高中數(shù)學概念教學策略再探究

梁英瓊

[摘 要]數(shù)學概念是高中數(shù)學的重要組成部分，是學生學好數(shù)學的前提.研究數(shù)學概念教學策略具有實際意義.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學；概念教學；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0015-02

新課標指出：數(shù)學不僅要教給學生數(shù)學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程.在數(shù)學概念教學中，除了使學生掌握必要的基礎知識和基本技能外，還要注重培養(yǎng)學生的思維能力.要實現(xiàn)這一目的，就必須更新觀念，變結(jié)果教學為過程教學，在數(shù)學教學過程中要充分展示思維活動的過程，展現(xiàn)知識的產(chǎn)生和演化過程，使課堂教學成為真正數(shù)學活動的教學.

一、 數(shù)學概念教學中應重視概念的形成過程

學生正確理解概念是掌握知識的關(guān)鍵，是進行判斷、推理的前提.只有概念明確，才能判斷準確，才能推理有據(jù)；只有深刻理解概念，才能提高學生的解題能力.在課堂上，教師要結(jié)合學生已知的認知結(jié)構(gòu)，從學生接觸過的具體內(nèi)容引入，運用實物、模型、圖案、錄像、動畫等向?qū)W生提供必要的感性材料，在引導學生觀察的同時，啟發(fā)學生獨立思考，使學生在感性認知的基礎上上升為理性認知，形成數(shù)學概念.這樣，在概念的發(fā)生和發(fā)展過程中，讓學生看到思維的過程.通過分析、綜合、比較、抽象，學生就可以自己歸納出概念的本質(zhì)屬性，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的思維能力.

在函數(shù)概念的教學中，我們應站在歷史發(fā)展的角度來看待函數(shù)概念的教學.德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）用[x]（自變量）去對應[y=xn]（因變量）.即通過等式[y=xn]給出了對應關(guān)系[x→xn]（這并沒有逃脫早期的函數(shù)定義）.法國數(shù)學家柯西（Cauchy，1789-1857）在總結(jié)前人對具體的對應關(guān)系的研究的基礎上，抓住了對應關(guān)系的本質(zhì)——“對于[x]的每一個值，都有唯一確定的[y]值與之對應”.

初中教材中函數(shù)的定義：設在一個變化的過程中有兩個變量[x]與[y]，如果對于[x]的每一個值，[y]都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說[y]是[x]的函數(shù)，[x]叫作自變量.“[x]的每一個值，[y]都有唯一確定的值與它對應”仍然是一種模糊的表述，它掩蓋了[y]的“生成過程.”當我們引入符號“[f（ ）]”來抽象地表達運算“[（ ）2+（ ）+1]”時，對應關(guān)系的產(chǎn)生過程就很清晰了.這種符號向我們展示了深層次的函數(shù)本質(zhì)特征.其實，函數(shù)就是一種對應，只不過是一種特殊的對應，特殊在：①A、B是非空數(shù)集；②數(shù)集A中的任意一個數(shù)[x]，通過對應關(guān)系“[f] ”在集合B中都有唯一確定的數(shù)[y]與之對應.

[f（x）]表示的是對應法則“[f（ ）]”在作用[x]；[f（x）]中的[x]應該是在[x]的取值范圍A中，只有當[x]在函數(shù)的定義域中時，符號[f（x）]才有意義，即[f（x）]的[x]必在定義域中（這是一個十分重要的蘊含關(guān)系）.

二、數(shù)學概念教學中要重視變式的應用

概念的變式教學，使學生進一步深入透徹地理解概念，辨別概念各要素間的聯(lián)系，并能運用概念進行解題，也能使學生簡縮解題過程，從而提高學生思維的敏捷性.

【例1】 已知△ABC的邊長BC的長為8，周長為18，求頂點A的軌跡方程.

變式1：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，點P為橢圓任意一點，點P到一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為多少？

變式2：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，[F1，F(xiàn)2]分別為橢圓的兩個焦點， CD為過[F1]的弦，且[∠CF1F2=θ，（0<θ<π）]，則[△F2CD]的周長為多少？

變式3：若將“周長為18”改為“[b，a，c]三邊成等差數(shù)列”，求頂點A的軌跡方程.

變式4：若將“周長為18”改為“[sinB+sinC=2sinA]”，求頂點A的軌跡方程.

變式5：若將已知改為“△ABC的邊長BC的長為8，要使點A的軌跡為橢圓可添加什么條件？”

在概念教學中，要從感性認識開始，使學生對概念表象再上升到理性認識，并在“理解”與“使用”的多次反復中深刻理解概念.

三、教材例題教學中要重視分析、探索過程

在教學過程中，教師應注意創(chuàng)設問題情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學生能夠從中體驗發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程，也能使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，從而了解知識的來龍去脈.

【例2】 已知[f（x）=3x]，求證：

（1）[f（x）f（y）=f（x+y）]；

（2）[f（x）÷f（y）=f（x-y）]是否有[f（x）f（y）=f（x+y）][?][f（x）÷f（y）=f（x-y）]？

教學中教師可以引導學生思考：是否只有[2x]，[3x]滿足關(guān)系[f（x）f（y）=f（x+y）]呢？

【例3】 已知定義域為[R]的函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，求函數(shù)[f（x）].

通過賦值法，我們可以證明[f（nx）=[f（x）]n][?][f1n=[f（1）]1n][?][fmn=[f（1）]mn]，從而得出一般結(jié)論.

結(jié)論1：當[x]為正有理數(shù)時，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].又由[f（0）=a0=1]，[f（x）=ax]也成立.

結(jié)論2：當[x]為負有理數(shù)時，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].

結(jié)論3：已知定義域為[R]的連續(xù)單調(diào)函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，則[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）]，[x∈R].

我們可以通過此例引導學生完成高中階段對抽象函數(shù)關(guān)系的所有討論.

好的數(shù)學教學不能僅僅局限于教學生解題，應該讓學生通過解題，明白一些原理，學會從數(shù)學的角度思考問題，這是對數(shù)學本質(zhì)的領(lǐng)悟.一節(jié)優(yōu)秀的數(shù)學課，猶如一段美妙的旋律，給人一種神奇的、美的體驗.高中數(shù)學教學應該呈現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，跳出題海，回歸本源，切實提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)“知識與技能，過程、方法與解決問題的能力以及學生的情感、態(tài)度與價值觀”的和諧發(fā)展.

（責任編輯 黃桂堅）