二階三點邊值問題的對稱正解

趙如慧，韓曉玲

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

非局部邊值問題在物理模型、生物學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛研究.在過去的幾十年里，大量文獻研究了此類邊值問題正解的存在性[1-5].近幾年，出現(xiàn)了對此類邊值問題對稱正解的存在性的研究[6-9]. 最近，文獻[10]討論了二階三點邊值問題：

對稱正解的存在性，其中a： (0，1)→[0，+∞)在(0，1)上是對稱的，f： [0，1]×[0，+∞)×R→[0，+∞)是連續(xù)的，并且f(·，u)在[0，1]上對稱，通過Krasnosel’skii不動點定理獲得了上述邊值問題對稱正解的存在性.

受以上結(jié)果的啟發(fā)，本文主要研究二階三點邊值問題

u″(t)+q(t)f(t，u(t)，u′(t))=0，t∈(0，1)，

(1)

(2)

對稱正迭代解的存在性.本文假設(shè)

(H1)f： [0，1]×[0，+∞)×R→[0，+∞)連續(xù)，f(t，u，v)>0并且在t∈[0，1]上f(t，u，v)=f(1-t，u，-v)；

(H3)q(t)是定義在(0，1)上的非負連續(xù)函數(shù)，滿足q(t)=q(1-t)，并且在(0，1)的任何子區(qū)間上不恒為零，且

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)E是Banach空間，且P是E上的非空凸閉集. 滿足：

(1) 對任意的u∈P，λ≥0，有λu∈P；

(2)u，-u∈P，有u=θ，

則P是一個錐.

定義2設(shè)(E，≤)是序Banach空間，若對任意u，v∈E且u≤v有φ(u)≤φ(v)， 則算子φ：E→E非減. 若不等號是嚴(yán)格的，則稱φ是嚴(yán)格非減的.

定義3設(shè)E=C1[0，1]，u∈E，若對任意t1，t2∈[0，1]且λ∈[0，1]有u(λt1+(1-λ)t2)≥λu(t1)+(1-λ)u(t2)，則稱u在[0，1]上是凹的.

定義4若函數(shù)u(t)滿足u(t)=u(1-t)， 則稱u(t)在[0，1]上對稱.

定義5若函數(shù)u*在[0，1]上是正對稱的，且滿足式(1)和(2)，則稱函數(shù)u*是邊值問題(1)和(2)的一個對稱正解.

記空間E=C1[0，1]，令其范數(shù)為

C+[0，1]={u∈E：u(t)≥0，t∈[0，1]}.

定義錐P={u∈E：u(t)≥0，u是[0，1]上的凹函數(shù)，且u(t)=u(1-t)}.

引理1設(shè)y(t)∈C[0，1]且在[0，1]上對稱，則三點邊值問題

u″(t)+y(t)=0，t∈(0，1)，

(3)

(4)

其中,

G(t，s)=G1(t，s)+G2(s)，

對于任意u(t)∈C+[0，1]，定義算子T：

(5)

則算子T的不動點是問題(1)和(2)的解.

注1由算子的定義，易得

引理2若(H2)成立，則算子T：P→P全連續(xù)，且T是非減的.

證明對任意y∈P，根據(jù)算子T的定義，有

即(Tu)(t)在[0，1]上是凹的，且(Tu)(t)=(Tu)(1-t)，故T(P)?P.

下證算子T：P→P是全連續(xù)的. 算子T顯然是連續(xù)的，只須證T是緊的.

設(shè)有界集Ω0?P，則存在一個R使得Ω0?{u∈P： ‖u‖≤R}.對任意u∈P，有

0≤f(s，u(s)，u′(s))≤max{f(s，u(s)，u′(s))|s∈

[0，1]，u∈[0，R]，u′∈[-R，R]}=M.

因此，由式(5)有

上式顯然有界，故(Tu)(t)一致有界.

下證(Tu)(t)等度連續(xù). 對任意的t1，t2∈[0，1]，t1≤t2，有

|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|=

更進一步

|(Tu)′(t2)-(Tu)′(t1)|=

故(Tu)(t)是等度連續(xù)的，由Ascoli-Arzela定理得T(Ω0)是緊集. 因此T：P→P是全連續(xù)的.

最后證明Tu關(guān)于u是非減的. 對于任意的ui∈P(i=1，2)，u1(t)≤u2(t)，由錐的性質(zhì)，有u2(t)-u1(t)∈P. 因此，有

(Tu1)(t)-(Tu2)(t)=

(Tu2)′(t)-(Tu1)′(t)=

(Tu2)′(t2)-(Tu1)′(t2)-(Tu2)′(t1)+(Tu1)′(t1)=

2 主要結(jié)果及證明

定理1假設(shè)(H1)～(H3)成立，若存在2個正數(shù)a1≤a，使得

supt∈[0，1]f(t，a，a)≤a1，

(6)

其中a和a1滿足

(7)

則式(1)和式(2)有2個正的凹解u*和w*，使得

0<‖u*‖≤a，
0<‖w*‖≤a，

并且

其中,

w0(t)=0， 0≤t≤1.

迭代方法為un+1=Tun=Tnu0，wn+1=Twn=Tnw0.

由(H2)及式(6)得

(8)

一方面，令

則

定義

un+1=Tun=Tn+1u0，n=0，1，2，…，

(9)

由于T是全連續(xù)的，故{un}是緊集. 因為

u1(t)=(Tu0)(t)=

而且

從而u1(t)≤u0(t)，|u1′(t)|≤|u0′(t)|，0

由引理2及式(9)，有

0

另一方面，令

ωn+1=Tωn=Tn+1ω0，n=1，2，…，

因為

則有

ω1=Tω0=T(0)(t)≥0， 0

|ω1′(t)|=|(Tω0)′(t)|=|T′(0)(t)|≥0， 0

由引理2及式(9)，有

n=0，1，… .

3 舉 例

考慮邊值問題

(10)

(11)

則(H1)～(H3)成立. 令a=1，a1=3滿足式(6), 則由定理1可得邊值問題(10)和(11)有2個凹的對稱解u*，ω*，使得

‖u*‖∞≤1， ‖ω*‖∞≤1，

并且

其中，