基于局部特征子結(jié)構(gòu)方法的連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

毛虎平,高鵬飛,秦健健

(中北大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引言

大型連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的難度非常大，主要表現(xiàn)在兩個方面：①大型連續(xù)結(jié)構(gòu)有限元分析非常耗時，造成尋優(yōu)過程效率低下；②桿單元、平面單元、梁單元等這些簡單單元常以單元截面積、單元厚度和梁截面積為設(shè)計變量，很容易實現(xiàn)，而連續(xù)結(jié)構(gòu)不具備這些特點，因此其參數(shù)化比較困難。根據(jù)子結(jié)構(gòu)方法的優(yōu)勢與優(yōu)化過程中各個子功能的特點重新進(jìn)行優(yōu)化是一種有效的解決方案。

采用一般有限元法求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)時，常常遇到計算機(jī)容量不足或所需機(jī)時過長的問題。為克服這類困難，采用位移子結(jié)構(gòu)法研究平面問題，在滿足子結(jié)構(gòu)內(nèi)節(jié)點處平衡條件和相容條件的情況下，綜合各子結(jié)構(gòu)的受力與變形，將龐大的原結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)來計算[1]。主模態(tài)疊加法是特殊的Ritz向量，其僅反映結(jié)構(gòu)自身的動力特性，而與結(jié)構(gòu)所承受的動力載荷無關(guān)，因此在確定結(jié)構(gòu)對外部動態(tài)載荷的響應(yīng)時，無法事先知道哪些Ritz向量的貢獻(xiàn)是主要的，也就無法事先決定該取多少Ritz向量進(jìn)行疊加比較合適。Wilson提出了Ritz向量直接疊加法，其中Ritz向量的選擇不僅與結(jié)構(gòu)自身的動力特性有關(guān)，還與結(jié)構(gòu)所承受的載荷空間分布性態(tài)相關(guān)聯(lián)，在此基礎(chǔ)上，樓夢麟[2]提出了結(jié)構(gòu)動力分析的靜態(tài)子結(jié)構(gòu)法。

對汽輪機(jī)零部件進(jìn)行有限元分析時，存在有限元形成的線性代數(shù)方程組階數(shù)高的問題，例如對成組葉片的強度分析可以達(dá)到幾千階方程組，因此求解時首先考慮計算機(jī)的容量和速度問題。鄭鑫元[3]研究了大型結(jié)構(gòu)問題的靜態(tài)和動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法；李元科等[4]采用子結(jié)構(gòu)的思想，將高階剛度方程簡化為低階凝聚方程，由接觸點位移與力的關(guān)系引入接觸邊界條件，最后計算了滾動軸承的有限元分析。在求解靈敏度的分解法中，更關(guān)心的是子問題之間的位移耦合信息，子問題間的應(yīng)力約束耦合取決于位移耦合，基于這一點，兆文忠等[5]從結(jié)構(gòu)分析的子結(jié)構(gòu)概念出發(fā),提出位移敏度分析子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行子結(jié)構(gòu)技術(shù)的深入研究。

拓?fù)鋬?yōu)化以單元為拓?fù)渥兞?，對于大型結(jié)構(gòu)，拓?fù)渥兞侩S著單元數(shù)的增多而增多，會導(dǎo)致求解困難。借助子結(jié)構(gòu)的思想，可以將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為多個子結(jié)構(gòu)，分別進(jìn)行優(yōu)化，最后達(dá)到優(yōu)化整體結(jié)構(gòu)的目的[6]。為了得到不同內(nèi)力載荷需求的傳力路徑，可以基于子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分開，使內(nèi)力暴露出來，然后以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，以內(nèi)力為約束建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，基于獨立、連續(xù)、映射方法和單位載荷法將內(nèi)力顯式化，通過累加獲得需要控制的傳力路徑上的內(nèi)力，通過迭代調(diào)整各路徑上的內(nèi)力使其比值達(dá)到一個穩(wěn)定的值，從而獲得滿足內(nèi)力約束的傳力路徑[7]。傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法在整體求解尋優(yōu)過程中不能控制特定區(qū)域的材料分布，舒磊等[8]提出復(fù)合域拓?fù)鋬?yōu)化方法，即在不同區(qū)域指定不同數(shù)量的材料，以改善汽車或設(shè)備在不同工作環(huán)境下的需要。

