試論中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論思想及應(yīng)用

李偉振

【摘 要】本文通過(guò)對(duì)分類的重要性、分類的必要性、分類的原則性、分類的原因 、分類的步驟、在教學(xué)中如何滲透分類討論思想等進(jìn)行討論，以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 分類討論思想 必要性 原則性

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）06B-0038-03

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，主要是指課本中有關(guān)的概念、法則、性質(zhì)、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和基本方法。其中分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要策略思想，也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，縱觀全國(guó)各地中考、高考試題，分類討論思想是運(yùn)用頻率最多的思想之一。下面就中學(xué)數(shù)學(xué)中的分類討論思想與應(yīng)用作探討。

一、分類的重要性

在中學(xué)階段很多數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅在涉及的知識(shí)范圍上帶有綜合性，而且就問(wèn)題本身來(lái)說(shuō)，也受到多種條件的交叉制約，形成錯(cuò)綜復(fù)雜的局面，很難從整體上著手解決。這時(shí)就從“分割”入手，把“整體”劃分為若干個(gè)局部，轉(zhuǎn)而去解決局部問(wèn)題，最后達(dá)到整體上的解決，這是具有哲學(xué)意義的思想方法。而分類討論思想就是科學(xué)合理地劃分類別，通過(guò)“各個(gè)擊破”再求整體解決的策略思想。從邏輯學(xué)上講，分類就是指概念外延，也就是指同屬于被分概念的各類概念的邏輯活動(dòng)，是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的異同，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為不同的種類，分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)分類，一方面可使有關(guān)概念的知識(shí)系統(tǒng)化、完整化；而另一方面對(duì)該概念的外延有深刻的認(rèn)識(shí)。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題很難用統(tǒng)一的方法解決，但若將其劃分為若干個(gè)局部問(wèn)題，每個(gè)局部問(wèn)題解決了，整個(gè)問(wèn)題就解決了。從某種意義上說(shuō)，分類討論思想就是化整為零，各個(gè)擊破的方法。

二、分類的必要性

（一）從教材的內(nèi)容看分類討論的必要性

教材是教學(xué)的藍(lán)本，學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)主要是從課本中得來(lái)，而在中學(xué)教科書(shū)中，從初一的有理數(shù)的概念到高中的立體幾何圖形的分類和位置關(guān)系再到高三的總復(fù)習(xí)，整個(gè)階段都滲透了分類思想的內(nèi)容。這就要求教師站在一個(gè)較高的層次上，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)自覺(jué)地有意識(shí)地向?qū)W生滲透分類思想。

（二）從高考趨勢(shì)看分類思想的必要性

數(shù)學(xué)分類思想，已廣泛滲入自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為現(xiàn)代知識(shí)文明的一個(gè)重要組成部分。讓學(xué)生在中學(xué)階段掌握這一思想武器，無(wú)疑是十分必要的。在高三的第二階段復(fù)習(xí)中，分類討論思想作為一個(gè)專題復(fù)習(xí)，凸顯分類討論思想在高考中的重要性。分類討論的試題已大量滲透到高考中，下面看看分類討論在高考中的應(yīng)用。

（四）分類不能越級(jí)

不能越級(jí)是把被分概念分為最鄰近的類概念。

例如，把復(fù)數(shù)分實(shí)數(shù)和虛數(shù)，而實(shí)數(shù)又分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)是正確的，但是，如果把復(fù)數(shù)分虛數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)就越級(jí)了。

四、分類的原因

（一）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的

五、分類步驟

（一）確定討論的對(duì)象以及被討論對(duì)象的全域；

（二）合理分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏；

（三）逐段逐類討論，分級(jí)進(jìn)行；

（四）歸納總結(jié)，得出整個(gè)題目的結(jié)論。

應(yīng)用分類討論的思想方法一般都可以按以上步驟進(jìn)行，下面舉例說(shuō)明。

分析：本題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，絕對(duì)值的定義是以零點(diǎn)為界分類的，所以就應(yīng)確定每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的零點(diǎn)。|x-5|和|2x+3|的零點(diǎn)是 x=5 和 ，這樣就可以確定被討論的全域是 ，，x≥5，按這三段逐類討論，分級(jí)進(jìn)行，就可以做到不重不漏。

六、如何滲透分類思想

（一）增強(qiáng)分類意識(shí)

分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是高考試題的熱點(diǎn)之一，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常運(yùn)用。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，我們比較注重基本概念、性質(zhì)、定理、法則的教學(xué)，很少注重引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的角度去總結(jié)、歸納、升華，從而忽視了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，對(duì)其中的分類思想更談不上靈活運(yùn)用。如果能夠?qū)⒃S多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)分類，問(wèn)題就變得相對(duì)簡(jiǎn)單明確，而且解出的結(jié)果不易重復(fù)和遺漏，故要增強(qiáng)分類討論的意識(shí)。

（四）做好專題分類討論的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練

在學(xué)習(xí)分類思想的初始階段時(shí)，可以從一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象分類或?qū)W生比較熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題分類入手，逐步提高要求。當(dāng)學(xué)生初步了解一些分類方法后，要做好專題的分類討論課，多講解和訓(xùn)練一些常見(jiàn)的分類方法，特別到了高三總復(fù)習(xí)，那時(shí)有專題的分類討論思想復(fù)習(xí)，更要把握好，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)分類思想。

以上是筆者對(duì)分類討論思想的一些探討，筆者研究發(fā)現(xiàn)考查分類討論思想的題型在高考中不斷出現(xiàn)，說(shuō)明分類討論思想不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)，故教師更應(yīng)該重視和加強(qiáng)分類討論思想教學(xué)，它是一種深層次的新教學(xué)改革，它不但可以提高教學(xué)質(zhì)量，而且更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（責(zé)編 盧建龍）