基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析

孟德泉 應(yīng)黎坪 楊欣欣

摘要：從細(xì)觀角度分析再生混凝土的力學(xué)特性，以往都是將再生混凝土視為由骨料、新砂漿、新界面、老砂漿、老界面五相介質(zhì)組成的復(fù)合材料來(lái)分析，為了簡(jiǎn)化這種常規(guī)五相再生混凝土模型，提出了基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法。首先運(yùn)用三相球理論模型將再生混凝土中的老砂漿、新界面、老界面三相介質(zhì)等效成一種介質(zhì)，得到三相介質(zhì)的再生混凝土界面等效模型；然后利用勢(shì)能原理的基面力元法編制出損傷基面力元程序，對(duì)不同尺寸的再生混凝土試塊進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)M。給出了應(yīng)力-應(yīng)變曲線及破壞過(guò)程圖，并與普通五相模型進(jìn)行了對(duì)比，兩種曲線基本吻合。因此，等效模型可以代替普通五相模型，從而簡(jiǎn)化多相再生混凝土的損傷分析，提高模擬效率。

關(guān)鍵詞：混凝土與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；再生混凝土；三相球模型；界面等效模型；基面力元法

中圖分類號(hào)：TU528文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04004

再生混凝土五相介質(zhì)細(xì)觀分析模型給數(shù)值模擬帶來(lái)了許多不便和本構(gòu)復(fù)雜性，以往提出的格構(gòu)模型[1]、隨機(jī)粒子模型[2]、MOHAMED[3]等的細(xì)觀模型、隨機(jī)骨料模型[4-7]、隨機(jī)力學(xué)特性模型等[8-9]，也大多不能脫離再生混凝土五相介質(zhì)的復(fù)雜力學(xué)性質(zhì)對(duì)數(shù)值模擬分析造成的不便。另一方面，對(duì)復(fù)合材料的等效模量的預(yù)測(cè)，很多專家也提出了很多模型，包括Voigt模型、Reuss模型、Hansen模型、Mori-Tanaka法[10-14]等。1980年，RAO[15]將三相球模型運(yùn)用于預(yù)測(cè)兩相復(fù)合材料的有效模量；1996年，盧子興等[16]運(yùn)用三相球模型對(duì)泡沫塑料的有效模量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；2012年，DU等[17-18]在三相球模型的基礎(chǔ)上對(duì)含孔隙混凝土復(fù)合材料有效力學(xué)性能以及考慮過(guò)渡區(qū)界面影響的混凝土宏觀力學(xué)性能進(jìn)行了研究。

第4期孟德泉，等：基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析河北工業(yè)科技第35卷2003年，GAO[19]提出一個(gè)描述應(yīng)力狀態(tài)的新概念——基面力，隨后PENG等[20]提出了一種新型的有限元——基面力元法（BFEM），利用“基面力”概念和勢(shì)能原理，建立了三角形基面力元模型，并對(duì)不同尺寸的再生混凝土試件的單軸拉壓特性進(jìn)行了分析；2016年，PENG等[21]在此模型基礎(chǔ)上采用分段曲線損傷模型作為損傷本構(gòu)模型，對(duì)隨機(jī)凸形骨料模型的再生混凝土進(jìn)行了單軸拉壓試驗(yàn)?zāi)M。

綜上所述，本文提出一種基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，運(yùn)用兩次三相球模型，將再生混凝土老砂漿、老界面、新界面三相介質(zhì)等效成一種介質(zhì)，得到此等效部分的有效模量，形成由骨料、新砂漿、等效體三相介質(zhì)組成的界面等效模型，使用基面力元法損傷分析，簡(jiǎn)化了多相再生混凝土的損傷分析，提高了模擬效率。

