紙張橫幅定量多變量解耦控制策略研究

單文娟　湯偉　劉炳

摘要：針對橫幅定量控制系統(tǒng)是高維、大規(guī)模稀疏的非方關(guān)聯(lián)矩陣，利用矩陣分塊法及變換因子將其轉(zhuǎn)化為低維耦合方陣，并設(shè)計了基于對象模型的伴隨矩陣解耦器，將多變量控制問題轉(zhuǎn)化為單回路群控制問題。以實驗用稀釋水水力式流漿箱為例進行定量計算及解耦器設(shè)計，有效地完成了稀釋水閥開度調(diào)節(jié)，減小了紙張定量波動，為先進橫幅定量控制系統(tǒng)設(shè)計提供理論參考。

關(guān)鍵詞：紙張定量；多輸入多輸出過程；解耦；稀疏矩陣

中圖分類號：TS736

文獻標(biāo)識碼：A

DOI：1011981/jissn1000684220180244

定量是反映紙張質(zhì)量的重要參數(shù)，也是造紙自動控制系統(tǒng)中最主要的受控參量。成品紙張的定量特征可用二維坐標(biāo)系統(tǒng)描述：沿紙機運行方向（Machine Direction，簡稱MD）和橫跨紙機方向（Cross Direction，簡稱CD）構(gòu)成2個坐標(biāo)軸。定量控制是使紙張定量在縱向與橫向都保持均勻[1]。MD定量值差異的原因較簡單，目前已取得較為令人滿意的研究成果。而CD定量控制技術(shù)較復(fù)雜，理論研究進展相對緩慢，CD定量控制也受到越來越多的關(guān)注。

稀釋水水力式流漿箱采用向紙機橫幅方向勻漿器的支管上游注入稀釋水的辦法來調(diào)節(jié)全幅定量，流漿箱的唇口開度是全幅均勻一致的，消除了傳統(tǒng)調(diào)節(jié)方法的缺點，被越來越廣泛地應(yīng)用于造紙過程中。通過調(diào)節(jié)某稀釋水閥開度來改變該處的局部定量時，流體流動的沖擊特性會對兩側(cè)鄰域產(chǎn)生影響[2]，以及漿流的流速與濃度、稀釋水的流速及濃度、整流室的結(jié)構(gòu)都會對稀釋水的橫向擴散造成影響。當(dāng)某個稀釋水閥動作時，會影響相鄰若干范圍內(nèi)的紙張CD定量值，且CD定量控制系統(tǒng)中橫向測量點和稀釋水閥數(shù)量較多（橫向測量點數(shù)量從200至2000不等，稀釋水閥數(shù)量最多達300），最終產(chǎn)生的結(jié)果就是不同稀釋水閥控制區(qū)域相互重疊，在控制上表現(xiàn)出強耦合特性。加上很多不可測干擾，使得系統(tǒng)成為一個高維、多變量、強耦合系統(tǒng)，常規(guī)的控制算法難以滿足CD定量控制系統(tǒng)的需求。

為取得滿意的控制效果，本研究全面分析了CD定量控制系統(tǒng)的耦合特點，利用實測數(shù)據(jù)結(jié)合模擬仿真，計算出耦合矩陣。鑒于計算的耦合矩陣為一個非方的高維大規(guī)模稀疏矩陣，不便于算法研究。本研究通過矩陣分塊法，將非方的耦合矩陣化為方陣，并根據(jù)實際映射關(guān)系，對每個分塊矩陣采用加權(quán)平均法獲得變換因子，進行系統(tǒng)降維，從而將高維非方矩陣映射為維數(shù)與稀釋水閥數(shù)量一致的低維方陣。在不影響模型精度下，解決了橫向測量點和執(zhí)行器之間的一一對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，針對化方降維后的耦合關(guān)聯(lián)矩陣，設(shè)計對角化解耦器，完成多變量的解耦。從而將多輸入多輸出系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為回路數(shù)量與稀釋水閥數(shù)量一致的單回路群控制問題，多個單回路的獨立控制有效地降低了系統(tǒng)控制難度，達到控制要求。

