上埋式涵洞豎向土壓力計(jì)算的新方法

劉凱 向先超 范志強(qiáng) 宋伯石

摘 要：為求得符合實(shí)際情況的上埋式涵洞涵預(yù)面豎向土壓力及涵頂填土內(nèi)豎向土壓力分布的變化規(guī)律，基于馬斯頓理論，改進(jìn)其分析模型，提出了新的計(jì)算方法。利用FLAC3D建立涵洞的數(shù)值分析模型，分析公式推導(dǎo)中的部分參數(shù)，推導(dǎo)出最終的計(jì)算公式。通過數(shù)值模擬、公式計(jì)算和與前人研究的成果對(duì)比可得出：上埋式涵洞涵頂面以及距離涵頂面不同高度處的層面上，其豎向土壓力呈現(xiàn)中間大兩側(cè)小、土壓力集中的曲線分布，且填土高度越高、越靠近涵頂面的豎向土壓力集中效應(yīng)就越明顯，涵頂點(diǎn)與兩側(cè)豎向土壓力差值也越大。推導(dǎo)出的計(jì)算公式能較為準(zhǔn)確地計(jì)算出涵頂土體中各點(diǎn)的豎向土壓力大小，并體現(xiàn)出豎向土壓力分布隨著距離涵頂面高度變化的規(guī)律。

關(guān)鍵詞：涵洞：土壓力計(jì)算；FLAC3D；豎向土壓力；馬斯頓理論

中圖分類號(hào)：TV222.2；U449

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi： 10.3969/j.issn.1000-1379.2018.06.024

涵洞是指修筑于地面之下用于輸油氣水或供交通使用的建筑物，在公路、鐵路、水利、市政等工程中廣泛應(yīng)用。根據(jù)埋設(shè)方式不同，涵洞可分為溝埋式、上埋式和隧洞式3種形式。不同埋設(shè)方式的涵洞，由于受力特征各不相同，因此涵頂填土壓力的計(jì)算方法存在差別。在此，筆者著重研究上埋式涵洞涵頂填土的受力特點(diǎn)，并對(duì)其豎向土壓力的計(jì)算方法進(jìn)行研究。

以往上埋式涵洞土壓力計(jì)算方法中應(yīng)用較廣的是散體極限平衡法，該方法的主要依據(jù)是Marston理論[1]，即假設(shè)上埋式涵洞中填土在自重壓力下發(fā)生沉降，但在沉降過程中，由于涵洞的剛度大于填土的剛度，涵洞上部的土體（內(nèi)土柱）沉降小于涵洞外側(cè)的土體（外土柱），因此內(nèi)外土柱之間會(huì)存在一個(gè)剪切面，外土柱沿剪切面給予內(nèi)土柱一個(gè)向下的剪切力，于是涵洞受到的土壓力是內(nèi)土柱白重與外土柱對(duì)其剪切力之和。Marston理論可謂奠定了埋地涵洞土壓力計(jì)算的基礎(chǔ)，其后諸多學(xué)者在此基礎(chǔ)上分別結(jié)合自己的見解和假設(shè)，提出過一些上埋式涵洞土壓力計(jì)算模型。如：曾國熙[2]認(rèn)為內(nèi)外土柱之間的側(cè)向作用力應(yīng)為根據(jù)朗肯土壓力得出的水平向側(cè)壓力，不應(yīng)將土的黏聚力略去，從而對(duì)馬斯頓理論進(jìn)行修正，推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。劉全林等[3]考慮管土之間的相互作用，確定了由管道變形引起的滑裂面的傾角和等沉面位置，建立了新的計(jì)算模型。婁奕紅等[4]假設(shè)涵頂土體形成楔形破裂體，考慮楔形體兩側(cè)受到的摩擦，然后計(jì)算楔形體對(duì)下方涵洞的土壓力。李永剛等[5]根據(jù)試驗(yàn)和模擬所得回填土體沉降位移場，首次提出上埋式涵洞和溝埋式涵洞土壓力統(tǒng)一計(jì)算方法和兩種涵洞土壓力系數(shù)一致的變化規(guī)律，以及等沉面高度的變化規(guī)律。申文明等[6-7]根據(jù)自己的試驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)為作用在涵頂面的土壓力并非均勻分布，通過假設(shè)涵頂面土壓力呈梯形分布，以此代人計(jì)算模型，得出淺埋深下相應(yīng)的計(jì)算公式。馬強(qiáng)等[8-11]研究探討了在填土中設(shè)置EPS板、加筋材料、土工柵格減載之后的土壓力計(jì)算公式。

