時變光子晶體及計算方法

方云團，李小雪，吳義恒

（1.江蘇大學計算機科學與通信工程學院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.安慶師范大學物理與電氣工程學院，安徽安慶246133）

電磁波在時間和空間的變化經過傅里葉變換分別由頻率和波矢來描述，通過改變它們的對稱性可以設計人工電磁材料來控制電磁波的傳播，最常見的是光子晶體。通過打破材料連續(xù)空間平移對稱變?yōu)殡x散空間平移對稱（周期結構）就會改變頻率和波矢的關系，形成所謂的光子晶體頻率帶隙結構。光子晶體自1987年由S.John和E.Yablonovitch分別獨立提出以來[1-2]，在材料科學、物理、光學、通信等領域引起廣泛的興趣[3-7]。研究光子晶體的理論依據是麥克斯韋方程組和固體物理的布洛赫原理。長期以來人們對光子晶體的研究局限在折射率空間周期變化的結構。但麥克斯韋方程組具有內在的時空對稱性，除了打破材料連續(xù)空間平移對稱變?yōu)殡x散空間平移對稱，我們還可以打破材料連續(xù)時間平移對稱變?yōu)殡x散時間平移對稱，即材料折射率隨時間周期變化，同樣會改變頻率和波矢的關系，形成另一種光子晶體帶隙結構，這樣會產生另一種形式的光子晶體。為區(qū)別起見，我們把折射率空間周期變化的光子晶體稱“空變光子晶體”，而把折射率隨時間周期變化的光子晶體稱“時變光子晶體”。材料折射率隨時間有規(guī)律變化在現實中也是可以實現的，像電光材料、壓電材料、石墨烯材料[8]在時變電壓控制下均能產生折射率時變的結果。雖然麥克斯韋方程組是時空對稱的，但人們對光子晶體的研究明顯處于不對稱狀態(tài)，幾乎局限在空變光子晶體。在文獻[9-10]中作者對時變光子晶體進行了研究，但作者使用的是平面波展開法，涉及復雜的數學運算。因為時變總是一維的，在折射率隨時間躍變的情況下，可以使用更簡明的傳輸矩陣方法來推導時變光子晶體的傳輸特性和色散關系。

1 理論推導

假設電磁波沿z軸傳播，電場沿x軸，表示為Ex；磁場沿y軸，表示為Hy，它們都只是坐標z的函數。在電磁波的傳播過程中，波數k決定相位隨空間的變化，角頻率ω決定相位隨時間的變化，它們分別決定相位變化的空間頻率（或周期）和時間頻率（或周期）。在空變光子晶體的研究中，我們只考慮時諧場，即不考慮時間相位對傳播的影響，只考慮空間相位對傳播的影響，角頻率ω不變，波數k是空間位置z的函數。在本文時變光子晶體的研究中，由于折射率不隨空間變化，只隨時間變化，我們只研究特定位置z處電磁波隨時間的變化規(guī)律。在特定位置先假設波數k保持不變，不考慮空間相位對傳播的影響，只考慮時間相位對傳播的影響。此時角頻率ω是時間t的函數。電磁波的形式為

把（1）、（2）式代入麥克斯韋方程得

將（3）式代入（4）式得

假設

其中，j=0,1,2,…。

(7)式表明折射率在一個時間周期單元T分成T1和T2兩個時間段，時間周期晶格位于t0至NT，入射前（t＜t0）和入射后（t＞NT）背景折射率均為n0。折射率隨時間的分布如圖1所示。T1和T2對應空變光子晶體周期單元兩層介質的厚度。借用空變光子晶體的分析方法，由于每個時間段折射率是常數，角頻率ω也是常數。在T1時間段，ω1(t)=kc/n1，方程（6）的解為

（8）式右邊類似于空變光子晶體兩個相反方向平面波的疊加，角頻率對應空間波數，時間t對應空間位移。（8）式右邊第一項角頻率為正，對應波的相位隨時間增加；第二項角頻率為負，對應波的相位隨時間減少。產生負頻率電磁波的原因是折射率的躍變產生反射。同樣在T2時間段，ω2(t)=kc/n2，方程（6）的解為