為了解決數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗子結(jié)構(gòu)的邊界協(xié)調(diào)耦合問題，降低子結(jié)構(gòu)之間的依賴性問題，可根據(jù)各個子結(jié)構(gòu)的特點選用專用的有限元軟件進(jìn)行分析或試驗。江浩然等[9]提出界面單元子結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)方法，通過對子域引入邊界力并建立邊界上的平衡關(guān)系和位移協(xié)調(diào)關(guān)系，使界面單元可以耦合多個子結(jié)構(gòu)，但子結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點不用完全對應(yīng)。也可以定義一個虛擬單元集合，該集合擁有有限個虛擬節(jié)點，而虛擬節(jié)點與實際節(jié)點可以不對應(yīng)[10]，同樣能夠解決界面單元耦合多個子結(jié)構(gòu)的難題。汪博等[11]根據(jù)阻抗耦合子結(jié)構(gòu)法的基本原理，給出基于阻抗耦合子結(jié)構(gòu)法求解電主軸固有特性的流程。

針對大型結(jié)構(gòu)精確靈敏度直接分析方法求解時間長的問題，張保等[12]通過重新排列節(jié)點，將與設(shè)計變量有關(guān)的節(jié)點位移排到總位移列陣的后面，按重排后的順序投放剛度矩陣，然后對其進(jìn)行區(qū)域分塊，并聚縮得到子結(jié)構(gòu)矩陣，顯著提高了效率。子結(jié)構(gòu)方法能夠?qū)⒑芨唠A數(shù)的線性方程組轉(zhuǎn)化為低階方程組，采用凝聚、降級、分階段的方法進(jìn)行求解，可滿足大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元分析的需要[13]。由于客車有限元模型的單元數(shù)量比較龐大，使拓?fù)浞治鲂枰馁M大量的計算機(jī)時和人力資源，張帆等[14]在某空氣懸架客車的拓?fù)鋬?yōu)化分析中引入子結(jié)構(gòu)法，將不需要進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的部分通過矩陣凝聚生成超單元，將待優(yōu)化部分與超單元連接建立拓?fù)淠Ｐ?，極大地減少了模型的單元數(shù)量。

在結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計中常有多個設(shè)計參數(shù)，每個變量參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)性能的影響不同，如何選擇對結(jié)構(gòu)動態(tài)特性影響最靈敏的變量作為調(diào)整的主參數(shù),對于提高結(jié)構(gòu)動態(tài)特性具有十分重要的意義，然而龐大的分析量和機(jī)時在實際操作中會帶來極大的困難。為此，張灶法等[15]提出一種便捷有效的基于應(yīng)力值的靜態(tài)靈敏度分析子結(jié)構(gòu)法。動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的基本原理建立在振型疊加法基礎(chǔ)上，僅適合于求解線性結(jié)構(gòu)的動力問題，限制了動態(tài)子結(jié)構(gòu)法在非線性結(jié)構(gòu)體系的應(yīng)用，王菲等[16]提出適用于非線性子結(jié)構(gòu)與多個線性子結(jié)構(gòu)邊界耦合的模態(tài)綜合方法，將整體體系劃分為線性和非線性兩類子結(jié)構(gòu)，對線性子結(jié)構(gòu)按照勢能判據(jù)截斷準(zhǔn)則進(jìn)行自由度縮減，最終與非線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合獲得非線性體系的動態(tài)響應(yīng)。丁曉紅等[17]針對復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中因構(gòu)件的邊界條件難以確定而不能得到最優(yōu)結(jié)果的問題，基于子結(jié)構(gòu)法，根據(jù)力的傳遞路徑確定構(gòu)件所承受的載荷，以保證構(gòu)件邊界條件的準(zhǔn)確性，并通過逐步逼近優(yōu)化最終得到構(gòu)件材料分布的拓?fù)湫螒B(tài)。鐘薇等[18]針對復(fù)雜離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化中設(shè)計變量多等問題，提出基于子結(jié)構(gòu)法的分解協(xié)調(diào)策略，并給出結(jié)構(gòu)分析協(xié)同優(yōu)化框架，將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多個并行、獨立的子結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

