落實探究過程 深化策略教學(xué)
——以“轉(zhuǎn)化——解決問題的策略”的教學(xué)為例

江蘇無錫市港下實驗小學(xué) 華建東

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生認(rèn)識規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。”新課標(biāo)強調(diào)“要重視過程，處理好過程和結(jié)果的關(guān)系”，還明確地提出了“四基”與“四能”，教育改革方向決定教材建設(shè)方向。因此相較于實驗教材，修訂教材有了較大幅度的改動，如難度降低、體驗多樣、過程豐盈、融合數(shù)學(xué)思想方法、重視基本活動經(jīng)驗等，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)課程改革的核心理念。

蘇教版教材中“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容的編排就較明顯地體現(xiàn)了這些變化，這些變化給我們一線教師的教學(xué)帶來了新的思考與挑戰(zhàn)。如何在教學(xué)中突出這一內(nèi)容的重點，突破這一內(nèi)容的難點？如何深化策略教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，更好地體會轉(zhuǎn)化思想，更多地積累轉(zhuǎn)化活動經(jīng)驗，從而培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的策略意識？筆者結(jié)合修訂教材進(jìn)行了教學(xué)探索與嘗試。

一、在教材對比中把握教學(xué)內(nèi)涵

研讀教材，明晰教學(xué)內(nèi)容的核心，才能更好地設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，組織課堂活動，深化課堂教學(xué)，因此在教學(xué)本單元內(nèi)容時，筆者將實驗教材與修訂教材中相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了比較，希望在教材的“變”與“不變”中尋得教學(xué)的新突破。

（一）教學(xué)時間的調(diào)整

在實驗教材中“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容以獨立單元的形式安排在六年級下冊，修訂教材保留獨立單元的形式將其提前到了五年級下冊。轉(zhuǎn)化思想是解決問題的基本思想，解決問題的過程就是一個將未知一步步轉(zhuǎn)化成已知的過程。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)多次接觸、運用到了這一策略，如多邊形、圓形面積公式的推導(dǎo)，異分母分?jǐn)?shù)加減法，小數(shù)乘除法等。因此，在這時學(xué)習(xí)“轉(zhuǎn)化的策略”是可行的，提早學(xué)習(xí)也為之后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法等內(nèi)容作了良好的鋪墊。

（二）例題編排的調(diào)整

兩套教材都在這一單元編排了兩道例題，如下表：

修訂教材保留了實驗教材中的例1，只在問題與圖形大小上進(jìn)行了調(diào)整。實驗教材中的例2是分?jǐn)?shù)問題中數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，修訂教材將其刪掉，將實驗教材中例1之后的“試一試”調(diào)整為例2，重點教學(xué)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，旨在引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與計算的角度體會轉(zhuǎn)化策略的過程及特點，感悟幾何直觀的思想與價值。

（三）教學(xué)線索的調(diào)整

實驗教材中例1的教學(xué)安排了兩個層次的活動，即轉(zhuǎn)化比較與回顧反思。修訂教材中例1的教學(xué)則安排了四個層次的活動：構(gòu)思方法——操作實踐——回顧反思，其中回顧反思分為兩個層次。修訂教材的例2同樣安排了四個層次的活動：觀察發(fā)現(xiàn)——嘗試計算——引導(dǎo)轉(zhuǎn)化——回顧反思。

顯然，修訂教材多板塊的設(shè)計突出了轉(zhuǎn)化策略教學(xué)的重點，分化了轉(zhuǎn)化策略教學(xué)的難點，也更符合小學(xué)生認(rèn)識規(guī)律，更利于學(xué)生在操作與思考的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會運用轉(zhuǎn)化策略解決問題的過程與方法，感受轉(zhuǎn)化策略的價值。

除此之外，修訂教材的習(xí)題也有了較大的調(diào)整，習(xí)題編排主要體現(xiàn)出難度有所降低、系統(tǒng)性更強、涉及面更廣的特點。

綜上所述，修訂教材在內(nèi)容編排上的調(diào)整，更便于教師準(zhǔn)確把握教學(xué)思路，給學(xué)生提供了更多實踐與思考的機會，更利于學(xué)生經(jīng)歷運用轉(zhuǎn)化的策略解決問題的全過程，感受策略的價值，培養(yǎng)策略意識，提升運用策略解決問題的能力。