圖1 時變光子晶體的結構模型

由（4）式可分別求出T1和T2時間段的磁場

現在考慮電磁場在兩個時間段的過渡。由（8）式可以看出，E1x(t)是時間t的單值連續(xù)函數，故在兩個時間段分界處（表示為T1-2），有

（12）式和（13）式寫成矩陣形式即為

電磁場在其他時間段分界處也有著同樣的矩陣關系。

在T1和T2時間段內，根據（8）式，電場只有時間相位的變化，可用相位矩陣表示：

類似于空變光子晶體在出射空間沒有反射波，在出射時間由于折射率不變，E-Nx=0，由此得到時變光子晶體的透射系數和反射系數：

類似于空變光子晶體透射系數和反射系數是角頻率的函數，形成時間頻率譜，時變光子晶體透射系數和反射系數將是空間波數k的函數，形成空間頻率譜，從而體現了時空的對稱轉換。

空變光子晶體的能帶結構是通過色散關系ω(k)來描述，這里k取值位于簡約布里淵區(qū)，在一維情況下即為-π/d≤k≤π/d，d是空間周期。在時變光子晶體中空間周期變?yōu)闀r間周期，能帶結構將通過色散關系k(ω)來描述，ω位于簡約布里淵區(qū)0≤ω≤2π/T。根據周期結構的布洛赫原理，在相距一個周期的兩個界面上，電場的二元矩陣滿足以下關系

j表示周期數。同時

結合兩式有

這是一個矩陣本征值方程，eiωT是其中一個本征值，另一個本征值是其復共軛。根據矩陣本征方程性質，有

（22）是關于ω和k的隱式方程，數值求解該隱式方程可得到ω和k的色散關系。

2 計算和分析

針對圖1的結構模型，使用上節(jié)的傳輸矩陣方法計算時變光子晶體的透射譜。模型參數T1=T2=1 s、n0=1、n1=1.5、n2=3、N=10，空間波數基本單位為k0=2π/(cT)，結果如圖2所示。本文中稱ω為時間頻率，k為空間頻率，則空變光子晶體透射譜是時間頻率的函數，而時變光子晶體透射譜是空間頻率的函數。光子晶體的透射譜是電磁波干涉的結果，電磁波干涉取決于電磁波相位的疊加。電磁波相位包含空間相位kz和時間相位ωt兩個部分?？兆児庾泳w波數呈空間分布，與頻率有關，頻率決定總相位變化，因此是時間頻率譜。時變光子晶體頻率呈時間分布，與波數有關，波數決定總相位變化，因此是空間頻率譜。圖2顯示明顯的帶隙特征，在k/k0=1、2、4、5處是帶隙中心。經觀察發(fā)現，通帶中心位于k/k0等于n1的整數倍處(k/k0=N1n1，N1是整數)。這是因為

在T1時間段滿足共振條件。注意k/k0等于3的整數倍時，帶寬最大，這是因為

在T1和T2兩個時間段均滿足共振條件。

空變光子晶體由于材料折射率離散空間的平移對稱性，產生時間頻率帶隙，實現對時間頻率的控制；時變光子晶體由于材料折射率離散時間的平移對稱性，產生空間頻率帶隙。空間頻率透射譜的意義在于對電磁波空間頻率k也即波長的控制?？臻g頻率帶隙結構決定了什么波長的電磁波才能傳播、什么波長的電磁波會被反射。由于平移對稱性的不同，光子晶體將實現對電磁波不同時空屬性的控制。

對無窮周期，可通過求解隱式方程（22）得到色散關系k(ω)，根據上述參數計算結果如圖3所示。很明顯，在k/k0=1、2處出現2個帶隙（陰影部分），結果與透射譜一致。當然上述傳輸矩陣方法適用條件是折射率時變?yōu)殡A躍型情況。對折射率漸變情況需要采取另外的方法。

圖2 時變光子晶體的透射譜

圖3 無窮周期時變光子晶體的色散

3 結論

本文結合空變光子晶體的研究方法推導出了時變光子晶體計算的傳輸矩陣方法。利用該方法可以計算折射率階躍型時變光子晶體的空間頻率透射譜和能帶結構。該研究對設計時變光子晶體控制電磁波傳輸有一定指導意義。