圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

鄭航

摘 要：機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中的重要零件就是齒輪減速器，它在各類機(jī)械設(shè)備上具有極為廣泛的應(yīng)用。不斷地試湊、校核是傳統(tǒng)減速器的設(shè)計(jì)方法，即使設(shè)計(jì)方案達(dá)到了預(yù)期效果，但是通常其效果并不能達(dá)到最優(yōu)。通過選取設(shè)計(jì)變量，確定目標(biāo)函數(shù)及約束條件，圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型才方可建立。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計(jì)；圓柱齒輪；減速器

1減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

優(yōu)化設(shè)計(jì)通常分為三大類：結(jié)構(gòu)外觀上避免體積過大，使用方面追求減速器承載能力達(dá)到最大，經(jīng)濟(jì)方面在設(shè)計(jì)減速器時(shí)花費(fèi)更少的資金。要達(dá)到第三類目標(biāo)的要求，會(huì)有很多因素參雜其中，除了合理地設(shè)計(jì)出減速器的設(shè)計(jì)方案，單位的勞動(dòng)能力、管理能力、設(shè)備結(jié)構(gòu)和材料價(jià)格等因素都會(huì)被涉及。最終，第一類或第二類優(yōu)化類型，即追求小體積成為了設(shè)計(jì)人員所采納的優(yōu)化方案。其中，在追求小體積和追求最大承載能力方面也起到了沖突。如果減速器的大小一定，那么受到限制的就是減速器的承載力；如果所受到的承載力是一定的，那么受到限制的就是減速器的大小。因此，兩種類型的實(shí)質(zhì)是一樣的。優(yōu)化減速器時(shí)，體積則是由中心距離體現(xiàn)出來的。所以，優(yōu)化減速器大體可以分為兩種類型，第一類優(yōu)化：根據(jù)給出的承載范圍，中心距離作為減速器的優(yōu)化重點(diǎn)；第二類優(yōu)化：根據(jù)減速器的中心距離，減速器的承載范圍作為優(yōu)化重點(diǎn)。

2傳動(dòng)比的分配

1）每級(jí)傳動(dòng)比應(yīng)在推薦值范圍內(nèi)，且各級(jí)傳動(dòng)比應(yīng)使傳動(dòng)裝置尺寸協(xié)調(diào)、結(jié)構(gòu)勻稱、不發(fā)生干涉現(xiàn)象，使減速器獲得盡量小的外形尺寸和重量；2）使各級(jí)傳動(dòng)的承載能力（一般指齒面接觸強(qiáng)度）接近相等；3）使各級(jí)傳動(dòng)的大齒輪浸入油中的深度大致相等，以避免低速級(jí)大齒輪浸油過深而增加攪油損失。在設(shè)計(jì)展開式雙級(jí)圓柱齒輪減速器時(shí)，考慮到各級(jí)齒輪傳動(dòng)的潤(rùn)滑合理性，應(yīng)使兩大齒輪直徑相近，推薦值取i1=（1.3～1.4）i2或i1= ，其中：i1、i2分別為高速級(jí)和低速級(jí)齒輪的傳動(dòng)比，i為減速器的總傳動(dòng)比。對(duì)于同軸式雙級(jí)圓柱齒輪減速器，一般取i1=i2= 。對(duì)于多級(jí)減速傳動(dòng)，可按照“前小后大”（即由高速級(jí)向低速級(jí)逐漸增大）的原則分配傳動(dòng)比，且相鄰兩級(jí)差值不要過大。這種分配方法可使各級(jí)中間軸獲得較高轉(zhuǎn)速和較小的轉(zhuǎn)矩，從而減少了軸及軸上零件的尺寸和重量，使得結(jié)構(gòu)較為緊湊；而且可減小因制造精度等而引起的傳動(dòng)鏈誤差和中間傳動(dòng)件誤差對(duì)末端原件的影響。

3圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1建立目標(biāo)函數(shù)，確定設(shè)計(jì)變量

對(duì)于齒輪減速器，在齒輪和軸的結(jié)構(gòu)尺寸確定之后，箱體的尺寸隨之確定，當(dāng)材料不變時(shí)，質(zhì)量和體積正相關(guān)，故可按減速器中齒輪和軸的體積之和的表達(dá)式建立目標(biāo)函數(shù)。為便于與箱體零件連接，設(shè)主動(dòng)軸伸出箱外28mm，從動(dòng)軸伸出箱外32mm。大齒輪結(jié)構(gòu)采用輻板式，輻板上有四個(gè)均布孔。于是齒輪與軸的體積之和為： （1）

式中：d1=mz1，dg=1.6d1'，d2=imz1，d0=0.25（imz1-10m-1.6d2'），D2'=imz1-10m，C=0.2B，δ=5m

從式（1）可知，當(dāng)傳動(dòng)比i給定時(shí)，減速器的尺寸決定于齒寬B、小齒輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、箱體寬度l、小齒輪軸直徑d1'和大齒輪軸直徑d2'，因此得出設(shè)計(jì)變量，將設(shè)計(jì)變量代入體積公式，得目標(biāo)函數(shù)：f（X）=0.785398（4.75x1x2x32+85x1x2x32-85x1x32+0.92x1x62-x1x52+0.8x1x2x3x6-1.6x1x3x6+x4x52+x4x62+28x52+32x62）