1CD定量控制系統(tǒng)概述

CD定量控制過程如圖1所示，定量傳感器安裝在紙機卷取部前的掃描架上。CD定量控制系統(tǒng)主要由三大部分組成：數(shù)據(jù)采集部分、控制器部分、執(zhí)行器部分。負責(zé)數(shù)據(jù)采集的掃描儀，通過對紙幅做橫向往復(fù)的掃描運動，測量整個紙幅的定量。伴隨著MD的紙幅運動，掃描架傳感器在紙幅上形成一個“Z”字形的掃描路徑[3]。掃描的數(shù)據(jù)送到控制器中進行算法處理，稀釋水閥執(zhí)行器執(zhí)行控制器計算轉(zhuǎn)化來的相應(yīng)控制量，執(zhí)行器的數(shù)量將隨著紙幅寬度的增大而增多，導(dǎo)致控制問題的規(guī)模非常龐大。整個CD定量控制系統(tǒng)涉及到數(shù)據(jù)的采集、處理、控制動作的計算及對執(zhí)行機構(gòu)的控制等步驟，是一個復(fù)雜的系統(tǒng)。

2CD定量數(shù)學(xué)模型分析

CD定量控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括2個部分：一部分是貫穿整個橫幅的稀疏關(guān)聯(lián)矩陣，另一部分是從稀釋水閥執(zhí)行器到對應(yīng)測量點的紙機縱向傳遞函數(shù)。要將整個橫幅的定量控制好，就要對這2部分分別采取對應(yīng)的控制策略：一是每個稀釋水閥的回路控制，二是稀釋水閥和測量點之間的關(guān)聯(lián)影響。

當(dāng)整個紙幅橫向上有m個測量點和n個稀釋水閥時，就引入了一個m×n的關(guān)聯(lián)矩陣[4]，紙機的 CD定量控制模型如下：

Y（s）為CD定量測量點的輸出值；U（s）為稀釋水閥的調(diào)節(jié)量；G0∈Rm×n為整個系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣，gmn則指第n個執(zhí)行器對第m個測量點的影響系數(shù)。整個橫向的耦合關(guān)系被關(guān)聯(lián)矩陣靜態(tài)處理，為后續(xù)的解耦算法做好準(zhǔn)備。在CD定量控制系統(tǒng)中，每個執(zhí)行器的物理特性相同，且其傳遞函數(shù)h（s）用一階慣性加滯后（FOPDT）來描述，T為慣性時間常數(shù)，τ為滯后時間。

21關(guān)聯(lián)矩陣量化過程

關(guān)聯(lián)矩陣測量值維數(shù)m遠高于執(zhí)行器維數(shù)n，一般橫向測量點數(shù)是執(zhí)行器數(shù)量的3～5倍（3n圖2執(zhí)行器和測量點映射關(guān)系

由于本例中CD定量測量點的數(shù)量是執(zhí)行器數(shù)量的5倍，所以，每隔5個點設(shè)置一個執(zhí)行器。在每個執(zhí)行器影響的兩邊各26個測量點中，執(zhí)行器對正下游位置的測量點影響程度最強，耦合系數(shù)最大，如圖2中實線所示；隨著距離的增大，執(zhí)行器對測量點的影響程度將逐漸減??；如果超出26個橫向間隔，執(zhí)行器對測量點的影響作用甚弱?？梢?，紙幅上某點的定量值是否受到某個執(zhí)行器的影響取決于兩者之間的橫向距離。得到的關(guān)聯(lián)矩陣G0見式（3）（第i列中g(shù)1所在的位置即為第i個執(zhí)行器正下方對應(yīng)的測量點的位置）。

為得到關(guān)聯(lián)矩陣的具體數(shù)值，需知g（x），即當(dāng)某個稀釋水閥動作時，其對兩側(cè)漿流濃度影響的函數(shù)關(guān)系。但紙漿濃度調(diào)節(jié)存在逆向響應(yīng)，逆向響應(yīng)曲線如圖3所示，即當(dāng)某個稀釋水閥開度增大時，該閥對應(yīng)的沿紙機方向（即縱向）的漿流區(qū)域的濃度會降低，但兩側(cè)區(qū)域的濃度不但不降低，反而有所增加[6]，這為CD定量控制帶來很大麻煩。需建立濃度稀釋的數(shù)學(xué)模型，并進一步消除或平衡兩側(cè)逆向響應(yīng)，按照圖4中改造后的響應(yīng)曲線計算g（x）。