二、在課堂實踐中深化策略教學(xué)

初看教材，大多數(shù)教師都會覺得例1對學(xué)生來說比較簡單，例2要讓學(xué)生理解有一定難度，模仿計算比較容易實現(xiàn)?！袄?匆匆過，例2粗粗過”，差不多就是教學(xué)現(xiàn)實的真實寫照。然而，從學(xué)生的作業(yè)及課后談話，筆者發(fā)現(xiàn)他們熟知轉(zhuǎn)化之名，卻不得轉(zhuǎn)化之法，于是 “一蒙而就的答案”“茫然不知的天窗”就時常出現(xiàn)在作業(yè)中。針對出現(xiàn)的問題，筆者一邊尋求他人經(jīng)驗與幫助，一邊在教學(xué)中摸索和嘗試。

（一）落實操作過程，讓轉(zhuǎn)化有方法

心理學(xué)研究表明：小學(xué)生正處在形象思維繼續(xù)發(fā)展、抽象思維開始發(fā)展的階段，他們的抽象思維常常需要感性材料的支持才能順利進(jìn)行。因此，操作活動在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，學(xué)生通過動手操作經(jīng)歷探究的過程，能獲得更為深入的數(shù)學(xué)認(rèn)識和活動體驗，更多地積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。皮亞杰說：“活動既是感知的源泉，又是思維發(fā)展的基礎(chǔ)?！?在轉(zhuǎn)化策略的教學(xué)中落實操作過程，讓學(xué)生經(jīng)歷運用轉(zhuǎn)化解決問題的過程，有助于學(xué)生習(xí)轉(zhuǎn)化之法，入轉(zhuǎn)化之門。

對于身經(jīng)百戰(zhàn)的五年級學(xué)生來說，例1真是簡單，往往問題剛出示，大部分學(xué)生就會告訴你兩個圖形面積相等，他們還會告訴你：“左圖上面的半圓移下來就是一個長方形，右圖左右兩個半圓補到上面也是一個長方形，所以是一樣的?！泵摽诙龅拇鸢冈炀鸵粋€他們都已經(jīng)掌握了的假象。在做練習(xí)十六第2題的第3小題時，這個假象就被打破了，很多同學(xué)都不假思索填了，問他們怎么想的，他們說把圖形旋轉(zhuǎn)得到的（如圖1）。顯然，這是不正確的。如此現(xiàn)象，讓筆者意識到，可能圖形的轉(zhuǎn)化在他們看來就是一種直覺，多數(shù)情況下這種直覺是正確的，但當(dāng)題目難度加大時，這種直覺就不那么實用了。筆者重新回頭檢查他們完成例1轉(zhuǎn)化的情況，果不其然發(fā)現(xiàn)并不是所有學(xué)生都真正理解其中的轉(zhuǎn)化之法。于是再次教學(xué)例1時，筆者要求學(xué)生在圖上畫一畫，或者利用提供的素材剪一剪、拼一拼，之后還要比畫著說一說自己是怎樣想的，怎樣操作的，讓學(xué)生在畫、剪、拼、說的過程中感受圖形的轉(zhuǎn)化是有章法的，要根據(jù)圖形的特點進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)才能真正實現(xiàn)“由復(fù)雜到簡單”“由不規(guī)則到規(guī)則”的變形。

圖1

例2的教學(xué)則必須依托幾何直觀才能完成，在明確“后一個加數(shù)是前一個加數(shù)的”后，引導(dǎo)學(xué)生將一個正方形看作單位“1”，通過折紙或畫圖表示出這個加法計算的結(jié)果。在折、畫、填的過程中學(xué)生逐漸勾連起算式意義與幾何直觀之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)涂色部分的和就是從正方形中減去空白部分，而空白部分就是

通過剪、拼、畫、折等操作，在例1教學(xué)中落實圖形分割、圖形運動的方法，在例2教學(xué)中落實借助幾何直觀表示算式意義的方法，這些都為學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想、領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