此外，還有學(xué)者通過大量現(xiàn)場試驗(yàn)、模型試驗(yàn)或數(shù)值模擬的方式來探討涵洞土壓力的變化規(guī)律及影響因素。如：顧安全[12]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)研究了內(nèi)外土柱間的沉降差與土壓力之間的關(guān)系，然后從變形條件出發(fā)，以彈性理論解為基礎(chǔ)，計(jì)算內(nèi)外土柱間沉降差，最后以此求得涵洞土壓力。鄧國華等[13]利用有限單元法對(duì)填埋式涵洞的土壓力進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)隨著填土厚度的增大，垂直土壓力系數(shù)逐漸增大，并最終趨于穩(wěn)定值：同時(shí)，還探討了涵洞兩側(cè)填土不均以及不同壓實(shí)層對(duì)垂直土壓力系數(shù)的影響。楊錫武等[14-15]結(jié)合模型試驗(yàn)和ANSYS研究了不同邊界條件、跨徑、結(jié)構(gòu)形式下垂直土壓力隨高度的變化。李永剛等[5，16]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)和ANSYS分析了不同邊界條件、涵底寬度、涵洞結(jié)構(gòu)形式下土壓力隨填土高度變化的規(guī)律以及涵頂面不同位置處土壓力的大小。陳保國等[17-18]運(yùn)用FLAC2D和模型試驗(yàn)驗(yàn)證其設(shè)計(jì)的減載式涵洞減載效果，并推導(dǎo)出其上鋪設(shè)輕質(zhì)柔性材料后涵頂豎向土壓力的計(jì)算公式。

縱觀這些研究成果不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)者只專注于涵頂面豎向土壓力進(jìn)行研究，因此計(jì)算得到的土壓力分布往往呈均勻分布。然而，實(shí)際情況并非如此，涵頂面之上、填土表面之下的土柱中，豎向土壓力分布是具有一定變化規(guī)律的。

為了研究豎向土壓力的分布規(guī)律，以期達(dá)到和實(shí)際情況更為符合的效果，筆者以上埋式網(wǎng)涵為例，基于Marston理論，提出了新的分析計(jì)算模型。通過FLAC3D模擬得出內(nèi)土柱豎向剪應(yīng)力與分界面處豎向土壓力之間的關(guān)系式，再將此關(guān)系式代人上述計(jì)算模型，得到上埋式圓涵涵頂不同填土高度下內(nèi)土柱中不同層面（包括涵頂面）豎向土壓力的分布規(guī)律。

1 涵頂土壓力分析計(jì)算模型

在以往以Marston理論為基礎(chǔ)的計(jì)算模型中，所取的計(jì)算單元是水平土層，并假設(shè)該土層上下部受到的豎向土壓力是均布的，但這一假設(shè)與實(shí)際情況并不符合。為此，本文仍以Marston理論為基礎(chǔ)，對(duì)豎向土壓力問題的求解進(jìn)行改進(jìn)。

1.1 模型建立

沿涵頂面水平向有為x軸正向，以涵頂點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上為y軸正向，選取如圖1所示的水平計(jì)算單元，該單元關(guān)于y軸對(duì)稱，長度記為2x，寬度為dy。當(dāng)2x等于涵洞外徑D時(shí)，即與Marston計(jì)算模型一致。

該單元所受上部豎向壓力分布為q（x，y+dy），下部豎向壓力分布為q（x，y），兩側(cè)所受剪切力分別記為τ（x，y）和τ（-x，y），自身重力記為dW。由于計(jì)算單元關(guān)于y軸對(duì)稱，因此兩側(cè)的豎向剪切力是相等的。另外其上下側(cè)受到的水平剪切力和兩側(cè)的水平土壓力可互相抵消，因此可以忽略水平方向的受力計(jì)算。