通過文獻(xiàn)分析可以看出，子結(jié)構(gòu)方法已經(jīng)應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化等各個工程技術(shù)領(lǐng)域，其本身也得到了快速發(fā)展，然而缺乏利用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化的通用性研究?；诖?，本文提出一種基于局部特征子結(jié)構(gòu)劃分的連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，采用3類局部特征不同的子結(jié)構(gòu)分別承擔(dān)優(yōu)化過程中的3類功能，每一類子結(jié)構(gòu)均會改善優(yōu)化過程中不同子功能的性能，從而使總體優(yōu)化具有高效性和收斂性。

1 連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題描述

本文研究的對象是連續(xù)結(jié)構(gòu)(如柴油機(jī)活塞等)在允許的應(yīng)力和位移約束下使結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化的問題。優(yōu)化模型如下

minW(X)。

s.t.

|σ|max(S,X)≤σu;

|d|max(S,X)≤du;

K(X)U=F。

(1)

式中：W為整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量，X為設(shè)計變量向量，S為狀態(tài)變量向量，|σ|max(S,X)為結(jié)構(gòu)絕對最大應(yīng)力，σu為允許的應(yīng)力上限，|d|max(S,X)為結(jié)構(gòu)絕對最大位移，du為允許的位移上限，K(X)為總剛度矩陣，U為節(jié)點位移向量，F(xiàn)為力向量。

目前優(yōu)化方法分為兩大類:第一類是基于梯度的優(yōu)化方法，如序列二次規(guī)劃法(Sequential Quadratic Programming, SQP)等；第二類是現(xiàn)代優(yōu)化方法，如遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)等?；谔荻鹊膬?yōu)化方法又分為約束優(yōu)化和無約束優(yōu)化，絕大部分工程問題均為約束優(yōu)化，其求解可采用第一類優(yōu)化方法，也可采用第二類優(yōu)化方法。與現(xiàn)代優(yōu)化方法相比，基于梯度的優(yōu)化方法具有仿真次數(shù)少、效率高的特點，因此在連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中通常采用基于梯度的優(yōu)化方法。然而，因為工程問題大部分為基于仿真的優(yōu)化，即求解目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均需要進(jìn)行大型計算(如有限元分析)，所以梯度計算一般采用中心差分法，這種方法求梯度的仿真次數(shù)為2n+1次(n為設(shè)計變量個數(shù))，結(jié)構(gòu)仿真耗費時間較多，因此可以從結(jié)構(gòu)仿真出發(fā)考慮采用更先進(jìn)的方法來提高效率。子結(jié)構(gòu)法是目前提高結(jié)構(gòu)仿真效率的有效方法之一。

2 子結(jié)構(gòu)法

子結(jié)構(gòu)法是將一組單元用矩陣凝聚為一個超單元的過程。超單元的使用方法與其他單元一樣，不同的是超單元能夠節(jié)省大量計算時間，在計算機(jī)資源有限的情況下解決大規(guī)模問題，從而提高效率，特別是在含有反復(fù)迭代的各種動力學(xué)分析、非線性分析和優(yōu)化分析中更能顯示其無比的優(yōu)越性。處理子結(jié)構(gòu)之間的耦合問題常采用子結(jié)構(gòu)綜合法，該方法分為固定界面模態(tài)綜合法和自由界面模態(tài)綜合法兩類。本文擬采用子結(jié)構(gòu)綜合法，子結(jié)構(gòu)的劃分原理如圖1所示，圖中沿著虛線將整體結(jié)構(gòu)劃分為2個子結(jié)構(gòu)I1和I2，虛線B為每個子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)相鄰的邊界，其上的節(jié)點為連接節(jié)點，其余節(jié)點為內(nèi)部節(jié)點。

一般結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析的整體有限元控制方程為式(1)中約束函數(shù)的最后一個等式。首先將其分解為子結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)之間的界面兩部分，即

(2)

(3)

(4)

(5)

求解式(3)可得子結(jié)構(gòu)邊界位移，將其分別代入式(2)相應(yīng)的部分即可求出各子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點的位移。

3 子結(jié)構(gòu)法的實施

子結(jié)構(gòu)法的實施包括以下6部分：

(1)確定子結(jié)構(gòu)部分 將需要優(yōu)化的連續(xù)結(jié)構(gòu)劃分為兩大類子結(jié)構(gòu)：①既不包含狀態(tài)變量，也不包含設(shè)計變量的子結(jié)構(gòu)；②包含狀態(tài)變量或設(shè)計變量的子結(jié)構(gòu)。前一類需要運用子結(jié)構(gòu)方法，后一類不用子結(jié)構(gòu)方法。

