多約束條件下導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)三維制導(dǎo)律設(shè)計

李 文 李華濱 王 亮 高 潔

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076 3.中國人民解放軍91917部隊，北京 102401

單枚導(dǎo)彈由于其探測范圍、殺傷半徑有限，無法對目標(biāo)實施有效打擊，而且一旦暴露，容易處于比較被動的局面。而多枚導(dǎo)彈群作戰(zhàn)，則可彌補單彈作戰(zhàn)的不足，是武器戰(zhàn)斗力的倍增器，是在未來戰(zhàn)爭中震懾敵人的有力“殺手锏”[1]。組織多枚導(dǎo)彈對目標(biāo)進行多方向的立體集群突襲，使其防御的空域出現(xiàn)漏洞，讓敵人防不勝防，達到突破、重創(chuàng)的效果。

在多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的過程中，不僅要求導(dǎo)彈自身能獨立精確制導(dǎo)，還要求各枚導(dǎo)彈之間能夠以相同的飛行時間甚至相同的彈道傾角對目標(biāo)進行飽和攻擊，達到使整體作戰(zhàn)效率最大化的目的。因此，研究具有條件約束的多導(dǎo)彈協(xié)同導(dǎo)引律逐漸進入了制導(dǎo)律的研究領(lǐng)域。導(dǎo)彈的毀傷效果與導(dǎo)彈的脫靶量和末段的攻擊角度有關(guān)，帶有攻擊角度約束[2-3]的制導(dǎo)規(guī)律是迄今研究最為廣泛的一種多約束條件下的制導(dǎo)律。

目前對同時帶命中落角和攻擊時間約束的制導(dǎo)律研究相對較少。JIN-IK LEE[4]基于獨立導(dǎo)引方法設(shè)計了帶附加控制指令的閉環(huán)反饋回路，實現(xiàn)了多枚導(dǎo)彈以指定的攻擊角度同時擊中目標(biāo)。Song等[5]利用極大值原理推導(dǎo)了以時間最短為性能指標(biāo)的帶攻擊時間與終端角度約束的制導(dǎo)律。Harl. N.等[6]針對單枚導(dǎo)彈，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論和最優(yōu)控制理論方法建立了二階滑模制導(dǎo)律,提出了控制飛行時間和攔截角度的制導(dǎo)方法。Jung等[7]基于反演控制方法和偏置比例導(dǎo)引法進行設(shè)計，以彈目視線角的轉(zhuǎn)動角速率和彈著時間為控制參數(shù)，實現(xiàn)了三維空間對導(dǎo)彈攻擊時間和終端落角的精確控制。

目前對導(dǎo)彈攻擊角度進行約束的制導(dǎo)控制方法較為成熟，但通常給出的是二維平面的表達形式，而導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的過程是一個三維空間的運動。綜合考慮導(dǎo)彈的脫靶量、攻擊時間、攻擊角度和視場角限制[8]等約束的制導(dǎo)控制方法比較少，而其制導(dǎo)律更是少之又少。本文綜合考慮攻擊角度和攻擊時間約束、視場角約束和導(dǎo)彈自身過載約束等因素，采用了縱向通道與側(cè)向通道耦合的三維導(dǎo)引模型。基于李雅普諾夫方法推導(dǎo)了帶攻擊角度約束的零脫靶量三維制導(dǎo)律，基于此制導(dǎo)律設(shè)計了適用于多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的剩余時間誤差控制項以滿足攻擊時間約束，添加了視角限制修正項保證視場角一直處于最大視場角范圍內(nèi)。另外，基于Dubins路徑、彈道軌跡邊界提出含多約束條件下可指定攻擊時間的取值范圍。最后通過仿真驗證多約束條件下導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)制導(dǎo)律的有效性。

1 三維導(dǎo)引模型

為簡化問題做以下假設(shè)： 1)導(dǎo)彈和目標(biāo)均可視為質(zhì)點；2)導(dǎo)彈上所施加的加速度矢量僅改變速度的方向而不改變速度的大?。?)忽略導(dǎo)彈的動態(tài)特性。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的三維相對運動關(guān)系示意圖

下面的非線性微分方程，描述導(dǎo)彈和目標(biāo)在三維空間中的相對運動[9]。

(1)

其中，Vm為導(dǎo)彈速度的大小且為常值；R為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對距離；qz和qy分別為彈目視線(LOS)的高低角和方位角；ηz和ηy分別為導(dǎo)彈速度矢量相對彈目視線矢量的俯仰速度前置角和偏航速度前置角；λx，λy和λz分別為視線角速度矢量沿視線坐標(biāo)系各軸的分量；ay和az分別為導(dǎo)彈的俯仰平面和偏航平面的法向加速度，與導(dǎo)彈速度方向垂直，只改變速度的方向，不改變速度的大小。

