重復使用運載火箭精確回收滑模動態(tài)面控制

錢默抒，熊 克，王海洋

(1.南京航空航天大學機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016； 2.南京工業(yè)大學電氣工程與控制科學學院，南京 211816)

0 引 言

自人類開展航天活動以來，低成本、高可靠、高效率的航天發(fā)射系統(tǒng)一直是航天界追求的目標。可重復使用運載火箭完成預定發(fā)射任務后, 全部或部分返回并安全著陸, 經(jīng)過檢修維護與燃料加注, 可再次執(zhí)行發(fā)射任務, 通過多次使用分攤費用來降低運載火箭的生產(chǎn)與發(fā)射成本，因此各航天大國都將其作為未來發(fā)展重點[1-2].例如，當前最廉價的火箭“獵鷹9號”，它的造價約為5000萬美元，而使用的推進劑價格僅為20萬美元[3]。2016年4月8日, 獵鷹-9火箭一子級準確降落在面積僅為70 m×50 m的大西洋浮動回收平臺上，狀態(tài)如圖1所示, 整個降落過程非常完美，證明了垂直起降重復使用模式的可行性，試驗的成功點燃了學術(shù)界和工程界對火箭垂直回收問題的高度關(guān)注。然而SpaceX公司在此之前經(jīng)歷了4次失敗的海上回收試驗,失敗的原因僅1次是因為機械故障，其余3次均是因為控制精度不夠造成[4]。因此垂直返回段的姿態(tài)控制是重復使用運載火箭的關(guān)鍵技術(shù)[5]，需要對運載火箭本體的特性、飛行環(huán)境與擾動進行精確數(shù)學描述, 合理設(shè)計姿態(tài)與控制算法，最終由多臺發(fā)動機推力矢量控制以及著陸緩沖機構(gòu)等多種控制機構(gòu)共同完成運載火箭精確軟著陸與回收。

目前重復使用運載火箭多采用兩級入軌部分重復使用的方式，即僅對火箭一子級進行回收使用。由于一級火箭返回飛行的空域跨度變化大、動壓變化劇烈、氣動參數(shù)偏差和干擾嚴重，各通道呈現(xiàn)嚴重的非線性耦合特性，這使得控制系統(tǒng)設(shè)計的難度較大，特別是當系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)改變或發(fā)生嚴重外部擾動時，經(jīng)典控制理論很難滿足現(xiàn)代運載火箭特殊機動下的高性能控制需求[6]。因此，必須采用非線性系統(tǒng)設(shè)計方法進行火箭控制系統(tǒng)設(shè)計。非線性PID控制為飛行控制系統(tǒng)設(shè)計提供了一種簡便、直觀的方法，但其控制器設(shè)計在一定程度上基于經(jīng)驗和試湊[7]，盡管可保證系統(tǒng)在局部特征點附近具有很好的閉環(huán)控制性能，但并不一定滿足全局范圍內(nèi)的穩(wěn)定性、魯棒性和性能等指標要求。動態(tài)逆控制雖然能夠有效地對非線性對象進行線性化處理、實現(xiàn)通道間的解耦分析。但是，動態(tài)逆控制需要精確描述被控系統(tǒng)，所受的干擾也需精確建模，而這在運載火箭回收控制實際應用中十分困難[8]。以凸優(yōu)化、聯(lián)立法和偽譜法等方法實現(xiàn)在線動態(tài)軌跡優(yōu)化，只是保證高精度的入軌及制導，并不能確保運載火箭姿態(tài)控制的準確性[9-11]。文獻[1]給出了計算簡單、易于實現(xiàn)的姿態(tài)控制律方法，但是該方法基于線性模型設(shè)計完成，不適用于強耦合強非線性的運載火箭的姿態(tài)控制，并且沒有考慮不確定性和干擾的影響。

