秩與維數(shù)教學(xué)中突出單位向量組的設(shè)計(jì)

趙正俊，孫廣人

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

向量組的秩(或者矩陣的秩)與線性空間的維數(shù)是線性代數(shù)及高等代數(shù)中兩個(gè)基本的概念，它們?cè)诰€性方程組的求解、矩陣?yán)碚撆c線性空間理論中具有重要的地位。同時(shí)，這兩個(gè)概念又具有一定程度的抽象性，是線性代數(shù)及高等代數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此秩與維數(shù)的教學(xué)方法成為眾多線性代數(shù)任課教師關(guān)注的焦點(diǎn)[1-6]。然而，從兩個(gè)概念的內(nèi)在關(guān)系出發(fā)統(tǒng)一處理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)在線性代數(shù)及高等代數(shù)相關(guān)教材文獻(xiàn)中[7-9]相對(duì)少見(jiàn)。在實(shí)際教學(xué)中，作者曾嘗試基于Gauss消元法提出在線性代數(shù)教學(xué)中突出行最簡(jiǎn)形的教學(xué)設(shè)計(jì)，該方法統(tǒng)一處理線性代數(shù)中行列式、矩陣以及線性方程組，獲得了不錯(cuò)的效果。秩與維數(shù)的求解屬于行最簡(jiǎn)形的應(yīng)用——要選擇能讓學(xué)生留下深刻印象且更加具體的對(duì)象來(lái)促進(jìn)教學(xué)，由作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，單位向量組（或者單位陣）無(wú)疑是一個(gè)合適的選擇。

1 向量組的秩

給定一個(gè)向量組確定它的秩并且求出一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是線性代數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)。與確定矩陣的秩相比，學(xué)生對(duì)于求解向量組的秩顯得更加困難。在教學(xué)過(guò)程中了解到很多學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)無(wú)法接受把向量組當(dāng)成一個(gè)整體，進(jìn)一步作成一個(gè)矩陣的想法，而眾所周知這一做法是計(jì)算向量組的秩的關(guān)鍵。除此之外，不少學(xué)生也不理解行向量組為什么要通過(guò)轉(zhuǎn)置再進(jìn)行初等行變換來(lái)確定其極大無(wú)關(guān)組，更加不能想象通過(guò)這種方法來(lái)確定同一向量組中其余向量在極大無(wú)關(guān)組下的線性表示。實(shí)際教學(xué)中，作者適當(dāng)突出了單位向量組的地位，幫助學(xué)生掌握這些比較難以理解的概念。

1.1 確定向量組的秩

如果一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組由單位向量組成，那么學(xué)生容易理解通過(guò)初等變換消去其余向量確定向量組的秩的做法。

例1三個(gè)行向量

由于前兩個(gè)是單位向量，α3是前兩個(gè)向量的線性組合，學(xué)生能夠理解作下列初等行變換可以確定這一向量組的秩：

而對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的向量組

不少學(xué)生雖然知道向量組等價(jià)的概念，卻不明白把向量組作成一個(gè)矩陣，然后對(duì)之實(shí)施初等行變換的做法。教師如果注意強(qiáng)調(diào)行最簡(jiǎn)形中的“單位向量組”，則有助于學(xué)生對(duì)于這一過(guò)程的理解。

關(guān)于行最簡(jiǎn)形的定義，可以參考通行的線性代數(shù)教材[3,7-9]。滿足以下兩個(gè)條件的矩陣A是行階梯形：

（1）A的所有元等于0的行出現(xiàn)在所有非零行的下方；

（2）如果A的第1,…,r行是非零行，每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元所在的列是j1,…,jr，則j1＜… ＜ jr。

進(jìn)一步如果行階梯形還滿足以下條件則被稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形：

（3）A的非零行的第一個(gè)非零元等于1，且它所在的列中只有1一個(gè)非零元。

例2以向量組

說(shuō)明為什么需要行最簡(jiǎn)形，主要原因是這3個(gè)向量作成矩陣后其中1、2、4列會(huì)出現(xiàn)“單位向量組”：

而之所以容易判斷它們線性無(wú)關(guān)，是由于k1α1+k2α2+k3α3=0，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁阶髠?cè)線性組合中第1、2、4分量等于零。

至此，多數(shù)學(xué)生已明白確定向量組秩的方法：通過(guò)初等行變換消去“多余的向量”，而一種確定是否還有“多余的”向量的方法，即為檢查“剩余”向量所組成的向量組的列中有沒(méi)有與剩余向量個(gè)數(shù)相等的單位向量組。若需出現(xiàn)單位向量組，直接的方法是對(duì)向量組作成的矩陣實(shí)施初等行變換求其最簡(jiǎn)形，因此，某種意義上求行最簡(jiǎn)形即為通過(guò)初等行變換化簡(jiǎn)矩陣，使之出現(xiàn)單位向量組或者單位矩陣的過(guò)程。當(dāng)然，求行最簡(jiǎn)形和化行階梯形相比一般要做更多的初等變換，因此需向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，如果只要求確定向量組的秩，則只需要把向量組構(gòu)成的矩陣化成行階梯形這種“不徹底”的形式即可。

1.2 初等行變換對(duì)列的影響

眾所周知，之所以把一個(gè)行向量組作成的矩陣轉(zhuǎn)置后再實(shí)施初等行變換來(lái)確定它的極大無(wú)關(guān)組，是由于初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關(guān)系。具體地說(shuō)，初等行變換使得線性相關(guān)的列依舊線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)的列依舊線性無(wú)關(guān)。然而對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，理論容易灌輸，理解比較困難。因此選擇一些典型的例子來(lái)說(shuō)明這一原理，當(dāng)然單位向量組又能起到很好的輔助作用。