2 攻擊角度約束下的零脫靶量制導(dǎo)律

下面設(shè)計三維制導(dǎo)律使導(dǎo)彈在滿足脫靶量為0的情況下以某種角度命中目標(biāo)。根據(jù)三維空間導(dǎo)彈目標(biāo)導(dǎo)引幾何關(guān)系，攻擊末端導(dǎo)彈的速度方向?qū)⑴c彈目視線方向重合，為了方便可以選擇視線傾角和視線偏角作為待指定的攻擊角度。對于導(dǎo)彈制導(dǎo)，視線角速率為0代表了理想狀態(tài)，可保證脫靶量為0；而使視線角誤差為0，可使末端落角滿足要求。應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論求解導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令，同時考慮脫靶量要求和末端落角要求，選取Lyapunov函數(shù)如下:

(2)

其中，k1,k2>0為可調(diào)參數(shù)；qzd和qyd為指定的落角和落向。

對式(1)中的第2、3式求導(dǎo)，對式(2)求導(dǎo)，可得Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(3)

(4)

(5)

(6)

3 攻擊時間控制

為了在三維空間中實現(xiàn)導(dǎo)彈在多約束條件下攻擊時間的閉環(huán)控制，本文設(shè)計了導(dǎo)彈在縱向通道仍采用原帶有指定攻擊角度約束的零脫靶量制導(dǎo)律，通過偏航平面內(nèi)的機動滿足指定攻擊時間的條件。由于導(dǎo)彈的攻擊時間主要取決于偏航平面的機動，為了簡化問題，認為導(dǎo)彈在偏航平面內(nèi)大幅度轉(zhuǎn)彎機動時，縱向通道的參數(shù)變化慢于偏航平面參數(shù)，因此把速度投影到偏航平面內(nèi)，參考文獻[10]，帶攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律作用下的導(dǎo)彈剩余攻擊時間估算公式為：

(7)

az1=az0+aε

(8)

為了使剩余時間誤差量εT收斂到0，選取

aε=-k3VmsinηycosηyεT

(9)

式中，k3>0為待調(diào)參數(shù)。選取初始航向速度前置角-90°<ηy<90°。式(8)中az0為帶角度約束的擴展比例導(dǎo)引項，對航向速度前置角ηy有收斂的作用。通常選取指定飛行時間大于原有導(dǎo)引律作用下的飛行時間即εT>0，時間誤差控制項aε有使ηy發(fā)散的趨勢，表明導(dǎo)彈將在橫航向做更大的機動來調(diào)整多余的剩余時間，當(dāng)剩余時間逐漸趨于0，時間誤差控制項aε逐漸趨于0，導(dǎo)彈幾乎在az0的作用下命中目標(biāo)。

4 考慮視場角限制

假設(shè)導(dǎo)彈在飛行過程中攻角很小且可忽略，導(dǎo)引頭視場角定義為彈體縱軸與視場的夾角，近似等于導(dǎo)彈的速度前置角，即縱向通道和偏航平面的速度前置角ηz和ηy。橫航向通道適度機動以調(diào)整剩余時間。受到導(dǎo)引頭視場角限制，導(dǎo)彈機動過程中可能會導(dǎo)致目標(biāo)超出視場導(dǎo)致導(dǎo)引頭丟失目標(biāo)。設(shè)計可控開關(guān)的修正指令[11]，當(dāng)視角超過設(shè)定的閾值時啟動，作為視角限制修正項，形式為：

aFOV=k4sgn(ηy)(ηy-α)/(ηy-ηmax)

(10)

其中，k4是增益常數(shù)；α為開關(guān)閾值且0<α<ηmax。綜上多約束條件下導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)制導(dǎo)律如下：

(11)

5 可指定攻擊時間范圍

為了實現(xiàn)多枚導(dǎo)彈同時對目標(biāo)進行飽和攻擊，采用基于獨立導(dǎo)引[12]的時間協(xié)同制導(dǎo)方法需要提前給各枚導(dǎo)彈指定攻擊時間，合理地指定攻擊時間范圍對于實現(xiàn)協(xié)同攻擊至關(guān)重要。為了簡化問題本文將三維彈道簡化到偏航平面內(nèi)以求得多約束條件下最短和最長彈道，進而獲得攻擊時間的可行域[Tdmin,Tdmax][13]。

圖2 導(dǎo)彈在偏航平面內(nèi)的Dubins最短彈道

Dubins[14]在1957年首次提出Dubins路徑，解決了同一平面內(nèi)給定帶方向兩點之間最短路徑的存在性問題。本文采用Dubins最短路徑方法，給出最短飛行彈道和飛行時間。Dubins最短路徑由兩段圓弧及它們之間的切線組成，圓弧的半徑滿足導(dǎo)彈最小轉(zhuǎn)彎飛行半徑，最短的路徑意味著最小的飛行時間，由圖2得到最短路徑的公式[15]。

smin=Rmin(θ1+θ2)+a

(12)