（二）落實思維過程，讓轉(zhuǎn)化有深度

轉(zhuǎn)化策略的教學(xué)，除了“轉(zhuǎn)化”還有什么？一是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的推理過程。轉(zhuǎn)化離不開推理，轉(zhuǎn)化的過程往往也是推理的過程，當(dāng)學(xué)生能清楚地表達(dá)這一過程，自然也就掌握了轉(zhuǎn)化的方法。二是其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生在思考的過程中感悟數(shù)學(xué)思想，才能讓轉(zhuǎn)化教學(xué)有深度，讓學(xué)生的思維能力有提升。

1.在思考中明晰轉(zhuǎn)化的本質(zhì)

教材選取了運用轉(zhuǎn)化策略分析和解決實際問題中較典型的兩個問題——圖形的等積（長）轉(zhuǎn)化和連加算式的等值轉(zhuǎn)化。這兩種轉(zhuǎn)化策略的本質(zhì)在于“變中求不變”，所以在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化過程中的“變”與“不變”，才能實現(xiàn)學(xué)生對轉(zhuǎn)化策略的深度理解。

比如教學(xué)第一課時時，每當(dāng)學(xué)生完成了圖形轉(zhuǎn)化的過程，教師應(yīng)及時追問“轉(zhuǎn)化前后，什么變了？什么沒有變？”讓學(xué)生聯(lián)系操作過程，感悟“形狀改變，面積（周長）沒有變”的本質(zhì)。而在例2的教學(xué)中，則應(yīng)緊緊依托幾何直觀，讓學(xué)生明確涂色部分即整體減去空白部分所剩下的部分，聯(lián)系算式即表示的和與的差是等值的。

“變”是為了更好、更快地解決問題，“不變”則是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，是聯(lián)系變化前后兩種不同狀態(tài)的紐帶。只有理清了其中的“變”與“不變”，從本質(zhì)上理解轉(zhuǎn)化思想，才能真正掌握轉(zhuǎn)化的方法，實現(xiàn)針對具體問題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法的目標(biāo)。

2.在變式訓(xùn)練中提升思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)在某種程度上是一種思維的教學(xué)，讓學(xué)生在解決一個個實際問題的過程中錘煉思維，提升思維品質(zhì)，感受思維的魅力，這樣的教學(xué)才是有深度的數(shù)學(xué)教學(xué)。基于這樣的目標(biāo)，僅把目光停留在幾道例題和練習(xí)題上顯然是不夠的，學(xué)生需要更寬、更廣的思維空間，變式訓(xùn)練不失為一種有效的手段。教師們也在這一方面努力做著嘗試，讓簡單的例題不再“簡單”，變得豐富而厚實。

（1）依托變式打開思維之門。

在教學(xué)例1之后的試一試時，有教師將圖例由原來的兩幅增加至三幅（如圖2）。在引導(dǎo)學(xué)生通過不同的轉(zhuǎn)化過程，明確小路面積始終保持不變之后，追問：“在面積不變的前提下，圖中的小路還可以怎樣鋪設(shè)呢？誰來指一指?！币源舜蜷_了學(xué)生的思路，在變式中豐富了學(xué)生對策略的認(rèn)識與理解，也進(jìn)一步凸顯了“變中求不變”的策略本質(zhì)。

圖2

（2）依托變式打破思維定式

思維定式是指總是按著某一種習(xí)慣的思路去思考問題，具有兩面性。當(dāng)習(xí)慣性思維與解決問題的路徑一致時，可以促進(jìn)知識的正遷移，有利于問題的解決；而當(dāng)習(xí)慣性思維與問題解決的路徑不一致時，就會產(chǎn)生負(fù)遷移，阻礙問題的順利解決。