1再生混凝土界面等效模型

1.1骨料與新砂漿過(guò)渡區(qū)特征

再生混凝土是一種多相復(fù)合材料，并且再生混凝土中再生骨料和砂漿之間存在著物理力學(xué)性能截然不同的過(guò)渡區(qū)層面[22-24]。SIMEONOV等[25]、LEE等[26]都對(duì)混凝土過(guò)渡區(qū)層面進(jìn)行了研究，可見(jiàn)再生混凝土的界面過(guò)渡區(qū)特別重要。本文先采用Monte-Carlo法對(duì)骨料顆粒進(jìn)行隨機(jī)投放，形成五相再生混凝土隨機(jī)骨料模型（見(jiàn)圖1），為后面過(guò)渡區(qū)等效處理作準(zhǔn)備。

1.2界面等效化步驟

本文對(duì)老界面、老砂漿、新界面三相介質(zhì)的等效采用兩步等效：第1步等效，老界面和老砂漿的等效生成等效體A；第2步等效，等效體A和新界面的等效生成等效體B。圖2為等效化過(guò)程。

將老界面和新界面看成含有不同孔隙率的老砂漿，而二者中間的老砂漿看成無(wú)孔隙。三相球模型見(jiàn)圖3。在第1步等效的時(shí)候?qū)⒌刃wA里的孔隙作為夾雜相，體積模量、剪切模量都為0，基體相為等效體A里的老砂漿；在第2步等效的時(shí)候?qū)⒌刃wB里的孔隙作為夾雜相，相應(yīng)的體積模量、剪切模量都為0，基體相為等效體B里的老砂漿。

1.3第1步等效

首先對(duì)再生混凝土隨機(jī)五相模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，計(jì)算確定各網(wǎng)格單元中骨料、老界面、老砂漿、新界面、新砂漿的體積分?jǐn)?shù)分別為Ca，Coit，Cm，Citz，Cmo（下同）。顯然：

Ca+Coit+Cm+Citz+Cmo=1。 （1）

設(shè)定老界面的孔隙率為coit，老界面和老砂漿兩部分（等效體A）的孔隙率c*A為

c*A=coit=CoitCoit+Cm。（2）

根據(jù)文獻(xiàn)＼[15＼]三相球模型推導(dǎo)，可知含孔復(fù)合材料的等效體A等效體積模量K*A為

K*A=4Kmμm（1-c*A）（4μm+3Kmc*A）， （3）

式中：Km，μm分別代表老砂漿的體積模量和剪切模量。

根據(jù)文獻(xiàn)＼[10＼]，本文模型的泊松比變化較小，等效泊松比可采用橫向串聯(lián)模型來(lái)預(yù)測(cè)，即等效體A的泊松比為ν*A：

ν*A=νoitCoitCm+Coit+νmCmCm+Coit。（4）

當(dāng)研究對(duì)象為各向同性材料時(shí)，其獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)，所以只要先確定了等效體A的等效體積模量和等效泊松比，就可以確定它的等效彈性模量E*A：

E*A=12Kmμm（1-c*A）（1-2ν*A）（4μm+3Kmc*A）。（5）

根據(jù)文獻(xiàn)＼[12＼]，采用Hansen模型，含孔復(fù)合材料中等效體A的等效強(qiáng)度f(wàn)*A與等效峰值應(yīng)變?chǔ)?A為

f*A=fm（1-1.22（c*A）2/3），（6）

ε*A=fm（1-1.22（c*A）2/3）E*A。（7）

1.4第2步等效

第2步等效為等效體A與新界面的等效，設(shè)新界面的孔隙率citz，同第1步等效，那么孔隙占據(jù)新界面和等效體兩部分的等效體B的孔隙率c*B為

c*B=c*ACoit+CmCoit+Cm+Citz。（8）

將得到的等效體B的孔隙率c*B和等效體A的等效體積模量K*A、等效彈性模量E*A、等效強(qiáng)度f(wàn)*A以及等效峰值應(yīng)變?chǔ)?A對(duì)應(yīng)地代入式（3）、式（5）—式（7），得到了等效體B的等效體積模量K*B、等效彈性模量E*B、等效強(qiáng)度f(wàn)*B以及等效峰值應(yīng)變?chǔ)?B。同樣的，等效體B的泊松比為