參考國外學(xué)者給出的單個執(zhí)行器的響應(yīng)曲線表達式：

g（x）=r2

{e-α（x+βξ）2ξ2cos[π（x+βξ）ξ]+e-α（x-βξ）2ξ2cos[π（x-βξ）ξ]}（6）

其中，x為測量點相對位置，r為增益參數(shù)，α為衰減參數(shù)，ξ為寬度參數(shù)，β為差異參數(shù)，這些參數(shù)用來表征空間響應(yīng)曲線的形狀。g（x）刻畫了當(dāng)某個稀釋水閥動作時，其對兩側(cè)漿流濃度造成的影響[7]。

分析響應(yīng)函數(shù)，通過一系列的參數(shù)范圍調(diào)整驗證，可從帶逆向響應(yīng)的曲線1和曲線2變換出消除逆向響應(yīng)的曲線3，如圖5所示。曲線1的r=1，ξ=20，α=15，β=0；曲線2的r=25，ξ=20，α=15，β=04；曲線3的r=1，ξ=40，α=15，β=04。

圖5不同參數(shù)的響應(yīng)曲線

對于改造后的響應(yīng)曲線3，按照設(shè)定曲線參數(shù)，代入到g（x）中，逐一計算出G0=[g1，g2，…，gn]中每列g(shù)i的所有元素，從而得到系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣G0的具體數(shù)值。

在計算gi（k）時，發(fā)現(xiàn)過某個點后，gi（k）衰減很快，幾乎接近于0，為了降低運算，進行了截斷操作，將小于10-3的值近似為0。得到的G0是一個320×64維的包含大量0元素的稀疏帶狀矩陣，見圖6。其中，非0數(shù)據(jù)反映了各橫向位置的耦合系數(shù)，帶狀寬度體現(xiàn)了耦合的強度。圖7為G0的非0數(shù)據(jù)分布，主對角線上各元素較大，其余元素很小，即具有小范圍耦合特性的非方高維對稱關(guān)聯(lián)矩陣。

22關(guān)聯(lián)矩陣降維化方

G0是一個m×n維矩陣，實際上是一個m×n維控制系統(tǒng)，且實際中的m一般遠大于n，這一點無疑增加了控制難度：大量的輸入輸出變量容易使得離線控制器不精確；較大的在線計算量和紙機的快速性使得運算速度較慢；高維的被控對象模型很難辨識。為便于算法研究，要將高維的控制系統(tǒng)進行兩步運算：降維、化方，把G0映射成低維的n×n的方陣。

221關(guān)聯(lián)矩陣的分塊劃分

不同的紙機，關(guān)聯(lián)矩陣G0是不同的。假設(shè)紙機的橫向耦合寬度為z，即每個輸入量只對它左右各z個輸出量有影響，本例中z=2。則320×64維的G0可劃分為由塊矩陣G1、G2、G3、G4組成的一個形似方陣的矩陣。

由式（7）可以看出，變化過程中應(yīng)用到了所有的原始CD定量數(shù)據(jù)，并且考慮到了耦合關(guān)系，因而避免了有用信息丟失的缺點。然而，G0仍是一個320×64維矩陣，需進一步對分塊后的G0矩陣進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換成一個64×64的方形矩陣。

222關(guān)聯(lián)矩陣的化方轉(zhuǎn)化

對CD定量數(shù)據(jù)進行高維到低維的變換，關(guān)鍵之處在于怎樣得到變換因子，為此，可考慮采用如下方法：首先，改變某個執(zhí)行器的設(shè)定值；其次，觀察穩(wěn)定后的CD定量曲線，發(fā)生改變的數(shù)據(jù)點（可以是若干個）即為與此執(zhí)行器相對應(yīng)的數(shù)據(jù)點。而在進行數(shù)據(jù)的高低維變換時，應(yīng)利用到所有的數(shù)據(jù)點。假定第j個執(zhí)行器對應(yīng)實際紙幅上的位置為xj，第i個數(shù)據(jù)點對應(yīng)實際紙幅上的位置為x′i，可認(rèn)為某個數(shù)據(jù)點對于某個執(zhí)行器的權(quán)值與它們之間在紙幅上的對應(yīng)距離有關(guān)系。借助加權(quán)平均法獲得變換因子：gi=e-（x′i-xjα）2/∑ni=1e-（x′i-xjα）2；其中，α為非0實常數(shù)。經(jīng)計算，各分塊矩陣可映射為：g1=03，g2=07，g3=07，g4=03。因此，關(guān)聯(lián)矩陣G0從一個大規(guī)模稀疏的分塊矩陣轉(zhuǎn)化為低維的數(shù)值型方陣。紙幅成形過程中，在忽略邊緣效應(yīng)的情況下，整個紙幅以及機械結(jié)構(gòu)是對稱的，故方陣化后的關(guān)聯(lián)矩陣具有托普利茨（Toeplitz）對稱矩陣結(jié)構(gòu)（任意一條平行于主對角線的直線上的元素相同），見式（9）。