在優(yōu)化過程中，第一類子結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)不變，第二類子結(jié)構(gòu)又可分為兩類：①參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，指包含有設(shè)計變量的局部結(jié)構(gòu)；②狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)，指包含有狀態(tài)變量的局部結(jié)構(gòu)，即約束函數(shù)或目標(biāo)函數(shù)中含有的狀態(tài)變量，但又不是設(shè)計變量。在一個結(jié)構(gòu)中，參數(shù)化子結(jié)構(gòu)和狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)都可以有多個。有時參數(shù)化子結(jié)構(gòu)不僅包含設(shè)計變量,還包含狀態(tài)變量，但狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)只包含狀態(tài)變量。

如圖2所示，整體結(jié)構(gòu)分為3個子結(jié)構(gòu)Ii(i=1,2,3);B構(gòu)成每個子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)相鄰的邊界，其上的節(jié)點為連接節(jié)點，其余節(jié)點為內(nèi)部節(jié)點。I1是第一類子結(jié)構(gòu)，其在優(yōu)化過程中的幾何結(jié)構(gòu)不變，而且既不包含設(shè)計變量，也不包含狀態(tài)變量;I2,I3是第二類子結(jié)構(gòu)，其中I2為參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，I3為狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)。

(2)選擇主自由度 主自由度包括：①與非超單元的接觸部分的所有節(jié)點；②約束條件對應(yīng)的所有節(jié)點；③施加載荷的所有節(jié)點;④任意節(jié)點(這些節(jié)點的選擇與精度有關(guān)系)。一般結(jié)構(gòu)僅選擇①②③作為主自由度即可，在某些特殊情況下除了①②③作為主自由度之外，還要考慮④相關(guān)的主自由度。

(3)將不同的子結(jié)構(gòu)分別生成超單元 根據(jù)式(2)～式(5)將每個子結(jié)構(gòu)進(jìn)行矩陣縮減，大大縮小了整體組裝后的矩陣規(guī)模。

(4)耦合超單元與非超單元 超單元是連續(xù)結(jié)構(gòu)中既不包含狀態(tài)變量，也不包含設(shè)計變量的部分。幾何結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過程中不會改變，如果在優(yōu)化前對超單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分并施加邊界條件，則優(yōu)化時可以直接使用，從而節(jié)省大量時間。非超單元是連續(xù)結(jié)構(gòu)包含設(shè)計變量或設(shè)計變量的部分，這部分又分為兩種：①包含設(shè)計變量的同時，也可能包含狀態(tài)變量，對這部分子結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分并施加邊界條件需要實時進(jìn)行，最重要的是超單元與非超單元之間的連接部分，即公共部分，以超單元所對應(yīng)公共部分的節(jié)點為初始條件劃分非超單元，然后將兩種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的公共面節(jié)點耦合起來；②只包含狀態(tài)變量，與超單元子結(jié)構(gòu)的處理方式類似，這部分子結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過程中不會改變，因此在優(yōu)化之前將這部分子結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分并施加邊界條件，然后與超單元子結(jié)構(gòu)耦合，在優(yōu)化過程中直接應(yīng)用，也可節(jié)省大量時間。利用狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)的目的是避免每次完成仿真后對超單元進(jìn)行擴(kuò)展，從而極大地提高計算效率。

(5)求解 耦合后的結(jié)構(gòu)整體矩陣規(guī)模遠(yuǎn)小于非子結(jié)構(gòu)整體矩陣，可用高斯消元法求解。一般在一個連續(xù)結(jié)構(gòu)中，超單元子結(jié)構(gòu)所占比例總是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，因此子結(jié)構(gòu)的應(yīng)用可以大大減小計算規(guī)模，提高計算效率。

(6)擴(kuò)展 擴(kuò)展需要耗費時間，對于需要反復(fù)求解的問題，可以將擴(kuò)展放在最后進(jìn)行，例如優(yōu)化過程中需要反復(fù)求解結(jié)構(gòu)有限元模型，擴(kuò)展僅用于優(yōu)化結(jié)束時的驗證分析。應(yīng)用狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)就是為了避免進(jìn)行子結(jié)構(gòu)擴(kuò)展計算，從而節(jié)省大量時間，提高效率。