近年來，王子瑞等[12]用一種新型的動態(tài)積分滑?？刂撇呗詠硖幚磉\載火箭參數(shù)攝動和外部干擾情況下的姿態(tài)調(diào)節(jié)問題，效果良好，但由于垂直返回段不滿足其文中的假設(shè)條件，所以無法直接應用。文獻[13]對運載火箭助推器/一子級縱向通道的俯仰姿態(tài)控制進行了分析，并給出了詳細的仿真結(jié)果，但是沒有考慮不確定和干擾等對實際系統(tǒng)應用的影響。趙黨軍等[14]針對含有模型攝動及外部擾動的運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計了一種基于微分代數(shù)方法的自抗擾控制方法，具有良好的自抗擾的性質(zhì)和一定的容錯控制能力，但是該算法是將非線性系統(tǒng)簡化為線性模型后推導的。國外關(guān)于運載火箭的學術(shù)論文多是關(guān)于大推力入軌及在軌飛行階段的控制及軌跡優(yōu)化問題，而垂直返回段精確回收控制方面基本沒有。如Lee等[15]提出采用結(jié)構(gòu)奇異值結(jié)合動態(tài)逆的方法來設(shè)計運載火箭在高超聲速巡航階段的控制律以解決動力學參數(shù)不確定性的影響。該作者僅對在軌飛行階段的控制進行了研究，并不能直接適用于垂直回收階段的火箭特性。文獻[16]利用最優(yōu)化原理設(shè)計兩級導引律，并且針對GPS丟失的情況設(shè)計了預測導引控制。但是沒有研究姿態(tài)和速度的控制調(diào)節(jié)問題。耿克達等[17]提出基于反饋線性化和反演控制技術(shù)，將變質(zhì)心控制引入的各類偏差與干擾作為不確定性因素，考慮氣動參數(shù)的變化, 設(shè)計了再入飛行器過載和姿態(tài)角速度雙回路自適應滑?？刂破?，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，雖然作者研究對象不是運載火箭但其方法可以借鑒，同時本文還需解決反演控制算法中固有的“微分爆炸”問題。文獻[18]、[19]和[20]分別用動態(tài)面控制、自適應反演和變結(jié)構(gòu)滑模等方法研究了運載火箭的姿態(tài)控制問題，并且仿真效果良好，但是研究的運載火箭也都是在其發(fā)射、大推力入軌及在軌飛行階段，沒有詳細分析垂直返回期間火箭一子級的氣動特性和控制要求。

本文對再入進入垂直返回段的運載火箭的姿態(tài)精確跟蹤控制問題進行研究。首先對進入垂直回收段的運載火箭進行動力學建模; 在此基礎(chǔ)上，將運載火箭燃料消耗和油箱晃動引起的轉(zhuǎn)動慣量變化帶來的攝動部分等作為不確定項，并考慮未知干擾的影響，得到系統(tǒng)的仿射模型；利用自適應滑模觀測器和動態(tài)面控制技術(shù)，設(shè)計了內(nèi)外環(huán)自適應滑模動態(tài)面跟蹤控制策略，完成回收段火箭姿態(tài)角的非線性精確跟蹤控制，進而保證運載火箭精確垂直回收。

1 返回段動力學模型

運載火箭地面發(fā)射后，從調(diào)姿完成到火箭一子級垂直著陸于回收平臺的返回段，如何保證垂直著陸時的精確姿態(tài)控制是實現(xiàn)安全回收的關(guān)鍵，也是本文所研究的主要問題，圖2展示了運載火箭從發(fā)射到著陸全過程。運載火箭在垂直著陸前的最后調(diào)姿階段，其動力學模型為如下非線性形式[19]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：V為飛行速度；α,β,μ分別為攻角、側(cè)滑角和傾斜角；L,Y,γ,g,m分別為氣動升力、側(cè)向力、航跡角、重力加速度和質(zhì)量；Iij(i,j=x,y,z)為慣性力矩；d0=[d0x,d0y,d0z]T為外部干擾；三個方向控制力矩組成控制輸入u=[ux,uy,uz]T。

對于動力學模型(1)～(6)，若取狀態(tài)變量x1,x2，且x1=[α,β,μ]T,x2=[wx,wy,wz]T,則該模型可轉(zhuǎn)換為：

(7)

由于運載火箭一子級在整個回收飛行過程中隨著燃料消耗系統(tǒng)質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量將發(fā)生顯著變化，儲箱內(nèi)燃料還可能出現(xiàn)大幅晃動而對系統(tǒng)運動產(chǎn)生顯著影響，但是在建模過程中并沒有包括這類變質(zhì)量所引起的不確定，所以可知火箭一子級著陸段模型(7)并不能精確描述所有模型參數(shù)變化。在前面非線性動力學模型(7)基礎(chǔ)上還需考慮上述參數(shù)不確定性和干擾等影響，故實際系統(tǒng)模型為：

(8)

式中：Δf2和ΔB2為燃油消耗和油箱晃動導致質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量變化引起的攝動項。

為進行閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)的研究，下面給出一些定義。

定義1. 對任意向量η∈Rn，有：

(9)

定義2.對任意向量ζ∈Rn，若ηi≤ζi,i=1,2,…,n，則簡記為η≤ζ，其中ζ=[ζ1,ζ2,ζ3]T為未知實數(shù)向量。

為簡化所研究的閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)控制問題，還需要給出一些假設(shè)條件。