根據(jù)Toeplitz矩陣特性，關(guān)聯(lián)矩陣=Toeplitz（f），其中，f=[1，07，03，0，…，0]。對稱關(guān)聯(lián)矩陣中有大量的0元素，其中的非0元素則造成了執(zhí)行器之間的強耦合。

3耦合特性分析及解耦器設(shè)計

31耦合特性分析

本例中，流漿箱上安裝64個執(zhí)行器，每個執(zhí)行器控制1個區(qū)域，整個紙幅橫向定量分成64個區(qū)，通過Toeplitz矩陣求解結(jié)果，可以看出，當(dāng)?shù)趇個執(zhí)行器動作時，該執(zhí)行器對正下方的i區(qū)域影響最大，關(guān)聯(lián)系數(shù)為1，左右兩邊也受到逐漸衰弱的影響，如（i±1）區(qū)域關(guān)聯(lián)系數(shù)為07，（i±2）區(qū)域關(guān)聯(lián)系數(shù)為03。即當(dāng)?shù)趇個執(zhí)行器調(diào)節(jié)量為ui時，為了保持i區(qū)域左右兩側(cè)的定量均勻，還需要對第（i±1）執(zhí)行器分別進行07ui的調(diào)節(jié)，對第（i±2）執(zhí)行器分別進行03ui的調(diào)節(jié)。在CD定量控制系統(tǒng)中，希望每個執(zhí)行器之間是獨立的，即當(dāng)檢測到i區(qū)域定量有偏差時，信號通過QCS系統(tǒng)計算出執(zhí)行器的調(diào)節(jié)量，控制第i個執(zhí)行器，消除對應(yīng)區(qū)域定量差，同時無需調(diào)節(jié)第（i±1）、（i±2）執(zhí)行器。對此，需增設(shè)解耦器，實現(xiàn)64個執(zhí)行器與64個測量區(qū)域的一一對應(yīng)。

32解耦器的設(shè)計

基于降維化方后的關(guān)聯(lián)矩陣，在控制器和被控對象之間，添加一個解耦器，在解耦器與關(guān)聯(lián)矩陣作用后，被控對象解耦成對角形式或主對角占優(yōu)的形式，從而設(shè)計對角控制器[8]，實現(xiàn)系統(tǒng)的完全解耦。帶有解耦器的控制結(jié)構(gòu)如圖8所示。

在CD定量系統(tǒng)中，耦合作用被作為一個靜態(tài)關(guān)系處理，在被控過程的輸入端設(shè)置靜態(tài)解耦器。對于上述的64維的Toeplitz矩陣進行奇異判定，det（）≠0，接近于0，為精確，可進行廣義求逆。由于矩陣與自身伴隨矩陣之積為對角矩陣，即×adj（）=adj（）×=det（）×I，解耦器可設(shè)計為：K=adj（），從而將高維大系統(tǒng)控制轉(zhuǎn)化為多個單回路控制。

對于定量要求是特定的紙張，定量控制系統(tǒng)的量化數(shù)學(xué)模型可以明確得到，通過上述設(shè)計方法，能有效地計算出每個稀釋水閥的調(diào)節(jié)量，使紙張CD定量數(shù)據(jù)保持一致，也為后續(xù)的每個稀釋水閥明確了調(diào)節(jié)目標(biāo)。

4應(yīng)用實例

對于試點造紙廠抄紙過程控制，采用如圖9所示的DCS控制系統(tǒng)。該控制系統(tǒng)包含流漿箱本體控制柜、稀釋水閥控制柜、QCS控制柜。CD定量的解耦控制算法通過稀釋水閥控制柜實現(xiàn)。在稀釋水閥控制柜的上位機工程師站中，MATLAB對獲得的數(shù)據(jù)按照解耦控制算法進行處理，運算的結(jié)果通過稀釋水閥控制柜的S7300PLC控制器作用在稀釋水閥組，通過調(diào)節(jié)稀釋水閥的開度，實現(xiàn)紙幅定量的均勻分布。