4 基于子結(jié)構(gòu)法的優(yōu)化迭代

優(yōu)化過程如圖3所示。圖3a為劃分子結(jié)構(gòu)時，狀態(tài)變量不是單獨在一個子結(jié)構(gòu)中，而是包含在參數(shù)化子結(jié)構(gòu)中，這樣可以省去構(gòu)造狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)。圖3b為一般的優(yōu)化過程，包括超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)、參數(shù)化子結(jié)構(gòu)3部分，前兩部分對應(yīng)的有限元模型只需生成一次，在迭代過程中與最后一部分耦合參與整體模型求解，求解完成后，從狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)中提取狀態(tài)變量值，從參數(shù)化子結(jié)構(gòu)中提取所狀態(tài)變量值，然后將所有狀態(tài)變量的值和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量初值返回優(yōu)化器，通過優(yōu)化器分析計算后決定下一組迭代的設(shè)計變量值。參數(shù)化子結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過程中需要實時生成幾何結(jié)構(gòu)、劃分網(wǎng)格、施加邊界條件以及耦合與其他子結(jié)構(gòu)的接觸邊界，即利用新設(shè)計變量值重新生成參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，這樣反復(fù)迭代直至收斂。

圖3中沒有擴(kuò)展這一步，是因為從優(yōu)化的角度劃分子結(jié)構(gòu)時，已經(jīng)進(jìn)行了充分考慮。因此將整體結(jié)構(gòu)劃分為3種類型子結(jié)構(gòu)，即超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，優(yōu)化過程中僅從狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)中獲取目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)所需的狀態(tài)變量值即可，因此不需要對超單元子結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展。

5 柴油機(jī)活塞設(shè)計實例分析

某柴油機(jī)活塞主體材料的彈性模量為7.0×106Pa，泊松比為0.3，鑲?cè)Σ牧系膹椥阅Ａ繛?1.0×106Pa，泊松比為0.33，幾何尺寸和形狀如圖4所示。為了說明子結(jié)構(gòu)法的優(yōu)越性，以活塞質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)、油腔形狀為設(shè)計變量進(jìn)行優(yōu)化。

本文建模時沒有考慮氣缸，因此忽略側(cè)推力、摩擦力對活塞的影響。機(jī)械應(yīng)力主要由最大爆發(fā)壓力和活塞慣性力作用生成。缸內(nèi)壓力的施加情況如圖5所示，結(jié)合活塞的實際受力情況，將缸內(nèi)壓力pj按均布力施加在活塞頂面，并以一定比例分別施加在各環(huán)槽和環(huán)岸?；钊鶑?fù)慣性力由活塞加速度曲線得到。因為采用1/4有限元模型進(jìn)行靜力學(xué)分析，所以在對稱面上施加對稱約束，在活塞銷座上施加全約束。當(dāng)進(jìn)行靜力學(xué)分析時，考慮最大爆壓時刻活塞的受力情況，采用本文方法將活塞根據(jù)前期試算應(yīng)力分布劃分為3個子結(jié)構(gòu)，分別為超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖6所示。

有限元仿真計算是基于結(jié)構(gòu)的三維實體模型進(jìn)行的，在保證仿真計算精度的前提下，為降低計算時間，采用1/4活塞組合模型作為有限元計算模型，并采用Solide45單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。初始活塞計算所用的有限元模型網(wǎng)格如圖6所示，該模型包括123 011個四面體單元和24 695個節(jié)點。在圖6a中，前兩個圖是幾何結(jié)構(gòu)，為超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)的不同部分，后兩個圖是生成3個子結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格模型。柴油機(jī)活塞優(yōu)化模型：

柴油機(jī)活塞的子結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法如圖3b所示。優(yōu)化器采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)，并結(jié)合有限元求解器進(jìn)行優(yōu)化。對于柴油機(jī)活塞來說，經(jīng)過前期試算，發(fā)現(xiàn)約束函數(shù)需要的狀態(tài)變量并不包含在參數(shù)化子結(jié)構(gòu)中，因此需要獨立構(gòu)造狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)(如圖6a)，其中柴油機(jī)活塞設(shè)計變量有5個，如圖6b所示。

為了說明本文方法的有效性，并排除初始值對結(jié)果的影響，在設(shè)計域內(nèi)任意取5個點作為初始值進(jìn)行優(yōu)化。初始值選擇和優(yōu)化結(jié)果如表1所示，5組初始值的優(yōu)化迭代過程如圖7所示，第5組初始值優(yōu)化的結(jié)果驗證如圖8所示。