在本文計(jì)算模型中，y軸正方向是豎直向上的，恰與重力方向相反，因此后文所需研究的豎向土壓力統(tǒng)一設(shè)為負(fù)值。

1.2 計(jì)算假定

（1）涵洞地基視為剛體，即不考慮涵洞地基的變形。

（2）填土均勻，其沉降變形關(guān)于涵頂縱垂面對(duì)稱。填土中除涵頂面以外的任意一點(diǎn)均存在因土體沉降差異而產(chǎn)生的豎向剪切力。內(nèi)外土柱的分界面為垂直平面，該分界面發(fā)生的相對(duì)沉降錯(cuò)動(dòng)使外土柱對(duì)內(nèi)土柱產(chǎn)生豎直向下的剪切力。

（3）內(nèi)土柱中豎向土壓力不是均勻分布，而是呈現(xiàn)曲線分布。

1.3 理論公式推導(dǎo)

鑒于上述所建模型關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn)，可建立計(jì)算單元豎向受力平衡方程：

距涵頂面不同高度y處的剪切力與分界面處剪切力之比隨相對(duì)位置（距涵頂點(diǎn)水平距離x與涵洞半徑之比）的變化規(guī)律見圖3?？梢姡羟辛χ入S著距涵頂高度的增大而稍有減小，這表明距涵頂高度增大，填土沉降差變小，涵洞的存在對(duì)土體應(yīng)力重分布的影響變小。同時(shí)，由于涵洞發(fā)生變形，在涵頂點(diǎn)附近填土沉降變大，因此在此區(qū)域內(nèi)[即圖3中y=0，0≤x/（ D/2）≤0.4]該位置剪切力之比反而比其他層面剪切力之比小。到填土表面一直減小，直至趨近零，但并不完全等于零。若存在等沉面，則等沉面之上的填土沉降一致，填土內(nèi)不存在豎向剪切力，剪切力與豎向土壓力比值為零。因此，可認(rèn)為涵洞之上填土中不存在等沉面。

2 數(shù)值模擬

2.1 有限差分計(jì)算模型

使用有限差分軟件FLAC3D構(gòu)建計(jì)算模型，由于所研究的問題不涉及沿涵洞走向的變化，可視為平面應(yīng)力應(yīng)變問題，因此僅取單位長度的涵洞模型，模型底部寬B=50 cm，厚度則為單位長度1 cm，其中涵洞外徑D= 10Cm，涵洞厚度1= 0.2 cm。填土為粒徑小于2mm的中細(xì)砂，本構(gòu)模型為Mohr - Coulomb模型：涵洞材料為C30混凝土，采用彈性本構(gòu)模型：填土與涵洞間設(shè)置接觸面，摩擦系數(shù)為0.3。模型中填土和涵洞的強(qiáng)度參數(shù)取參考文獻(xiàn)[16]中室內(nèi)模型試驗(yàn)的材料參數(shù)，主要參數(shù)見表1。

2.2 模型計(jì)算結(jié)果分析

2.2.1 數(shù)值模擬與模型試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

在文獻(xiàn)[16]的模型試驗(yàn)中，測得涵洞上覆填土高度H為10、30、50、70、90Cm情況下涵頂面不同位置處豎向土壓力（向上為正，向下為負(fù)）。應(yīng)用本文方法模擬計(jì)算了如上填土高度下涵頂面豎向土壓力，其與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比見圖4。

可見，F(xiàn)LAC3D模擬的涵頂面豎向土壓力分布規(guī)律與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果一致，皆為涵洞兩側(cè)豎向土壓力小，涵頂點(diǎn)處壓力最大。FLAC3D模擬計(jì)算得到的不同填土高度下各檢測點(diǎn)豎向土壓力與室內(nèi)試驗(yàn)實(shí)測值相差不大，這表明數(shù)值模擬結(jié)果是可信的。

