場協(xié)同原理在高超聲速化學非平衡流動中的推廣

劉景源

(南昌航空大學飛行器工程學院，南昌 330063)

0 引 言

發(fā)展具有高超聲速巡航能力、可重復使用的新型天地往返運輸系統(tǒng)及在大氣層內(nèi)的高超聲速飛行器已經(jīng)成為航天航空強國技術儲備中需要研究的關鍵課題[1-2]。真實氣體效應及壁面熱流是高超聲速飛行器空氣動力學的關鍵問題[3]。真實氣體效應和表面催化效應的共同作用對高超聲速飛行器的氣動加熱將產(chǎn)生十分顯著、復雜的影響。作為吸熱反應的離解反應將顯著地降低激波層內(nèi)氣體的溫度；但表面催化效應所導致的復合反應放出的熱量使飛行器表面熱流急劇增加[3-4]。此外，真實氣體的輻射效應對高超聲速飛行器壁面的熱流也有一定的影響[5]。

隨著來流馬赫數(shù)的提高，高超聲速來流的總焓逐漸增大，并且來流的動能在總焓中的比重逐漸變大。經(jīng)高超聲速飛行器繞流的激波后，雖然總焓不變，但氣體的速度降低，動能轉化為靜焓，導致飛行器頭部附近的波后溫度大幅度升高。在飛行器的中后部，雖然激波強度有所降低，波后溫度有所減小，但是高速流動的流體與壁面的剪切功導致邊界層內(nèi)的溫度急劇升高。波后及邊界層內(nèi)的溫度升高激發(fā)了空氣分子的轉動、振動及電子能等能量模式(根據(jù)波后的溫度不同，所激發(fā)的能量模式可能為一種或幾種)，并可導致空氣的離解及電離，離解過程和振動之間存在耦合，并且壁面可能為完全、有限和非催化壁面[3]。同時由于空氣的離解及電離，導致了氣體組分的改變。因此上述的能量轉化、各能量模式的激發(fā)、離解及電離的吸熱過程、振動能量的熱化學非平衡過程，以及組分不均勻分布導致的擴散過程、壁面催化特性，均對高超聲速飛行器的對流傳熱產(chǎn)生影響[3-4]。上述的能量過程顯著區(qū)別于不可壓縮及可壓縮流動(無化學反應)的對流傳熱。

對不可壓縮流動，文獻[6-7]在分析速度場與溫度梯度場后，指出對流傳熱取決于當?shù)厮俣葓雠c溫度梯度場的協(xié)同，兩個矢量場協(xié)同程度越高，則對流傳熱越好。文獻[8-10]給出的大量的實驗及數(shù)值模擬證明了此原理的正確性。該原理一方面統(tǒng)一了強化對流傳熱的不同觀點，另一方面指出了增強或減弱對流傳熱的方向。隨后，研究人員進行了橢圓型流動[11]、減阻流動[12]、層流與湍流的多場協(xié)同[13-14]、熱質(zhì)傳遞過程[15]等的推廣工作，并進行了改進研究[16]。文獻[17]將對流傳熱的場協(xié)同原理推廣至可壓縮流動中。

本文對場協(xié)同原理在高超聲速化學非平衡流動的情形進行了推廣，并進行了數(shù)值校驗及應用研究。

1 高超聲速化學非平衡流動傳熱場協(xié)同原理

1.1 笛卡爾坐標系下的層流流動

高超聲速化學非平衡層流流動的邊界層形式的能量方程如下[3]

(1)

其中H=h+u2/2、h、hs、Ds、cs分別為化學反應混合氣體的總焓、靜焓、組分s的焓、組分擴散系數(shù)、組分質(zhì)量分數(shù)。

(2)

式(2)可進一步寫成如下形式

(3)

對式(3)進行無量綱化

(4)

其中，L∞,ρ∞,u∞,Haw分別為高超聲速化學非平衡流場的特征長度尺度、無窮遠來流密度及速度、絕熱恢復壁總焓；Hw為壁面焓值。St為傳熱壁面的Stanton數(shù)。

1.2 笛卡爾坐標系下二維湍流反應流動

對湍流流動，對文獻[3]的二維高超聲速化學非平衡流動的定常Navier-Stokes方程組及組分方程組引入密度加權平均[18]

(5)

并略去黏性系數(shù)與速度梯度的脈動相關(此為密度加權平均的湍流?；膽T用做法[18])，并由邊界層近似[3, 19]