其中，Rmin=V2/amax；

θ2=θ1+ψV1-ψV2；

參考文獻[8]，帶命中落角約束、最大視場角約束和過載約束的最長彈道包括：以最大過載飛行的初始轉(zhuǎn)彎段、以最大視場角飛行的中段和按指定落角以圓周導(dǎo)引律[16]轉(zhuǎn)入目標(biāo)點的末段，采用圓周導(dǎo)引律可以使視場角在接近目標(biāo)的過程中逐漸趨于0。彈道示意圖如圖3所示：

圖3 導(dǎo)彈在偏航平面內(nèi)多約束條件下的最長彈道

設(shè)O1T長度為l，則

(13)

如圖3所示，可知

(14)

進而得到

(15)

由圖中關(guān)系sinηmax=l3/(2R′)，進一步得到

(16)

綜上，攻擊時間可指定的范圍為

(17)

6 數(shù)學(xué)仿真

1)單枚導(dǎo)彈多種制導(dǎo)律仿真

導(dǎo)彈采用3種制導(dǎo)律攻擊目標(biāo)并對仿真結(jié)果進行對比：①經(jīng)典的三維比例導(dǎo)引律[9]；②第2節(jié)中基于李雅普諾夫方法的指定攻擊角度的三維偏置比例導(dǎo)引律；③本文提出的多約束制導(dǎo)律。仿真步長取0.01s，假定目標(biāo)位于坐標(biāo)原點處，導(dǎo)引頭視場角范圍[-45°,45°],其余導(dǎo)彈的仿真參數(shù)如表1所示，取g=9.8m/s2。仿真參數(shù)N1=N2=3.3，N3=10，ρ1=550，ρ2=550，k1=k2=550，k3=10，k4=20，α=30，根據(jù)表1的導(dǎo)彈飛行時間范圍，選取攻擊時間為42s，圖4和5給出3種制導(dǎo)律的三維彈道曲線、視線角和速度前置角的仿真結(jié)果。

表1 導(dǎo)彈的初始參數(shù)、指定攻擊角度

圖4 采用不同導(dǎo)引律的導(dǎo)彈三維彈道軌跡

圖5中細實線為本文方法。俯仰平面運動運動幾乎不受攻擊時間影響，按指定落角到目標(biāo)。偏航平面中速度前置偏角與比例導(dǎo)引律和指定攻擊角度的偏置比例導(dǎo)引律相比差別很大，導(dǎo)彈起初偏離目標(biāo)航向繞彎以調(diào)整飛行時間，當(dāng)彈道足夠彎曲，剩余時間誤差趨于0，導(dǎo)彈機動越來越小時，將以指定攻擊角度飛向目標(biāo)。另外，從圖5(d)中可以看出帶視場角限制的導(dǎo)引律在超出視場范圍時起到了修正作用，可以保證視場角在導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)。

2)多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊仿真

下面驗證設(shè)計的多約束條件下協(xié)同制導(dǎo)律在多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊中的效果。假設(shè)共有4枚導(dǎo)彈參與協(xié)同攻擊，為了保證攻擊效果，4枚導(dǎo)彈從不同方位以相同的攻擊傾角、不同的攻擊偏角同時攻擊位于坐標(biāo)原點的目標(biāo)，指定攻擊時間為42s。各枚導(dǎo)彈的仿真參數(shù)如表2所示。

圖5 采用不同導(dǎo)引律的視線角和速度前置角仿真曲線

表2 導(dǎo)彈初始參數(shù)、指定攻擊角度和指定時間范圍

圖6 多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的三維彈道軌跡

可以看出，提出的方法保證了多枚導(dǎo)彈以指定的攻擊傾角和攻擊偏角命中目標(biāo)，最終多枚導(dǎo)彈實現(xiàn)了指定攻擊角度的齊射攻擊。另外，如圖7中導(dǎo)彈1和2的速度前置偏角曲線所示，導(dǎo)引過程中視角限制修正項使目標(biāo)始終不超出導(dǎo)引頭的視場范圍。

7 結(jié)論

基于獨立導(dǎo)引方法，對多約束條件下的多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊問題進行了研究，設(shè)計了綜合考慮脫靶量、攻擊時間、攻擊角度和視場角限制等約束條件的三維協(xié)同制導(dǎo)律，為每枚導(dǎo)彈指定相應(yīng)的期望約束能夠使多枚導(dǎo)彈幾乎同時從不同方向以期望落角精確命中目標(biāo)，能夠滿足未來戰(zhàn)場上的多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)需求。另外，本文協(xié)同制導(dǎo)律主要針對靜止、低速移動目標(biāo)進行設(shè)計，如何將本方法應(yīng)用于打擊機動目標(biāo)的協(xié)同攻擊、以及打擊需考慮高度和地形約束的陸上固定目標(biāo)等有待進一步研究。

圖7 多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的視線角和速度前置角仿真曲線