種含有對(duì)數(shù)函數(shù)的區(qū)間猶豫度，以便合理反映決策者的分歧程度。

（3）基于區(qū)間猶豫度定義了一種同時(shí)考慮區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素大小、數(shù)量和方差的區(qū)間猶豫模糊符號(hào)距離，通過(guò)數(shù)值案例可知區(qū)間猶豫模糊符號(hào)距離具有區(qū)分度明顯，決策結(jié)果更加合理、可靠的特點(diǎn)。

（4）針對(duì)屬性具有優(yōu)先級(jí)的多屬性決策問(wèn)題，本文基于區(qū)間猶豫模糊符號(hào)距離和屬性優(yōu)先級(jí)提出了一種屬性權(quán)重確定方法，之后利用加權(quán)符號(hào)距離對(duì)備選方案進(jìn)行排序。

采用本文方法進(jìn)行決策時(shí)同時(shí)考慮了區(qū)間猶豫模糊元中區(qū)間元素的大小、數(shù)量、離散程度等多重影響，因而決策結(jié)果具有較好的區(qū)分度和穩(wěn)定性。