例3在確定以下向量組

的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的過(guò)程中，典型做法是把它們作成一個(gè)矩陣并轉(zhuǎn)置

根據(jù)例2，易看出前3個(gè)列的1、2、4行形成一個(gè)單位向量組，所以線性無(wú)關(guān)，而通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形

因此看出前3列依舊線性無(wú)關(guān)。此時(shí)可提示學(xué)生原向量組有如下關(guān)系：

而上述矩陣最后一列前3個(gè)分量是2,1,-1，恰好是等式右側(cè)3個(gè)向量的系數(shù)。

這樣的神奇對(duì)應(yīng)引起學(xué)生的興趣，就可以引導(dǎo)他們分析深層原因。最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)：之所以系數(shù)有這樣精確對(duì)應(yīng)，是因?yàn)檠芯恳唤M行向量α1,…,αn的線性關(guān)系等價(jià)于研究齊次線性方程組

的解，該方程組的系數(shù)矩陣恰好是α1,…,αn做成矩陣的轉(zhuǎn)置。而一旦其中某些向量線性無(wú)關(guān)，比如α1,…,αr它們轉(zhuǎn)置后實(shí)施初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形，則αT1,…,αTr變化后所在列的前r行必然形成一個(gè)單位向量組。若α1,…,αr恰好是極大無(wú)關(guān)組，要考慮某個(gè)向量αi在極大無(wú)關(guān)組下的表示，相當(dāng)于求解方程組x1α1+ …+xnαn= αi，而求解線性方程組相當(dāng)于把增廣矩陣(αT1,…,αTr,αTi)化為行最簡(jiǎn)形，即前r行前r列出現(xiàn)單位向量組的過(guò)程。

2 線性空間的維數(shù)

2.1 求線性空間的一組基

在考慮線性空間的一組基時(shí)，因單位向量組

的線性無(wú)關(guān)性很顯然，并且任意向量可以表示為

由此學(xué)生容易理解實(shí)數(shù)域上的線性空間V={x=(x1,x2,…,xn)|xi∈ R}維數(shù)是 n。然而學(xué)生對(duì)于求解給定一組向量α1,…,αn張成的線性空 間 W={x1α1+ … +xnαn|x1,…,xn∈ R}的 維數(shù)，是有一定難度的。教師通過(guò)與學(xué)生互動(dòng)發(fā)現(xiàn)：產(chǎn)生這一困難的主要原因是學(xué)生并沒(méi)有理解線性空間W的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，W是由向量組α1,…,αn生成的子空間，而把α1,…,αn作成矩陣再作初等行變換后所得的行向量,…,等價(jià)于α1,…,αn，因此，W={x1+ …+xn|x1,…,xn∈ R}，這樣，就可以把尋找W一組基與確定向量組的秩的過(guò)程等同。

例4選擇例3中4個(gè)向量生成的線性空間W，如果需要確定W的一組基，進(jìn)而確定W的維數(shù)，只需把它們作成矩陣并實(shí)施初等行變換

則前3行中1、2、4列即為3維單位向量組，因此前3行形成W的一組基。

如果要求在α1,…,αn中求W的一組基，這一過(guò)程與求解α1,…,αn的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的過(guò)程完全一致，因此可以模仿例3用單位向量組解釋這一過(guò)程。

2.2 確定基礎(chǔ)解系

關(guān)于基的另一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)是基礎(chǔ)解系，它是解空間的一組基，但是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論通常出現(xiàn)在線性空間之前，所以學(xué)生理解起來(lái)比較困難。在這里典型的做法是結(jié)合自由未知數(shù)，突出使用單位向量組來(lái)彌補(bǔ)概念的不足。

通過(guò)初等行變換把系數(shù)矩陣變成行最簡(jiǎn)形

因此有

這樣對(duì)自由未知數(shù)組(xr+1,…,xn)取遍n-r維單位向量組即得n-r個(gè)解向量，而由于n-r個(gè)解向量的最后n-r個(gè)列形成單位向量組，所以它們線性無(wú)關(guān)，并且任意解向量都是它們的線性組合。

解空間的概念發(fā)展到線性映射中變身為線性映射的核，而系數(shù)矩陣的行向量組張成的線性空間則對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣的相伴線性變換的像。因此在研究線性映射的核與像時(shí)完全可以采取確定基礎(chǔ)解系中選擇單位向量組的方法。

3 總結(jié)

總的來(lái)說(shuō)，單位向量組結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、地位重要且容易被學(xué)生記憶，以其為范本可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)秩與維數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的消化吸收。單位向量組是作者對(duì)以Gauss消去法為基礎(chǔ)的行最簡(jiǎn)形的教學(xué)設(shè)計(jì)中頻繁使用的范例，當(dāng)然，作者的具體教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)尚處于不太成熟的階段，存在不合理的地方。例如，在確定向量組的秩的時(shí)候，僅需要求出矩陣的行階梯形即可，再求行最簡(jiǎn)形已不必要。因此教師需要細(xì)致地編排教學(xué)內(nèi)容，一方面使學(xué)生通過(guò)單位向量組能夠快速理解矩陣的秩，另一方面，又能使大多數(shù)學(xué)生不會(huì)產(chǎn)生誤解，以至于每次求矩陣的秩都去求矩陣的行最簡(jiǎn)形。另外，應(yīng)該注意到，使用單位向量組來(lái)解釋通過(guò)轉(zhuǎn)置的方法求極大無(wú)關(guān)組的實(shí)際效果固然不錯(cuò)，額外的代價(jià)是需要耗費(fèi)更多教學(xué)時(shí)間。因此，這一教學(xué)設(shè)計(jì)需要進(jìn)一步加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的融合以提高教學(xué)效率。