2.2.2 填土內(nèi)應(yīng)力變化分析

基于填土高度H為70 cm的數(shù)值模型，對(duì)涵洞上方填土內(nèi)部豎向土壓力和剪切力的變化規(guī)律進(jìn)行分析。模型范圍選取涵頂面至其上方30Cm填土區(qū)域。繪制距涵頂點(diǎn)不同高度y處填土應(yīng)力分布曲線，見圖5、圖6。

可見，填土內(nèi)的土壓力由上至下逐漸由均勻分布變?yōu)榍€分布，其特征為中間大、兩側(cè)小，且越靠近涵頂面，其增大幅度越大。這表明愈接近涵頂面，豎向土壓力的集中效應(yīng)愈明顯：在涵頂面由于豎向土壓力過大，因此涵洞頂點(diǎn)發(fā)生變形，產(chǎn)生向下的位移。對(duì)于剪切力，涵頂點(diǎn)豎直面上剪切力基本為零：由涵頂點(diǎn)往外，剪切力先變大、后變小，在內(nèi)外土柱的分界面處剪切力基本達(dá)到最大，再往外則逐漸減至零。這說明從中心到兩側(cè)，填土不均勻沉降先增大后減小。越靠近涵頂面，剪切力變化幅度越大。

本文構(gòu)建的模型沿涵洞縱垂面對(duì)稱，故選取涵頂點(diǎn)右側(cè)8 cm的區(qū)域，每隔1 cm對(duì)這一垂面上豎向土壓力和剪切力隨y的變化曲線進(jìn)行繪制，見圖7、圖8。

可見，豎向土壓力在y≤50 c：m時(shí)基本呈線性增長，y>50 cm時(shí)呈現(xiàn)非線性增長，且其在涵洞上方的內(nèi)土柱中增長幅度變大，在外土柱中增長幅度變小，原因是外土柱中壓力轉(zhuǎn)移至內(nèi)土柱中。填土內(nèi)的剪切力遠(yuǎn)小于豎向土壓力，隨y增大，剪切力呈非線性變化，基本在內(nèi)外土柱的分界面處達(dá)到最大。在靠近涵頂點(diǎn)區(qū)域，由于涵洞向下發(fā)生變形，填土產(chǎn)生向下位移，差異沉降變小，因此剪切力反而稍有減小。

3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1 涵頂面豎向土壓力分布對(duì)比

根據(jù)上文推導(dǎo)得出的公式計(jì)算不同填土高度（H=10、30、50、70、90Cm）下涵頂面的豎向土壓力，并與前人的模型試驗(yàn)及經(jīng)典的Marston公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如圖9所示。

由圖9可見，本文提出的公式計(jì)算所得的不同填土高度下涵頂面豎向土壓力分布與模型試驗(yàn)結(jié)果較為吻合，均表現(xiàn)出涵頂面豎向土壓力由涵洞兩側(cè)向涵頂點(diǎn)呈逐漸增大的趨勢。當(dāng)填土高度較小時(shí)，無論是公式計(jì)算，還是模型試驗(yàn)結(jié)果，涵頂面土壓力分布曲線均較為平緩：當(dāng)填土高度較高時(shí)，這兩種方法得出的分布曲線呈現(xiàn)明顯的下凸形，且填土高度越高，下凸的幅度就越大。而經(jīng)典的Marston公式未能反映填土豎向土壓力不均勻分布的特征，而且其值偏離模型試驗(yàn)結(jié)果比較大。

3.2 填土內(nèi)豎向土壓力分布對(duì)比

由于前人的模型試驗(yàn)未測得填土內(nèi)部不同位置處豎向土壓力分布，因此本文僅比較數(shù)值模擬與公式計(jì)算同一填土高度下（H= 70Cm）內(nèi)土柱中不同層面（y=5、10、15、20、25、30 cm）的豎向土壓力分布（如圖10所示）。

由圖10可見，兩者的計(jì)算值較為吻合，距涵頂面較高層面的豎向土壓力分布曲線較為平緩，而距涵頂面較近時(shí)豎向土壓力曲線呈現(xiàn)出明顯的下凸形態(tài)。這也說明，距涵頂面越近涵洞的頂托作用以及對(duì)土體豎向變形的約束作用越強(qiáng)，涵頂點(diǎn)土壓力集中效應(yīng)越大。