3.2約束條件

直齒圓錐齒輪傳動(dòng)比i1≤4，直齒圓柱齒輪傳動(dòng)比i1≤6，根據(jù)傳動(dòng)比前小后大的分配原則，即i1

由i=i1·i2，所以得到約束條件：

經(jīng)上述分析可知，二級(jí)圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)工作主要是對(duì)傳動(dòng)比進(jìn)行最優(yōu)分配，而該問題則屬于一維約束條件的非線性規(guī)劃問題。

3.3計(jì)算優(yōu)化結(jié)果

罰因子遞減系數(shù)C=0.5，采用Powell法對(duì)新目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化，其中一維優(yōu)化選用二次插值法，收斂精度取ε=10-7。Powell法的收斂精度取δ=10-3。優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1優(yōu)化結(jié)果參數(shù)表

雖然X2對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值較小，但其設(shè)計(jì)點(diǎn)與多個(gè)約束邊界的距離較近，綜合考慮下，選擇最優(yōu)解為X3。對(duì)上述優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)幾何參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化，要進(jìn)行圓整，得：

X*=[12230.723.510.213]

f（X*）=33741cm3

對(duì)比優(yōu)化設(shè)計(jì)前，減速器體積下降比率為：

3.4簡(jiǎn)介MATLAB在二級(jí)圓柱減速器齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用

初始種群。求解前，在解的備選空間中選擇若干個(gè)體組成初始種群，采用隨機(jī)方法產(chǎn)生初始種群。計(jì)算適應(yīng)度。適應(yīng)度值是MATLAB在群體計(jì)算過程中的重要信息，適應(yīng)度對(duì)字符串如何進(jìn)行復(fù)制作出了詳細(xì)的描述。適應(yīng)度函數(shù)主要是通過計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度數(shù)值來比較各個(gè)適應(yīng)度的好壞，好的適應(yīng)度值會(huì)在下一次計(jì)算過程中繼續(xù)被放大，而壞的適應(yīng)度值則不會(huì)進(jìn)入下一計(jì)算階段，進(jìn)而被淘汰。由此，好的適應(yīng)度值越來越多，最終的計(jì)算結(jié)果也會(huì)趨于良好。終止準(zhǔn)則。終止準(zhǔn)則主要指在何種條件下認(rèn)為找到了最優(yōu)解，之后便可終止計(jì)算，得到最優(yōu)的計(jì)算結(jié)果。利用MATLAB軟件進(jìn)行齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)人員可編制多種遺傳操作算子，之后編制齒輪結(jié)構(gòu)的MATLAB程序，最后對(duì)齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4計(jì)算中難點(diǎn)分析

4.1齒輪計(jì)算

第一步要通過選擇齒輪材料及熱處理方式來確定許用應(yīng)力。若傳遞功率大且要求尺寸緊湊，應(yīng)采用硬齒面組合，選用合金鋼或合金鑄鋼，并采用表面淬火、滲碳或滲氮淬火等熱處理方式，熱處理后硬度可達(dá)56～62HRC。第二步考慮硬齒面齒輪失效主要形式是齒根發(fā)生彎曲疲勞折斷，按輪齒的彎曲強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì)，先計(jì)算模數(shù)，再校核齒面接觸強(qiáng)度看是否滿足要求。若齒輪工作條件等為一般要求，則第一步可選用碳鋼、鑄鋼或鑄鐵，采用正火或調(diào)質(zhì)等熱處理方式，熱處理后硬度可達(dá)250HBS左右，采用軟齒面齒輪的組合；再考慮軟齒面齒輪失效主要形式是點(diǎn)蝕，按輪齒的接觸強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì)，先計(jì)算中心距，選擇齒數(shù)，從而確定齒輪的基本尺寸，再校核齒根彎曲疲勞強(qiáng)度看是否滿足要求。

4.2軸計(jì)算

1）第一種方法：先計(jì)算危險(xiǎn)截面直徑再計(jì)算各軸段的直徑，這樣保證危險(xiǎn)截面能滿足設(shè)計(jì)要求，即其當(dāng)量應(yīng)力σe值小于等于許用彎曲應(yīng)力[σ-1b]。如果是高速輸入軸且其與電動(dòng)機(jī)軸相連，需考慮電動(dòng)機(jī)軸的直徑；如果是低速軸且其與聯(lián)軸器相連，應(yīng)選擇合適的聯(lián)軸器型號(hào)。2）第二種方法：先計(jì)算軸最細(xì)段直徑再驗(yàn)算危險(xiǎn)截面直徑。這種方法如果危險(xiǎn)截面直徑不能滿足要求，則需要重新計(jì)算最細(xì)段軸的直徑。第一步：先要初算軸徑。第二步：校核危險(xiǎn)截面的直徑。

結(jié)語

在強(qiáng)度要求滿足條件的前提下，采用設(shè)計(jì)優(yōu)化方案，會(huì)極大地減小減速器的尺寸，不僅僅提高了減速器的運(yùn)行效率，而且還減少了材料及財(cái)力，優(yōu)化設(shè)計(jì)法和傳統(tǒng)設(shè)計(jì)法之間有著非常密切的關(guān)系。雖然優(yōu)化設(shè)計(jì)法具有彌補(bǔ)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)法不足的效果，但是優(yōu)化設(shè)計(jì)法在一定領(lǐng)域上仍然具有局限性。我們可以把可靠性技術(shù)、模糊技術(shù)引用到優(yōu)化設(shè)計(jì)上，從而形成了可靠性及模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)法，在工程設(shè)計(jì)技術(shù)方面有了質(zhì)的飛躍。

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（作者單位：鄭州飛機(jī)裝備有限責(zé)任公司）