平面束定理的證明與教學(xué)注記

許海娟

（安慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)以及解析幾何是高等院校本科數(shù)學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其中解析幾何一般在一年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)設(shè)，它為數(shù)學(xué)分析中重積分、曲線積分、曲面積分以及高等代數(shù)中線性空間、二次型等知識(shí)的學(xué)習(xí)提供必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)將分析、代數(shù)中的抽象概念具象化。它的基本思想就是把空間幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化，從而使空間中點(diǎn)、線、面具有代數(shù)形式，即點(diǎn)有了坐標(biāo)、曲線及曲面有了方程。當(dāng)曲線、曲面有了方程以后，就可以進(jìn)行后續(xù)的研究與定量計(jì)算[1]，如曲線長(zhǎng)度與曲面面積、空間不規(guī)則立體體積、非均勻平面薄片質(zhì)量、非均勻物體的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、變力沿曲線做功、流體流量的計(jì)算等等。

平面束是具有共同性質(zhì)的平面的集合，其中有軸平面束是最為常用的一類(lèi)平面束，它方程的建立是平面這一章最核心的內(nèi)容[2]。平面束定理的證明本質(zhì)就是建立有軸平面束的方程，在文獻(xiàn)[3-5]中均給出了平面束定理的證明，它們的方法主要有向量法、矩陣法、待定系數(shù)法。本文主要從直線方程、平面方程本身出發(fā)，給出一種新穎的且更加清晰的證明方法，同時(shí)糾正文獻(xiàn)[3]中平面束定理證明方法的不完備之處和證明過(guò)程中的一處錯(cuò)誤，最后探討平面束定理的教學(xué)注記，并指出文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]中運(yùn)用平面束定理求異面直線距離存在的問(wèn)題。

1 平面束定理

定義1[2]具有共同性質(zhì)的平面的集合叫做平面族。

定義2[2]通過(guò)一條定直線的平面族叫做有軸平面束。

定理[2]設(shè)兩平面：

相交于直線l，則通過(guò)l的平面束方程為

其中λ,μ為不全為零的任意實(shí)數(shù)。

分析 命題證明需要注意以下兩點(diǎn)：(i)方程(1)表示的所有平面都能通過(guò)直線l；

(ii)經(jīng)過(guò)直線l的任意平面的方程都能由(1)表示。

證明 (i)直線l的方程為

設(shè)P(x0,y0,z0)為直線l上任意一點(diǎn)，則

從而

因此點(diǎn)P在(1)式表示的所有平面上，又由點(diǎn)P的任意性知，整條直線l都在(1)式表示的所有平面上。

(ii)設(shè)π:Ax+By+Cz+D=0是過(guò)直線l的任意平面，它的法向量為n={A,B,C}，平面π1,π2的法向量分別為n1={A1,B1,C1}，n2={A2,B2,C2}，由于向量 n,n1,n2共面，n1,n2不共線，因此根據(jù)向量分解定理知：存在唯一一組實(shí)數(shù)λ,μ，且λ,μ不同時(shí)為零，使得：

則

將(3)式代入(1)式中，則平面π的方程變?yōu)?/p>

任取直線l上一點(diǎn)P(x0,y0,z0)，則P亦在平面π上，

將(5)式代入(6)式中，則有

將(7)式代入(4)式中，可得：

注1根據(jù)平面束的定義，平面束定理最本源的問(wèn)題實(shí)際上是證明兩個(gè)集合相等，而文獻(xiàn)[3]中只證明其中一個(gè)包含關(guān)系，顯然是不夠完整的。本文采用了更加清晰、直接的方法證明了平面束定理，尤其是第二步（兩個(gè)包含關(guān)系之一）的證明相較于其他方法更簡(jiǎn)單、易懂。

注2 文獻(xiàn)[3]在證明(2)式時(shí)，給出λ,μ是不全為零的任意實(shí)數(shù)這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，盡管平面π是任意的，但是一旦平面π取定，根據(jù)向量分解唯一性定理，這里的參數(shù)λ,μ存在且唯一，并且被π1,π2的法向量唯一確定。

2 平面束定理的應(yīng)用

平面作為最基本的曲面圖形在分析計(jì)算中經(jīng)常遇到，而平面束作為一類(lèi)具有共同性質(zhì)的平面的集合具有很多良好的性質(zhì)，利用平面束的方程可以判定直線與平面的位置關(guān)系、計(jì)算點(diǎn)到直線距離、求直線在平面上的射影等等。同時(shí)，平面作為解析幾何、數(shù)學(xué)分析課程中最常遇到的圖形，它在其他方面的應(yīng)用將在今后專業(yè)基礎(chǔ)課程教學(xué)中不斷呈現(xiàn)。這里通過(guò)3個(gè)例題來(lái)展示平面束定理在解析幾何上的應(yīng)用。

例1判定直線l:

與 平 面 π:(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)z=0的位置關(guān)系。

解 設(shè)過(guò)l的平面束方程為λ(A1x+B1y+C1z)+μ(A2x+B2y+C2z)=0，即

(λA1+ μA2)x+(λB1+ μB2)y+(λC1+ μC2)z=0，這里，取λ=1，μ=1即是平面π的方程，因此直線l在平面π上。

例2 求直線l:

在平面π:x+y+z-1=0上的射影直線方程。

解 先求通過(guò)l且垂直于平面π的平面，設(shè)過(guò)l的平面束方程為

即

(2λ+μ)x+(λ+2μ)y-(2λ+ μ)z+(λ-2μ)=0，于 是 (2λ+μ)+(λ+2μ)-(2λ+μ)=0，所 以λ:μ=2:(-1)，因此所求射影直線方程為

解 點(diǎn)P(3,0,1)到直線l的距離就是它與平面束：λ(x-z+1)+μ(y-2)=0距離的最大值，這里 p0=3,q0=-2,a0=3,b0=4，n1={1,0,-1}，n2={0,1,0}，則有

3 教學(xué)注記

在講授有軸平面束定理過(guò)程中需要注意兩點(diǎn)：(1)有軸平面束的方程是含有兩個(gè)參數(shù)的，如果用含一個(gè)參數(shù)的方程，如(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，在某些情況下會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果，因?yàn)椴徽摝巳『沃禃r(shí)，都將漏掉平面A2x+B2y+C2z+D2=0，而它恰恰應(yīng)該在平面束中。(2)利用平面束定理去求點(diǎn)到直線的距離完全沒(méi)有問(wèn)題，但是如果忽視了異面直線距離與點(diǎn)到直線距離的區(qū)別，往往會(huì)錯(cuò)誤地運(yùn)用平面束定理去求異面直線的距離，在文獻(xiàn)[3]中例2及文獻(xiàn)[5]中例3均出現(xiàn)了這個(gè)錯(cuò)誤，這兩篇文獻(xiàn)都是在其中一條直線上取一個(gè)特殊點(diǎn)再去計(jì)算異面直線距離的，正是由于他們忽視了這樣取特殊點(diǎn)計(jì)算得到的距離是該點(diǎn)與第二條直線的距離，非這兩條異面直線的距離。另外，文獻(xiàn)[3]中給出的點(diǎn)到直線的距離公式也是錯(cuò)誤的。因此在今后的教學(xué)過(guò)程中，須特別謹(jǐn)慎地處理這些問(wèn)題，正確地運(yùn)用好平面束定理。