從圖7、圖9和表1～表4可以看出，初始值不同，最優(yōu)值也不同，這是由局部優(yōu)化導(dǎo)致的，而且由目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)組成的設(shè)計域所構(gòu)成的函數(shù)是一個黑箱函數(shù)，可以確定一個多峰值函數(shù)，要獲得全局最優(yōu)解，需要全局優(yōu)化求解器，然而目前全局優(yōu)化求解器(GA、模擬退火算法和粒子群優(yōu)化算法等全局優(yōu)化算法)的仿真次數(shù)非常高，將其直接應(yīng)用于工程問題求解的成功率很小。與現(xiàn)代優(yōu)化方法相比，基于梯度的優(yōu)化方法能接受但為局部收斂，只能從多初始點角度盡可能地獲得全局最優(yōu)。

圖7所示為柴油機(jī)活塞基于子結(jié)構(gòu)法優(yōu)化的迭代歷程，從圖7a可以看出其優(yōu)化過程波動非常大，且波動與圖7b對應(yīng)。從表2可以看出，優(yōu)化結(jié)果均收斂到可行域內(nèi)，即均滿足約束函數(shù)，最優(yōu)函數(shù)值為0.099 192 0 kg(這僅為參數(shù)化子結(jié)構(gòu)部分)，迭代23次，仿真225次，用時54 536 s，平均仿真1次用時242 s/次。在不同初始值的5次優(yōu)化中，平均用時最多284 s/次，總體平均每仿真1次用時235.6 s/次。圖9所示為活塞直接優(yōu)化的迭代歷程，從圖9a可以看出其優(yōu)化過程的波動沒有本文方法大，且與圖9b也對應(yīng)。然而從表4可知，最優(yōu)解均未滿足約束函數(shù)，即約束函數(shù)值均不等于零，最小值為1.015×10-3，目標(biāo)函數(shù)最小值為0.074 602 9，但是其對應(yīng)的約束函數(shù)值為0.293 1。用同樣的優(yōu)化條件，5次優(yōu)化總體平均每仿真1次用時443 s/次。本文方法用時是傳統(tǒng)方法的53.18%，可節(jié)省時間46.82%，極大地提高了效率。

本次柴油機(jī)活塞優(yōu)化僅為說明基于子結(jié)構(gòu)法優(yōu)化的優(yōu)勢，因此對仿真部分做了部分簡化，將動態(tài)優(yōu)化簡化為靜態(tài)優(yōu)化，且未考慮溫度載荷。

6 結(jié)束語

本文根據(jù)優(yōu)化需要將連續(xù)結(jié)構(gòu)劃分為超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，然后將超單元子結(jié)構(gòu)進(jìn)行縮減，與狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)或與參數(shù)化子結(jié)構(gòu)完全耦合，極大地減小了計算規(guī)模，通過空腹梁結(jié)構(gòu)和柴油機(jī)活塞優(yōu)化，說明了基于子結(jié)構(gòu)法的多子結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法非常有效，并獲得了以下結(jié)論：

(1)局部特征子結(jié)構(gòu)將連續(xù)結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過程中承擔(dān)的主要任務(wù)劃分為3種子結(jié)構(gòu)，超單元子結(jié)構(gòu)的主要任務(wù)是減小仿真計算規(guī)模，狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)的主要任務(wù)是提供目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)所需的狀態(tài)變量值，參數(shù)化子結(jié)構(gòu)的主要任務(wù)是減小結(jié)構(gòu)重量，也是優(yōu)化的最終目標(biāo)。

(2)連續(xù)結(jié)構(gòu)總是可以按局部特征劃分為超單元子結(jié)構(gòu)、狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)，并且超單元子結(jié)構(gòu)包含連續(xù)結(jié)構(gòu)的大部分，狀態(tài)變量子結(jié)構(gòu)和參數(shù)化子結(jié)構(gòu)僅占小部分，但結(jié)構(gòu)達(dá)到一定規(guī)模時，前處理所耗費的時間幾乎可以忽略不計。

(3)基于局部特征的子結(jié)構(gòu)優(yōu)化在3種特征子結(jié)構(gòu)的相互耦合作用下，不但極大提高了效率，而且能很好地收斂。對于某柴油機(jī)活塞優(yōu)化問題(包括123 011個四面體單元和24 695個節(jié)點)，可以節(jié)省時間46.82%，極大地提高了優(yōu)化效率。