(6)

則二維高超聲速化學非平衡流動的定常Navier-Stokes方程組及組分方程組，可簡化為如下的邊界層形式

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

對高超聲速化學非平衡湍流能量方程積分也可得到高超聲速化學非平衡可壓縮層流式(4)類似形式，即

(13)

從上述推導可以看出，與高超聲速化學非平衡層流流動的分析類似，把層流的物理量用相應的湍流平均物理量替代，即可得到高超聲速化學非平衡湍流流動的場協(xié)同形式。

1.3 笛卡爾坐標系下三維高超聲速化學非平衡流動

由上述推導可知，對三維高超聲速化學反應流動，易分別得到與二維情況下的層流及湍流流動的對流傳熱式(4)與式(13)形式上類似的結果。限于篇幅，此處不再贅述。

2 數(shù)值方法及程序驗證

高超聲速化學反應流動采用5組分、17個化學反應的單溫度模型。采用有限差分方法對高超聲速化學反應模型方程組進行求解。計算所采用的數(shù)值方法詳見文獻[20]。本文采用文獻[21]的改進的數(shù)值格式的熵修正函數(shù)進行高超聲速化學非平衡流動的計算。

為驗證本文所采用的數(shù)值方法及程序的準確性，采用文獻[22]給出的圓柱高超聲速繞流實驗進行驗證。圖1給出了采用本文的數(shù)值計算與實驗結果的對比。從圖中可以看出，在實驗精度范圍內(nèi)，本文的數(shù)值結果給出的壁面熱流密度和實驗測量值吻合良好，說明本文采用的數(shù)值格式及程序的正確性。

3 數(shù)值校驗

以二維圓柱的高超聲速化學非平衡繞流流動為例，應用節(jié)2的數(shù)值方法并結合理論分析，闡述本文給出的場協(xié)同原理的正確性。

二維圓柱繞流的來流馬赫數(shù)Ma∞=20，來流溫度與壁面溫度之比為0.25(此溫度比下的傳熱為冷壁對流傳熱問題)，雷諾數(shù)為Re=1.2×105(取長度尺度為1米)。計算采用5組分、17個化學反應的單溫度模型，忽略輻射傳熱對熱流密度的影響，并假設完全催化壁面邊界條件。由于繞圓柱流動的雷諾數(shù)小，因此本計算假設繞流為層流流動。

圖2給出了圓柱上的熱流密度。圖2的橫軸坐標為圓柱圓周角度θ，而縱軸為熱流密度數(shù)值(采用圓柱前駐點熱流密度值歸一化)。從圖2可得，熱流密度最大值在圓柱前駐點，從前駐點向后化學反應組分氣體向圓柱壁面?zhèn)鳠嶂饾u變小。

圖3給出了繞圓柱流場的當?shù)卅裊及▽H矢量線分布。為清晰起見，圖3在壁面法向方向每隔2個網(wǎng)格點給出了當?shù)卅裊及▽H矢量分布圖。從圖3(b)可看出，由圓柱繞流脫體激波波前總焓不變(易根據(jù)高超聲速繞流的基本知識得到)，則▽H=0；而波后由于靜溫升高、壁面附近存在較大的溫度梯度，導致▽H近似沿著圓柱徑向方向。圖2的圓柱壁面的熱流密度分布曲線，可根據(jù)本文推廣了的高超聲速化學非平衡流動下的場協(xié)同原理，結合圖3予以闡述。從圖3可知，在圓柱前駐點，ρU和▽H平行，則夾角為180°(二矢量方向相反)，則在圓柱的前駐點熱流密度最大，離開前駐點夾角迅速下降，則熱流密度減小。

圖4給出了圓柱繞流當?shù)卅裊及▽H二矢量協(xié)同角分布曲線，其中縱軸為場協(xié)同角β。由于該算例為高超聲速化學反應流場向圓柱壁面?zhèn)鳠幔虼甩麓笥?0°。由于離開前駐點(除前駐點外)的多組分化學非平衡流動方向須沿壁面切線的方向(壁面附著流動)，則β減小較快。

4 應 用

二維雙橢圓(再入大氣層飛行器等高超聲速飛行器常采用簡單組合體外形雙橢球的對稱面壁面形狀)來流馬赫數(shù)M∞=18.8，來流溫度與壁面溫度之比為1.8(此溫度比下的傳熱仍為冷壁對流傳熱問題)，繞流每米雷諾數(shù)為Re/m=8×106。

