巧設(shè)樣例突破“相似”

濮維

摘 要：樣例學(xué)習(xí)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的有效學(xué)習(xí)方式之一，通過研習(xí)樣例可以提高學(xué)習(xí)效率，有較好的遷移效果，而且還能減輕學(xué)生學(xué)習(xí)時的認(rèn)知負(fù)荷。本文以“圖形的相似”一章為例，設(shè)計了“樣例——問題對”“不完整樣例”“漸減提示法樣例”，突出樣例中的評論部分，促進(jìn)學(xué)生的自我解釋，通過樣例學(xué)習(xí)突破相似難點。

關(guān)鍵詞：樣例學(xué)習(xí)；圖形的相似；樣例呈現(xiàn)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）11-073-2

本文中的樣例是指數(shù)學(xué)的問題、解答及評論的組合體，問題部分對要求學(xué)生解決的問題進(jìn)行陳述，解答部分逐步描述問題解決的步驟，評論部分則解釋采取每一步的理由或根據(jù)。樣例不僅要起到樣板或示范作用，更重要的是讓學(xué)生從樣例的評論或點撥中理解概念的內(nèi)涵以及幾何性質(zhì)或推理的作用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣。下面結(jié)合“圖形的相似”，設(shè)計了三種樣例呈現(xiàn)方式，談?wù)剮缀谓虒W(xué)中的樣例學(xué)習(xí)。

一、“樣例——問題”對

“樣例——問題”對有兩種組織方式：交互式和分塊式。交互式即為樣例1，練習(xí)1，…，樣例6，練習(xí)6。分塊式為樣例1，…，樣例6，練習(xí)1，…，練習(xí)6。實驗研究表明，交互式是更為有效的問題呈現(xiàn)方式。

例1 若a=1cm，b=3cm，c=2cm，d=6cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

解：∵ab=13，cd=26=13（分別求出兩條線段的比，注意線段的比的順序）

∴ab=cd（判斷兩線段的比是否相等）∴a、b、c、d是成比例線段。

練習(xí)：若a=3cm，b=6cm，c=9cm，d=18cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

例2 若a=1cm，b=4cm，c=8cm，d=4cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

解：∵ab=14，cd=84=2，∴ab≠cd，∴a、b、c、d不是成比例線段。

練習(xí)：若a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

例3 已知a、b、c、d是成比例線段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求線段d的長。

解：∵a、b、c、d是成比例線段，

∴ab=cd，即32=6d，∴d=4。

練習(xí)：已知三條線段3cm，8cm，10cm，在后面再添個數(shù)，使它們組成成比例線段。

評論：當(dāng)“a、b、c、d四條線段成比例”時，滿足ab=cd，a、b、c、d四條線段是有順序的，不能顛倒。根據(jù)成比例線段的概念，一是可以用來判斷所給的四條線段是否成比例；二是已知三條線段可以求第四條線段的長度。

上面的3個樣例，成比例線段的概念是在線段的比的基礎(chǔ)上定義的，以例1到例4樣例——問題對的形式，將這個概念的判斷、概念的應(yīng)用等都包含在內(nèi)，達(dá)到對概念全面的了解和把握。

二、不完整樣例

不完整樣例是指刪除了部分解題步驟的樣例。所謂“關(guān)鍵步驟”是指學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)中難以獨自直接理解和掌握的解題或運算步驟。在不完整樣例中，如果刪除了關(guān)鍵步驟，學(xué)生很難通過它的前后解題步驟和已有知識補寫出該步驟。所謂“非關(guān)鍵步驟”是學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)中利用已有知識很容易理解和掌握的解題或運算步驟。在不完整樣例中如果刪除了非關(guān)鍵步驟，學(xué)生也能根據(jù)它的前后解題步驟和已有知識補寫出該步驟。

在幾何樣例設(shè)計中，對不完整樣例的設(shè)計，對刪除的步驟要認(rèn)真加以斟酌，刪除非關(guān)鍵步驟可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)掌握的知識，提高學(xué)生對解題步驟的自我解釋。刪除關(guān)鍵步驟可以促使學(xué)生進(jìn)行獨立的思考，老師要根據(jù)學(xué)生的特點和教學(xué)的目的，確定不完整樣例中的刪除的步驟。

例4 在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么條件？

（1）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′（兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似）

（2）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′。（兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似）

（3）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′。（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似）

評論：根據(jù)相似三角形的判定條件，已知一角，要么找另一對角相等，要么找這個角的兩邊對應(yīng)成比例。但是在運用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明三角形相似時，必須是兩邊的夾角，在本題中，是∠B和∠B′的兩邊對應(yīng)成比例。