3.3 幾種豎向土壓力算法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

以往的關(guān)于涵頂土壓力的計(jì)算方法如經(jīng)典的Marston公式、《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（以下簡稱公路規(guī)范）、《鐵路橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（以下簡稱鐵路規(guī)范）等，大多將涵頂面豎向土壓力視為均布力來處理。其中公路規(guī)范采用土柱法計(jì)算涵頂土壓力，即P_v=γH；鐵路規(guī)范則采用集中系數(shù)法，即p_v=kγH，其中系數(shù)k是由比值H/D（H為填土高度，D為涵洞外徑）進(jìn)行查表確定。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的合理性，本節(jié)將模型試驗(yàn)、數(shù)值模擬和本文公式算得的涵頂面平均豎向土壓力與經(jīng)典的Marston公式、公路規(guī)范、鐵路規(guī)范算得的結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)（見圖11）。同時(shí)，還比較了不同填土高度時(shí)這幾種方法算得的涵頂點(diǎn)豎向土壓力（見圖12）?？梢钥闯觯?/p>

（1）在埋深較淺時(shí)，Marston公式計(jì)算值較符合實(shí)測值，但是隨著填土高度的增大，其值急劇增大，遠(yuǎn)大于實(shí)測值。原因是Marston公式假設(shè)涵頂上方內(nèi)外土柱之間因沉降而產(chǎn)生了一個(gè)處于極限狀態(tài)的滑動(dòng)面，但是從本文數(shù)值模擬結(jié)果來看，很明顯不存在這樣的滑動(dòng)面，內(nèi)外土柱分界面處剪切力與豎向土壓力之比并非定值，而是從涵頂面至填土表面呈逐漸減小的趨勢。

（2）公路規(guī)范中土柱法計(jì)算所得的涵頂面平均土壓力值較模型試驗(yàn)值?。鸿F路規(guī)范采用的集中系數(shù)法算得的涵頂面平均土壓力較模型試驗(yàn)、數(shù)值模擬及本文公式算得的平均豎向土壓力都大，但其算得的涵頂點(diǎn)處豎向土壓力小于這三者計(jì)算出的涵頂點(diǎn)豎向土壓力。

（3）模型試驗(yàn)、數(shù)值模擬以及本文公式計(jì)算的結(jié)果，無論是涵頂面的平均土壓力值，還是涵頂點(diǎn)處豎向土壓力，都比較接近。

4 結(jié)語

本文在Marston理論的基礎(chǔ)上，提出了一種計(jì)算上埋式涵洞上覆土壓力的新方法。該方法綜合了理論解析公式的推導(dǎo)與數(shù)值模擬技術(shù)，使算得的土壓力值與實(shí)測值更為吻合。將本文方法與前人涵洞模型試驗(yàn)的結(jié)果、FLAC3D數(shù)值模擬結(jié)果、鐵路及公路規(guī)范中的方法進(jìn)行對(duì)比，得到以下結(jié)論：

（1）涵頂填土中，距涵頂面不同高度的層面（包括涵頂面）豎向土壓力并非均勻分布，而是表現(xiàn)為中間大、兩側(cè)小，涵頂中心土壓力集中，并且填土高度越高、距涵頂面越近，集中效應(yīng)越大。

（2）在內(nèi)外土柱的分界面不存在處于極限狀態(tài)的滑動(dòng)面，從涵頂面到填土表面，在分界面處剪切力逐漸變小，同時(shí)剪切力與豎向土壓力的比值也逐漸減小。

（3）本文提出的計(jì)算方法與模型試驗(yàn)的實(shí)測結(jié)果較為接近，能較好地反映涵頂填土內(nèi)豎向土壓力的分布及變化規(guī)律，且計(jì)算出來的涵頂面豎向土壓力平均值在鐵路規(guī)范與公路規(guī)范計(jì)算所得的平均豎向土壓力之間，而經(jīng)典的Marston公式計(jì)算出來的結(jié)果遠(yuǎn)大于模型試驗(yàn)值。