雙橢圓外形如圖5所示。該雙橢圓外形是由以下兩個橢圓相貫而成。

在給定的上述來流及繞流雙橢圓外形條件下，根據(jù)高超聲速化學非平衡繞流的基本理論，在雙橢圓繞流的前駐點的邊界層內(nèi)▽H與壁面法向方向平行，▽H指向邊界層流場方向，而當?shù)卅裊則與▽H指向相反，因此兩者夾角為180°。因此，在此處對流傳熱熱流密度最大。向流動的下游，由于高超聲速繞流的附著特性，則在邊界層內(nèi)流動方向近似與雙橢圓的壁面切向方向一致，因此當?shù)卅裊與▽H的夾角從前駐點向流動的下游迅速下降。而在上面橢圓壁面區(qū)域，根據(jù)邊界層理論，層內(nèi)的當?shù)亘孒近似與壁面垂直，而波后流動突遇橢圓壁面的局部凸起，當?shù)卅裊不能立即恢復到與雙橢球壁面切線方向平行，當?shù)卅裊與壁面法線的夾角大于90°，從而當?shù)卅裊與▽H夾角變大，則此區(qū)域的壁面熱流密度出現(xiàn)局部峰值。對下壁面，與節(jié)3的圓柱繞流類似，流動流過前駐點后，熱流密度迅速單調(diào)下降。

為驗證上述應用推廣了的場協(xié)同原理理論解釋雙橢圓壁面熱流密度結論的正確性，采用節(jié)3的數(shù)值方法進行數(shù)值驗證。

圖6與圖7分別給出了雙橢圓上壁面的熱流密度分布曲線(用駐點處的熱流密度進行了歸一化處理)及邊界層內(nèi)當?shù)卅裊與▽H協(xié)同角度。圖6雙橢圓的駐點處的熱流密度最大值及上壁面局部凸起區(qū)域熱流密度的局部極大值可用圖7的兩矢量協(xié)同角分布曲線解釋，即局部熱流密度的峰值對應局部的協(xié)同角度的極大值。因此基于本文給出的高超聲速化學非平衡下的場協(xié)同原理的理論闡述與數(shù)值模擬結果相符。

5 討論及分析

本節(jié)以二維高超聲速化學非平衡流動的邊界層近似下的場協(xié)同理論為例，對上述的場協(xié)同原理進行了討論及分析。但應該指出的是本節(jié)的討論對三維邊界層亦成立。

5.1 高超聲速化學非平衡層流流動的場協(xié)同原理

把總焓表達式代入式(2)中，

(14)

從式(14)可以看出，對高超聲速化學非平衡流動的對流傳熱場協(xié)同原理，傳熱的貢獻包括單位體積的動量與靜焓的協(xié)同、動量和當?shù)刂髁鞣较蛩俣忍荻鹊膮f(xié)同。

進一步，由笛卡爾坐標系的可壓縮邊界層型的動量方程，可把式(14)右端第二項改寫為

(15)

把式(15)代入式(14)，考慮到式(15)右端第二項積分近似為零，則

(16)

從式(16)可知，對高超聲速化學非平衡反應流動的壁面熱流密度，不但包括單位體積的動量與靜焓梯度的協(xié)同，還計及了壓力梯度、可壓縮耗散函數(shù)等的影響?？紤]到靜焓的定義，則協(xié)同計及了所有組分的平動能、轉動能、振動能及電子能及零點能梯度的貢獻。另外，從式(16)也可以看出，當流動存在逆壓梯度時，壓力梯度對熱流具有減弱作用，反之則具有增強作用；由于耗散函數(shù)始終大于零，因此其對熱流場的影響始終具有減弱效果。

5.2 高超聲速化學非平衡湍流流動的場協(xié)同原理

類似對高超聲速化學非平衡層流流動的分析，對湍流的場協(xié)同原理的分析，除可得到層流流動的場協(xié)同原理的特點處，還包括了湍流剪切應力的貢獻，此處從略。

5.3 高超聲速熱化學非平衡層流及湍流流動的場協(xié)同原理

本節(jié)以三溫度模型[23]為例，論述場協(xié)同原理形式上與采用的溫度模型無關。

根據(jù)文獻[3, 23]，由三溫度模型下的高超聲速熱化學非平衡流動的能量邊界層方程，類似1節(jié)的方法，可推得三溫模型下的高超聲速熱化學非平衡流動的場協(xié)同