ν*B=ν*ACm+CoitCm+Coit+Citz+νitzCitzCm+Coit+Citz 。 （9）

五相隨機(jī)模型等效為三相的界面等效模型效果圖如圖4所示。

本文沒(méi)有采用老界面、老砂漿和新界面一步等效為一相介質(zhì)，采用的是兩步等效方法，即先將老界面和老砂漿等效為一相介質(zhì)，然后再將生成的等效介質(zhì)與新界面等效為一相介質(zhì)。雖然兩種方法求得的孔隙率（老界面與新界面中的孔隙占老界面、老砂漿和新界面的體積比）是一樣的，但是根據(jù)式（3）—式（5）和式（6）、式（9）分兩步等效得到的等效剪切模量、等效彈性模量、等效強(qiáng)度、等效泊松比都會(huì)更為準(zhǔn)確。

2基面力元法模型

基面力元法控制方程指依據(jù)勢(shì)能原理的基面力元法，使用位移梯度作為基力的共軛變量來(lái)建立新的有限元方法的控制方程。PENG等[20-21]基于“基面力的概念”推導(dǎo)出一個(gè)三角形基面力元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式表達(dá)式。圖5為一個(gè)考慮邊界的三角形基面力元，用I，J，K表示各頂點(diǎn)，uI，uJ，uK表示各頂點(diǎn)的位移。

基面力單元的剛度矩陣可以表示為

KIJ=E2A（1+ν）×

2ν1-2νmImJ+mIJU+mJmI，

I，J=1，2，3，（10）

式中：E為彈性模量；ν為泊松比；A為單元面積；U為單位張量，U=PαPα=PαPα；mIJ=mI·mJ。其中Pα是基本向量；Pα是Pα的共軛向量；mI表示為

mI=mIαPα=12（LIJnIJ+LIKnIK），（11）

式中：LIJ 和LIK分別是單元中IJ和IK的邊長(zhǎng)；nIJ和nIK分別是單元中IJ和IK的外部法線。

對(duì)于平面問(wèn)題，式（10）可以用E來(lái)代替E1-ν2，用ν代替ν1-ν。

3再生混凝土單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)M

3.1損傷本構(gòu)模型

本文針對(duì)再生混凝土材料損傷特性，采用較為常用的雙折線損傷本構(gòu)模型，但是為了更好地適合再生混凝土破壞機(jī)理，又對(duì)雙折線損傷本構(gòu)模型的極限階段進(jìn)行了調(diào)整，認(rèn)為在此極限階段應(yīng)力會(huì)從殘余應(yīng)力下降至零。雙折線損傷模型如圖6所示。

ε0是單元應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度時(shí)的主拉應(yīng)變，εr是殘余應(yīng)變，εu是極限拉應(yīng)變，ft是抗拉強(qiáng)度，ftr是抗拉殘余強(qiáng)度。

3.2加載模型

本文基于再生混凝土等效界面模型，模擬再生混凝土的單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?jiàn)圖7 a）。通過(guò)對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷谋举|(zhì)簡(jiǎn)化，認(rèn)為本文單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牧⒎襟w試件底邊所有結(jié)點(diǎn)的豎向位移均被約束，而中間結(jié)點(diǎn)的水平位移及豎向位移都被約束住，簡(jiǎn)化后的加載模型見(jiàn)圖7 b）。

3.3材料參數(shù)

試驗(yàn)所用再生混凝土由五相介質(zhì)組成，其粒徑、顆粒數(shù)滿足富勒級(jí)配曲線，砂漿層厚度選用較常采用的42%，選取與文獻(xiàn)＼[23—24＼]相同的材料參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M，各相介質(zhì)的參數(shù)見(jiàn)表1?；诮缑娴刃Ｐ?，對(duì)100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3組試件進(jìn)行單軸抗拉試驗(yàn)?zāi)M。先根據(jù)文獻(xiàn)＼[12＼]里含孔復(fù)合材料的有效強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度和孔隙率的關(guān)系（即式（6））反推算出老界面、新界面里老砂漿的孔隙率分別為6.63%和663%，再結(jié)合表1中老界面、老砂漿、新界面的彈性模量、泊松比、抗拉強(qiáng)度相應(yīng)代入式（4）—式（6）和式（9），最后生成等效后的三相再生混凝土的材料參數(shù)（見(jiàn)表2）。