假設(shè)1[3]. 運載火箭一子級垂直返回著陸段，這個過程中火箭可看作一個軸對稱的剛體。

假設(shè)3[21]. Δf2(x2)+ΔB2u=Θυ，其中Θ是已知結(jié)構(gòu)矩陣，υ為一未知列向量。

注1. 垂直起降重復使用運載火箭的回收子級分離后依次經(jīng)歷：慣性沖高段(在此過程中使用冷氣RCS系統(tǒng)進行大幅度調(diào)姿，調(diào)頭180°)、第一次動力減速段(火箭發(fā)動機點火)、高空無動力再入段、第二次動力減速段、低空無動力再入段(使用柵格舵進行姿態(tài)控制并減速)和著陸段等六個階段。本文討論火箭一子級回收過程垂直著陸前最后的調(diào)姿階段。

下面給出本文的主要結(jié)論。

2 自適應滑模觀測器設(shè)計

本文將針對垂直返回動力學模型的未知時變參數(shù)進行觀測器設(shè)計。假設(shè)運載火箭一子級在回收段姿態(tài)角小范圍變化，且非線性函數(shù)f2(x2)滿足參數(shù)為τ1局部Lipschitz條件，即

(10)

針對含有不確定的動力學方程(10)設(shè)計一個自適應滑模觀測器：

(11)

式中:Σ是一個事先確定的對角矩陣。

(12)

(13)

式中:Γ(0)>0。

(14)

基于所設(shè)計的自適應滑模觀測器(11)，可得本文主要結(jié)論如下所述。

定理1. 對于含有變質(zhì)量等不確定性的運載火箭一子級系統(tǒng)(8)，假定假設(shè)1～3都成立，所設(shè)計滑模觀測器(11)和自適應估計律(13)，如果存在一個合適的正定矩陣Σ和正實數(shù)μ，使得下述不等式成立：

(15)

(16)

則可以保證動態(tài)誤差系統(tǒng)(14)是漸近穩(wěn)定的。

證.首先給定如下李雅普諾夫函數(shù)：

(17)

通過參考文獻[17], 時變增益K(t)定義如下：

(18)

(19)

(20)

由式(13)可知,

(21)

(22)

(23)

注2. 與文獻[6]提出的觀測器設(shè)計方法相比較，前者需要不確定和干擾上界已知，而定理1中設(shè)計的自適應參數(shù)觀測器不需要這個已知條件，因此非線性觀測器(11)和自適應估計律(13)在實際應用中更具有優(yōu)勢。

注3. 需要指出的是在自適應觀測器(11)中出現(xiàn)的輔助變量Γ有兩個作用：1)幫助改善自適應參數(shù)的收斂速度；2)可以消除模型(8)中可能出現(xiàn)的高相對階問題。

3 滑模動態(tài)面跟蹤控制器設(shè)計

與傳統(tǒng)的運載火箭相比，運載火箭一子級返回飛行的空域跨度變化大、動壓變化劇烈和干擾嚴重，使得可回收火箭呈現(xiàn)出很強的非線性動態(tài)特性。所以傳統(tǒng)的控制方法已經(jīng)不適用于一子級的精確回收控制，必須要設(shè)計高性能魯棒控制器。

本文基于反饋線性化原理和標準反演控制思想，分別設(shè)計了其姿態(tài)角和角速率雙回路控制器。同時，為了更好地克服系統(tǒng)不確定性和干擾，在不確定性上界未知的情況下，采用改進的自適應動態(tài)面控制，并通過滑模方法對控制參數(shù)進行更新，保證閉環(huán)系統(tǒng)快速精確的姿態(tài)角跟蹤控制，最終實現(xiàn)一種內(nèi)外環(huán)滑模動態(tài)面控制系統(tǒng)設(shè)計方案。圖3為控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。

根據(jù)運載火箭一子級精確回收要求，箭體需嚴格保持跟蹤設(shè)定的回收姿態(tài)角，所以首先對內(nèi)環(huán)角速率設(shè)計自適應滑模跟蹤控制器。取x2d=[wxd,wyd,wzd]T為虛擬控制量。

定義姿態(tài)指令跟蹤誤差如下：

e1=x1d-x1

(24)

式中：x1d是理想姿態(tài)指令。

對姿態(tài)誤差進行求導得：

選取如下虛擬控制律：

(25)