三、樣例的漸減提示法

刑強、莫雷通過研究認(rèn)為，應(yīng)該還存在比不完整樣例或樣例問題對更為有效的樣例呈現(xiàn)途徑。在樣例學(xué)習(xí)時如果逐漸的、連續(xù)的把問題解決引入樣例學(xué)習(xí)之中，直到最后只剩下問題讓學(xué)習(xí)者解決，這樣更有利于提高學(xué)習(xí)的效果，稱這種組織樣呈現(xiàn)的方式為漸減提示法。首先呈現(xiàn)完整樣例，然后，呈現(xiàn)的樣例減少一步，接著逐漸減少步驟到最后剩下問題去解決。

相似三角形的性質(zhì)中，相似三角形的面積比的問題是最常見的類型，在中考中頻繁出現(xiàn)，難度也比較大，對學(xué)生來說是個學(xué)習(xí)的難點。由于相似三角形的面積比等于相似比的平方這個性質(zhì)容易與一般三角形面積比混淆，在設(shè)計樣例時選擇了六個小問題，從基本問題逐步過渡到綜合性較強的問題，滿足不同層次的學(xué)生需求，各個樣例中通過解釋性語句，漸減提示呈現(xiàn)樣例，同時對樣例進(jìn)行變式，讓學(xué)生辨析性質(zhì)的用法，根據(jù)自己的實際情況掌握性質(zhì)。

例5 （1）若△ABC∽△DEF，它們的面積比為4∶1，則△ABC與△DEF的相似比為 。

解：相似三角形的面積比等于相似比的平方，則相似三角形的相似比就等于面積比的算術(shù)平方根，相似比為2∶1。

（2）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則△ABC與△DEF的面積比為 。

解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC與△DEF的相似比等于周長比為3∶1，

∴△ABC與△DEF的面積比為相似比的平方為 。

（3）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，若AD=1，BC=3，△AOD的面積為3，則△BOC的面積為 。

解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，

∴S△ADO∶SBCO=（ADBC）2=（ ）2= ，∴S△BOC= = 。

（4）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于點E，S△ADE∶SADC=1∶3，那么S△ADE∶S△CBE= 。

解析：（△ADE與△ADC的面積之比如何轉(zhuǎn)換成可以應(yīng)用的條件？）

∵S△ADE∶S△ADC=1∶3，∴S△ADE∶S△EDC=1∶2。

（△ADE與△EDC是同高的兩個三角形，將三角形的面積之比轉(zhuǎn)換為底邊之比）

∴AE∶CE=S△ADE∶S△EDC=1∶2。（下面請自己完成）

評論：第（4）小題的關(guān)鍵在于S△ADE∶S△ADC=1∶3條件的轉(zhuǎn)換，而△ADE與△EDC是兩個同高的三角形，面積比等于底邊之比?！跋嗨迫切蔚拿娣e之比等于相似比的平方”應(yīng)用的前提是“相似三角形”，在運用時要分清條件，特別注意等高同底時兩個三角形的面積比與底邊比的關(guān)系。

（5）如圖3，在□ABCD中，F(xiàn)是AB邊上一點，DF交AC于點E，且AE∶EC=1∶2，

則△AEF的面積：四邊形BCEF的面積= 。

解析：四邊形BCEF的面積可以通過△ABC減去△AEF的面積來求解，而△ABC的面積等于△ACD的面積，請你根據(jù)提示完成。

（6）如圖4，梯形ABCD的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為p2、q2，則梯形的面積為 。

（你能完成這個問題嗎？試試看）

評論：本題的6個題問題都是“相似三角形面積之比等于相似比的平方”這一性質(zhì)的應(yīng)用，使用時要注意“相似三角形”這個大前提，要注意與“同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比”的區(qū)別，正確運用性質(zhì)解決問題。

樣例的呈現(xiàn)方式是多樣化的，教師在備課時應(yīng)該對例題做必要的修改或再加工，然后在課上以“樣例——問題對”、“不完整樣例”或者“漸減式的樣例”等呈現(xiàn)方式針對不同的問題做出選擇。與此同時，教師在設(shè)計例題時要注重基礎(chǔ)題，注意例題之間的聯(lián)系，將例題盡可能地串聯(lián)，并可變化問題的條件或結(jié)論，做到一題多變，一題多解。此外，教師在課堂上也要注意多種信息的整合，減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，以達(dá)到良好的教學(xué)效果。

[參考文獻(xiàn)]

[1]許志毅，王英豪.樣例學(xué)習(xí)的理論與實施[J].現(xiàn)代教育科學(xué)，2009（03）.

[2]邵光華.數(shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)的理論和實證研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2003.

[3]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1984.

[4]喬爽，林洪新.樣例學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)荷理論[J].遼寧教育行政學(xué)報，2009，26（1）.