考慮尺寸效應(yīng)帶來(lái)的影響，選擇100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3組試件為代表，采用界面等效模型，基于基面力元法進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)M，運(yùn)用Fortran編程語(yǔ)言軟件中QuickWin圖形顯示模塊得到破壞過(guò)程圖，如圖8所示。圖中每個(gè)試件初始圖像都為無(wú)損單元，對(duì)應(yīng)的深灰色填充單元為損傷單元，最后的黑色部分為破壞單元。

從圖8中可以看出，裂縫從再生混凝土等效模型的等效界面處開(kāi)始產(chǎn)生，即裂縫從各相介質(zhì)中低強(qiáng)度介質(zhì)開(kāi)始破壞，然后裂紋沿著周圍骨料的等效界面蔓延破壞，最后橫向貫穿。由此說(shuō)明試驗(yàn)?zāi)M效果較好，符合混凝土試驗(yàn)拉伸破壞規(guī)律。

運(yùn)用自己編制的基于再生混凝土界面等效模型的基面力元損傷分析的Fortran語(yǔ)言程序，對(duì)100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種尺寸等效界面模型再生混凝土試件進(jìn)行平面應(yīng)力分析，得到了每個(gè)試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖9所示。

從100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種尺寸等效界面模型再生混凝土試件的破壞曲線與普通五相隨機(jī)骨料模型再生混凝土試件的應(yīng)力-應(yīng)變破壞曲線的對(duì)比圖（圖9）中可知：由基于界面等效模型的再生混凝土基面力元法細(xì)觀損傷分析程序計(jì)算的100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3種試件的界面等效模型的抗拉強(qiáng)度分別為2.68，259和2.43 MPa；普通五相隨機(jī)骨料模型的抗拉強(qiáng)度分別為2.73，264和2.48 MPa；綜合文獻(xiàn)＼[27—28＼]可知，再生混凝土試驗(yàn)抗拉強(qiáng)度均在2.0～3.0 MPa之間，這是由于再生粗骨料的來(lái)源以及損傷本構(gòu)選取的不同而導(dǎo)致結(jié)果離散。在符合試驗(yàn)允許范圍的基礎(chǔ)上可以看出，與普通五相隨機(jī)骨料模型的抗拉強(qiáng)度相比，等效模型的抗拉強(qiáng)度誤差不大，只是在極限應(yīng)變上較小一些，綜合看來(lái)，基本吻合。

4結(jié)論

本文從研究再生混凝土的細(xì)觀角度出發(fā)，提出了一種新的細(xì)觀再生混凝土數(shù)值模擬分析新方法——基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，利用此模型對(duì)3種代表性尺寸再生混凝土試件進(jìn)行了單軸拉伸試驗(yàn)數(shù)值模擬，并與隨機(jī)骨料模型進(jìn)行了對(duì)比，得出的結(jié)果在符合試驗(yàn)允許范圍的基礎(chǔ)上，得到以下結(jié)論。

1）基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，由于再生混凝土分析介質(zhì)相數(shù)的減少，使得分析模型得以簡(jiǎn)化，降低了損傷分析的復(fù)雜程度。

2）采用基于勢(shì)能原理的基面力元法分析，剛度矩陣為顯式表達(dá)式，無(wú)需數(shù)值積分，提高了數(shù)值模擬的計(jì)算效率和精確度。

3）通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，說(shuō)明了新的再生混凝土界面等效模型可以替代普通五相模型。

本文模擬的再生骨料是球形，對(duì)應(yīng)的是卵石混凝土破碎，但在實(shí)際工程中大多建筑破碎為凸形，再生骨料即為凸形骨料，以后可以就再生凸骨料模型進(jìn)行研究模擬。此外，本文建立的模型都是二維平面，對(duì)再生混凝土進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果良好，但不能反映真實(shí)三維試件的損傷情況，由于實(shí)際工程中的試件及骨料均為三維，在以后的研究中可建立三維界面的等效模型。

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