本文分析計(jì)算基于網(wǎng)形涵洞，最后推導(dǎo)出來的公式僅限于計(jì)算圓形涵洞之上填土的豎向土壓力，然而不同涵洞形式對(duì)豎向土壓力分布影響很大，對(duì)于如箱形、拱形等形狀的涵洞則不適用。本文公式推導(dǎo)時(shí)對(duì)不同層面處剪切力分布規(guī)律進(jìn)行了一定簡化，認(rèn)為其分布規(guī)律由填土面到涵頂面保持一致，綜合考慮擬合出相關(guān)函數(shù)，但這與實(shí)際情況有一定差異，計(jì)算結(jié)果誤差隨填土高度增加而變大。另外，計(jì)算模型未涉及涵洞與地基的變形，而在數(shù)值模擬和實(shí)際應(yīng)用中，涵洞承受的土壓力過大會(huì)發(fā)生變形，涵頂點(diǎn)附近填土向下位移，涵頂面豎向土壓力集中程度有所變?nèi)?。并且，本文?shù)值模擬選用的填土材料為無黏性土，并未考慮黏聚力的影響。這些不足之處還需在后續(xù)工作中展開研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]

MARSTON A.The Theory of External Loads on Closed Con-duits in the Light of the Latest Experiments[J].HighwayResearch Board Proceedings， 1930，9：138- 170.

[2] 曾國熙，土壩下涵管豎向土壓力的計(jì)算[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），1960（1）：79-97.

[3]劉全林，楊敏.上埋式管道上豎向土壓力計(jì)算的探討[J].巖土力學(xué)，2001，22（2）：214-218.

[4]婁奕紅，王秉勇.涵洞頂填土壓力的計(jì)算分析[J].巖土力學(xué)，2003，24（3）：475-478.

[5] 李永剛，張善元.矩形溝埋涵洞頂部垂直土壓力試驗(yàn)和理論研究[J].巖土力學(xué)，2008，29（4）：1081-1086.

[6] 申文明，邊學(xué)成，唐曉武，等.低填方上埋式管涵土壓力的模型試驗(yàn)和理論研究[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2010，32（7）：1017 -1022.

[7] 申文明.埋地管涵一土相互作用及管涵結(jié)構(gòu)橫縱向受力特性研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2011：183-185.

[8] 馬強(qiáng).高填方涵洞受力特性及新型格柵減載方法研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2011：105 - 106.

[9] 李盛，王起才，馬莉，等.黃土地區(qū)高填土明洞土拱效應(yīng)及土壓力減載計(jì)算[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014，33（5）：1055-1062.

[10] 李盛，王起才，馬莉，等.高填黃土明洞土拱效應(yīng)及土壓

力減載模型分析[J].土木_廠程學(xué)報(bào)，2014（7）：118-125.

[11] 李盛.高填黃土明洞卸載結(jié)構(gòu)的垂直土壓力特性和計(jì)算方法研究[D].蘭州：蘭州交通大學(xué)，2015：130-131.

[12]顧安全.上埋式管道及洞室垂直土壓力的研究[J].巖土工程學(xué)報(bào)，1981，3（1）：3-15.

[13] 鄧國華，邵生俊.填埋式涵洞上覆土壓力的有限元分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2004，23（增刊1）：4356-4360.

[14] 楊錫武，張永興.公踣高填方涵洞土壓力變化規(guī)律及計(jì)算方法研究[J].土木工程學(xué)報(bào)，2005（9）：119 - 124.

[15] 楊錫武，張永興.山區(qū)公路高填方涵洞的成拱效應(yīng)及土壓力計(jì)算理論研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24（ 21）：89-95.

[16] 李永剛.溝埋式和上埋式涵洞土壓力統(tǒng)一計(jì)算理論研究[D].太原：太原理工大學(xué)，2009：96-97.

[17] 陳保國，宋丁豹，王云輝，等.減載式剛性涵洞減載機(jī)理與受力特性研究[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，44（4）：79-84.

[18] CHEN B，SONG D， MAO X， et al.Model Test and Nu-merical Simulation on Rigid Load Shedding Culvert Back-filled with Sand [J]. Computers and Geotechnics， 2016，79：31- 40.