針對試點造紙廠紙機幅寬為45 m，設(shè)計車速為650 m/min，定量為66 g/m2的生產(chǎn)線。在稀釋水閥控制柜上位機中，以定量值相等為標(biāo)準(zhǔn)，在64個閥門的綜合作用下，由解耦控制策略得到稀釋水閥的調(diào)節(jié)量U=[u1，u2，…，u63，u64]，見式（10）。通過S7300PLC控制稀釋水閥，在工況穩(wěn)定后，取某個時間段的定量監(jiān)控畫面（如圖10所示），并隨機測取了50個測量點，得到的定量偏差曲線見圖11，定量波動范圍為±16 g/m2。從圖11可以看到，紙幅定量在設(shè)定值上下波動，且偏差很小。應(yīng)用多變量解耦策略改善了執(zhí)行器的控制精度，提高了產(chǎn)品質(zhì)量，可為企業(yè)帶來一定的經(jīng)濟效益。

5結(jié)論

橫幅定量控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型反映出橫幅定量控制過程是一個采樣數(shù)據(jù)稀疏的高維大系統(tǒng)，且多個稀釋水閥之間相互耦合。本研究針對此難題，希望將一個耦合關(guān)聯(lián)的大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單回路群，采取分而治之的處理方法。依此思路，計算出了橫幅定量系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣，通過對耦合關(guān)聯(lián)矩陣進行降維化方，將高維大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有對稱關(guān)系的Toeplitz矩陣。并設(shè)計伴隨矩陣解耦器，完成多變量解耦控制。對每個單回路通過解耦后的關(guān)聯(lián)矩陣估算稀釋水閥調(diào)節(jié)量，可為每個單回路PID調(diào)節(jié)提供依據(jù)和幫助。整個過程采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計算，能達到一個較好的調(diào)節(jié)精度，為紙張橫幅定量控制提供有效的理論依據(jù)。

參考文獻

[1]Tang Wei， Wang Mengxiao， Li Minghui， et al. The advanced control strategies and decoupling algorighms of headbox[J].Transactions of China Pulp and Paper， 2006， 21（1）： 108.

湯偉， 王孟效， 李明輝， 等. 流漿箱先進控制策略及解耦控制算法[J].中國造紙學(xué)報， 2006， 21（1）： 108.

[2]Cristian Gheorghe， Amor Lahouaoula， Danlei Chu. Multivariable CD control with adaptive alignment for a highproduction linerboard machine[J].Journal of Science & Technology for Forest Products and Processes， 2012， 2（5）： 32.

[3]Hu Weijun， Liu Wenbo， Wang Mengxiao. Design and simulation of fuzzy controller for CD basis weight[J].Control and Instruments in Chemical Industry， 2011， 12（44）： 1441.

胡衛(wèi)軍， 劉文波， 王孟效. 紙張定量模糊控制器[J].化工自動化及儀表， 2011， 12（44）： 1441.

[4]Lian Yuyang， Tang Wei， Hu Lianhua， et al. Application of gram polynomials fitting technique in noise removal of crossdirectional basis weight measurement data of paper machines[J].Transactions of China Pulp and Paper， 2014， 29（1）： 49.

連鈺洋， 湯偉， 胡連華， 等. 紙機橫向定量測量數(shù)據(jù)Gram多項式擬合去噪[J].中國造紙學(xué)報， 2014， 29（1）： 49.

[5]Ammar M. Model identification of a paper machine crossdirectional process under model predictive control[C]//Modelling Symposium（EMS）， Europe， 2014.

[6]Kang Guobing， Chen Kefu， Liu Jianan， et al. Numerical simulation of dilution water applied to headbox with perforated rolls[J].Journal of South China University of Technology： Natural Science Edition， 2010， 38（9）： 57.

康國兵， 陳克復(fù)， 劉建安， 等. 稀釋水應(yīng)用于勻漿輥流漿箱的數(shù)值模擬[J].華南理工大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2010， 38（9）： 57.

[7]Mohammed E， Ammar. Automatic tuning of paper machines crossdirection controllers via linear matrix inequalities[J].Journal of Electrical Systems & Information Technology， 2015， 2（3）： 283.

[8]Yao Yanjing， Wang Jing， Pan Lideng. Decoupling internal model control for multivariable nonsquare system with time delays[J].Journal of Chemical Industry and Engineering， 2008， 59（7）： 1737.

要艷靜， 王晶， 潘立登. 多變量多時滯非方系統(tǒng)的解耦內(nèi)?？刂芠J].化工學(xué)報， 2008， 59（7）： 1737.