將虛擬控制量經(jīng)過一個低通濾波器獲得濾波器的輸出量，然后對這個新得到的變量求導來代替直接對虛擬變量x2d求導，這種方法也稱為動態(tài)面控制[22]。引入一個新的狀態(tài)變量δ，且讓x2d通過時間常數(shù)為τ2的一階濾波器獲得新的變量δ，它們的關(guān)系如下：

(26)

定義跟蹤誤差向量

e2=x2-δ

(27)

這也稱之為第二誤差面，對e2求導得

由上式可得實際控制律為

(28)

(29)

由于引入實際閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)量δ與外環(huán)虛擬控制量x2d存在誤差，所以需要對此誤差進行分析，不妨將其設(shè)為φ，則有φ=δ-x2d。經(jīng)過變換，

可得

(30)

(31)

式中：

(32)

(33)

下面給出本文的第二個主要結(jié)論并進行閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

定理2. 假定火箭一子級系統(tǒng)滿足假設(shè)1～3情況下， 采用滑模參數(shù)估計律(13)和自適應動態(tài)面控制律(28)，則可保證火箭一子級閉環(huán)控制系統(tǒng)(8)對垂直回收姿態(tài)指令的跟蹤誤差是最終一致有界的。

證.首先選取一個李雅普諾夫函數(shù)

V=V2+V3

(34)

將式(29)和式(31)分別代入式(34)可得

(35)

易知不等式(36)成立:

同理不等式(37)成立

(37)

其中,不等式(36)、(37)包含的Ξ1, Ξ2均為正常數(shù)，所以式(35)可簡化為

(38)

其中Π=Λ+Ξ1+Ξ2。

當k1,k2和τ2取值滿足下列不等式條件時

(39)

重復使用運載火箭一子級閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)(8)對垂直回收精確姿態(tài)控制指令x1d的跟蹤誤差最終一致有界，且可收斂于任意小的一個區(qū)域內(nèi)，定理2證畢。

由此可知，重復使用運載火箭垂直回收姿態(tài)調(diào)整階段，可以利用定理2提出的控制律實現(xiàn)精確垂直著陸回收的控制目標。

4 仿真分析

本節(jié)以文獻[19]中重復使用運載器為例，校驗所提滑模動態(tài)面控制方案的有效性。運載器轉(zhuǎn)動慣量J0=[554486 0 -23002; 0 1136949 0;-230020 1376852](kg·m2)。為校驗所設(shè)計控制方法魯棒性能，假定外部干擾向量為d0=1000[sin(0.2t) sin(0.1t) cos(0.1t)]T。這里假定仿真時間為再入返回后的調(diào)姿垂直著陸階段，從姿態(tài)調(diào)整開始到姿態(tài)調(diào)整完畢進入垂直著陸階段的60 s[30]。將回收姿態(tài)指令設(shè)為x1d=[0,0,0]T(°)，初始姿態(tài)x1(0)=[1.5,0.5,-1]T(°)，取τ1=1,τ2=0.4,γ1=2,k1=0.7,k2=1.3,μ=3，矩陣Σ=diag(2,2,3)。

為驗證所提出方法的優(yōu)越性，這里以燃料消耗影響引起轉(zhuǎn)動慣量不確定項變化范圍在±6%J0內(nèi)為例,采用反演控制方法[3]和本文的考慮了變質(zhì)量引起的不確定性因素的滑模動態(tài)面控制(SMDSC)方法相對比，將兩種情況下的跟蹤控制仿真結(jié)果進行比較(見圖4～11)，研究在重復使用運載火箭垂直著陸階段哪種方法更適合姿態(tài)跟蹤控制要求，圖7～11中小圖中的虛線表示姿態(tài)指令。由圖4～6可知，標準反演控制下的姿態(tài)角與指令之間存在偏差，如傾斜角μ和攻角α明顯偏離μd和αd，而由圖7～9可知，滑模動態(tài)面跟蹤控制方法誤差在6 s之內(nèi)收斂到零的小鄰域內(nèi)，能快速準確穩(wěn)定跟蹤控制指令。所提方法和標準反演控制方法的控制輸入仿真曲線結(jié)果見圖10～11。因此，所提滑模動態(tài)面控制策略更適用于運載火箭一子級垂直回收階段的控制，同時該方法可以保證達到精確垂直回收的姿態(tài)控制要求[4]。

5 結(jié)束語

本文研究了可重復使用運載火箭再入后一子級的精確控制回收問題。分別采用自適應滑模觀測器處理不確定性和干擾，在此基礎(chǔ)上設(shè)計動態(tài)面垂直回收控制律，最后實現(xiàn)了精確姿態(tài)跟蹤控制的目標，數(shù)值仿真結(jié)果進一步校驗了所提結(jié)論。