(17)

其中Tv、Te分別為振動溫度及電子溫度；λv、λe分別為振動溫度及電子溫度下的熱傳導系數(shù)。

式(17)亦可寫成類似式(4)及式(13)的無量綱形式，此處從略。

由式(17)具體形式可知，對三溫模型，熱流密度亦為當?shù)貑挝惑w積的動量與單位質(zhì)量總焓梯度的協(xié)同，場協(xié)同原理形式上與采用的溫度模型無關。

應該指出雖然以三溫模型為例進行了論述，對雙溫[24]及多溫模型[25]，本節(jié)給出的結論亦成立。另外，節(jié)5.1及5.2的討論對雙溫[24]、三溫[23]及多溫模型[25]亦成立。再者，雖然本小節(jié)僅對層流流動進行了分析，但是上述結論對湍流流動也是成立的。

5.4 高超聲速層流及湍流流動的場協(xié)同原理的對比及分析

從節(jié)1.1與節(jié)1.2的結果可以看出，層流流動的式(3)、(4)分別與湍流流動的式(12)、(13)形式上一致。

雖然層流與湍流的場協(xié)同原理表達形式上一致，但是在物理上和數(shù)學上確有不同。從物理上，湍流的脈動量大，擴散效應顯著大于相應的層流流動，因此一般來說可增大對流傳熱。從控制方程上，從組分方程(8)可見，湍流影響化學反應速率；從動量方程(9)也可以看出，湍流的雷諾剪切應力也影響對流場的平均速度型；從能量方程(11)，湍流的雷諾剪切應力及湍流熱通量等項均影響平均的密度、速度及總焓的數(shù)值。并且必須滿足連續(xù)方程(7)的限制性條件。

因此，上述的湍流效應均對流場的平均物理量產(chǎn)生影響，進而導致了流場的平均密度、平均速度、平均溫度，平均的總焓及其梯度有別于相應的層流流動。

另外，由于平均總焓包括了湍動能項，并且對高超聲速流動，流場總焓中的湍動能一般不能忽略[18]，這也是層流流動與湍流的區(qū)別。

6 結 論

在高超聲速飛行下，繞飛行器的空氣受強激波以及飛行器磨擦等因素的加熱而發(fā)生離解和電離。此時空氣不能再被視為完全氣體，而是由分子、原子、離子和電子組成的真實氣體。這些原子和離子的擴散及復合(包括在飛行器表面上的壁面催化效應)將伴隨著大量的能量交換。因此繞復雜外形飛行器的高超聲速流場是由空氣動力學及化學熱動力學中產(chǎn)生的、帶有化學反應的復雜流動，所涉及的流動現(xiàn)象包括從微觀到宏觀的高溫物理化學變化。上述情形都是有別于無化學反應的可壓縮流動的。本文則將對流傳熱的場協(xié)同原理從不可壓縮流動推廣至高超聲速化學非平衡流動中，并得到以下結論。

(1) 高超聲速化學非平衡及高速化學反應等流動的傳熱量(熱流密度)取決與當?shù)貑挝惑w積的動量(當?shù)孛芏扰c速度矢量的乘積)與單位質(zhì)量總焓梯度的協(xié)同程度。該協(xié)同對高超聲速化學、熱化學非平衡及高速化學反應的層流和湍流流動的對流傳熱問題均適用。

(2) 用當?shù)貑挝惑w積的動量與單位質(zhì)量總焓梯度的協(xié)同研究高超聲速化學非平衡及高速化學反應的壁面熱流密度問題，對層流流動的對流傳熱問題，不但計及了流動的當?shù)孛芏茸兓瘜Ρ诿鏌崃髅芏鹊淖饔?，而且包含了當?shù)仂o焓梯度、壓強梯度及邊界層內(nèi)的分子黏性剪切效應對壁面熱流密度的影響；對湍流流動的壁面熱流密度，除了上述各項(密度加權平均下的各項)對熱流密度的影響外，還計及了密度加權平均下的雷諾剪切應力對壁面熱流密度的作用。考慮到高超聲速化學非平衡流靜焓的定義，則協(xié)同同時計及了所有組分的平動能、轉動能、振動能及電子能的梯度的貢獻。