在例2的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過折一折、畫一畫、想一想、算一算這些活動，初步感悟借助直觀圖示解決計算問題的方法。最后，我們卻發(fā)現(xiàn)在學(xué)生頭腦中留下最深刻印象的是轉(zhuǎn)化成減法計算的那一個步驟，即“用單位‘1’減去最后一個分?jǐn)?shù)”，而對實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法與原理卻領(lǐng)悟甚少。于是當(dāng)遇到”這樣的變式時，由于思維定式導(dǎo)致習(xí)得的經(jīng)驗產(chǎn)生負(fù)遷移，學(xué)生往往會錯誤地將算式轉(zhuǎn)化成為了打破這一種思維定式，有教師就直接把變式訓(xùn)練融進(jìn)了新課教學(xué)中。在教學(xué)完例2后進(jìn)行變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生再經(jīng)歷畫圖或折紙的活動，發(fā)現(xiàn)從而建立聯(lián)系，形成有效的策略性經(jīng)驗，即用單位“1”減去空白部分所表示的分?jǐn)?shù)。并讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵并不是記憶某一步計算方法，而是要借助幾何直觀地實現(xiàn)從復(fù)雜連加計算到簡單減法計算的轉(zhuǎn)化。

（3）依托變式滲透極限思想

極限思想對于學(xué)生而言是有挑戰(zhàn)性的，卻能打破機械式重復(fù)訓(xùn)練的局限，同時給學(xué)生提供了一次受數(shù)學(xué)思維洗禮的機會，讓他們感受到數(shù)學(xué)的魅力。有老師就在教學(xué)中進(jìn)行了這樣的嘗試：

有時在教學(xué)中我們多設(shè)計一小步，對于學(xué)生而言卻是思維前進(jìn)的一大步，也許這時他們不能完全領(lǐng)悟，卻能在他們心中埋下一顆思維種子。

（三）落實對比過程，讓轉(zhuǎn)化有價值

對比是認(rèn)識策略、感受策略價值的重要方法。自主嘗試解決問題時的困惑與方法的繁復(fù)，鮮明地對比出應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決問題的簡潔與方便，凸顯了轉(zhuǎn)化策略的價值，使學(xué)生深刻感受應(yīng)用策略解決問題的好處。

在教學(xué)例1時，當(dāng)學(xué)生說清楚運用轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較的過程之后，筆者追問：“你們是怎樣想到用這種方法來比較的？以前數(shù)方格的方法你們怎么都不用了？”他們回答：“圖形是不規(guī)則的，不能直接比較，轉(zhuǎn)化成長方形之后，就可以直接比較了。數(shù)方格比較麻煩，而且容易數(shù)錯?！狈奖惚容^，數(shù)方格麻煩又易錯，多么直接的體會。筆者順勢指出：“是呀，看來這樣的圖形轉(zhuǎn)化很有用。”

第二課時教學(xué)中主要是將根據(jù)圖形想到的計算方法與自己先前采用的方法——通分計算進(jìn)行對比。首先比較兩者計算結(jié)果，驗證新方法是正確的；其次將兩種方法本身進(jìn)行對比，說說哪一個更簡單，并回憶操作和討論過程談?wù)勛约旱母惺?，從而進(jìn)一步突出畫圖的作用，凸顯轉(zhuǎn)化策略的價值。

在一次次轉(zhuǎn)化策略的運用中，在一次次不同方法的對比中，轉(zhuǎn)化的價值就自然而然地深入了學(xué)生的心中。

（四）落實反思過程，讓轉(zhuǎn)化有痕跡

策略的形成依賴于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的體驗、感悟和反思，通過反思可以進(jìn)一步明確轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用過程，通過反思新舊經(jīng)驗不斷融合，通過反思能促進(jìn)粗略的內(nèi)化與提升。

從課本中的引導(dǎo)語足見教材對回顧與反思的重視，基于教材的設(shè)計，筆者在教學(xué)中安排了多次回顧反思。主要分兩個層次，一是要求學(xué)生在解決某一問題之后，對解決問題的過程進(jìn)行回顧反思；二是要求學(xué)生回顧以往的學(xué)習(xí)，喚醒曾經(jīng)運用轉(zhuǎn)化策略解決問題的經(jīng)驗。

轉(zhuǎn)化可以實現(xiàn)化新為舊，化繁為簡，化難為易，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題中常用的策略之一。要讓學(xué)生切實掌握轉(zhuǎn)化之精髓，就必須引導(dǎo)學(xué)生切實經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的過程，在操作中掌握方法，在思考中感悟本質(zhì)，在比較中發(fā)現(xiàn)價值，在反思中建構(gòu)知識體系。筻