基于關(guān)機點狀態(tài)的航天器落點計算及精度分析

聶 凱 曾科軍 左玉東

中國人民解放軍91550部隊，大連 116023

航天器軌跡可分為主動段、自由段和再入段，其落區(qū)一般為漫漫荒漠或大海，惡劣的條件可能導(dǎo)致無法在自由段和再入段布設(shè)完備的測控系統(tǒng)，進而導(dǎo)致全程測量數(shù)據(jù)不完備，無法通過測量數(shù)據(jù)事后精確計算落點[1]。而航天器在首區(qū)測控數(shù)據(jù)較全，可以精確計算關(guān)機點狀態(tài)信息，同時再入段不做機動的航天器關(guān)機后靠慣性飛行，動力學(xué)模型可以精確建立，通過外推可以求解后續(xù)軌跡參數(shù)和落點位置，能夠彌補因測量數(shù)據(jù)不完備，導(dǎo)致落點計算精度較低的問題[2]。

關(guān)于落點計算，研究較多的是實時落點預(yù)報，為航天器安全控制和回收服務(wù)。實時落點預(yù)報受計算速度和內(nèi)存容量的限制，一般采用簡化的模型，即用橢圓軌道方程加地球扁率修正的方法，文獻[3-5]對此進行了深入研究，該方法計算簡單，但計算精度有待提高。隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展，計算速度和內(nèi)存容量提升很快，對航天器進行詳細的受力分析，考慮大氣動力影響，對動力學(xué)方程進行數(shù)值積分求解或濾波外推的方法也被大量研究，但航天器飛行軌跡的非線性會引入一定的誤差[6-9]。國內(nèi)外學(xué)者也嘗試利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局和最佳逼近能力，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等人工智能工具對動力學(xué)方程進行逼近來預(yù)報落點，但其逼近精度取決于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和訓(xùn)練方法[10-11]。

在落點無法實地測量或全程測量數(shù)據(jù)不完備的情況下，事后精確計算落點位置也很必要。事后計算落點受實時性和計算容量的限制小，可以建立精確的動力學(xué)模型，基于關(guān)機點狀態(tài)進行數(shù)值積分可以求解后續(xù)軌跡參數(shù)和落點位置。Runge-Kutta法是一種應(yīng)用廣泛的單步算法，但計算效率較低，可以用來積分起步。Admas-Cowell相結(jié)合的方法，可以減少誤差[12]。

針對上述情況，本文在建立自由段和再入段動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用復(fù)合數(shù)值積分法對動力學(xué)方程進行求解，并通過誤差系數(shù)對落點計算精度進行分析。

1 落點計算原理

在自由段航天器只在地球引力作用下運動，再入段與自由段的差別僅僅是增加了空氣阻力的影響，運動學(xué)方程如式(1)所示。

(1)

空氣阻力XD

(2)

(3)

需要引入J2項，J2=0.00108263，Re=6378140，u=3.986005x1014，φ為地心緯度，其中，

(4)

(5)

(6)

(7)

2 求解航天器動力學(xué)微分方程

利用航天器動力學(xué)模型，進行航天器軌跡參數(shù)的外推，需要求解航天器動力學(xué)微分方程。這里我們采用復(fù)合數(shù)值積分法進行計算，即使用單步法和定長多步法相結(jié)合，單步法使用四階Runge-Kutta法對積分的過程進行起步。在使用定步長方法積分速度時通常使用Adams方法，積分位置時選擇Cowell方法(KSG方法在積分位置時要引入速度項，會引起誤差的積累)。將2種方法聯(lián)合使用，稱為Adams-Cowell方法，作為本文的數(shù)值積分方法。Adams和Cowell方法，都使用預(yù)測-校正格式，用8階顯式公式提供預(yù)測值，9階隱式公式提供校正值。校正公式比預(yù)測公式高一階，既可以提高精度，又可以提高方法的數(shù)值穩(wěn)定性。

2.1 Adams方法

Adams方法的i階顯式公式為：

(8)

其中，cj與步長h和fn無關(guān)，其值見表1[13]，限于篇幅，第8階系數(shù)沒有列出，表2～4與此情況類似。

表1 cj的值

(9)

表的值

i+1階校正公式可記為：

(10)

2.2 Cowell積分器

Cowell積分器的i階預(yù)報(顯式)公式為：

(11)

其中，常數(shù)cj的值見表3[13]。

表3 cj的值

(12)

表的值

類似于Adams方法，i+1階校正公式可記為：

(13)

3 誤差系數(shù)矩陣

對于再入段不做機動的航天器，主動段關(guān)機點的狀態(tài)參數(shù)和再入段大氣阻力決定了飛行器的落點位置。通常用落點偏差表示航天器的精度，它分為縱向偏差L和橫向偏差H，縱向偏差又稱射程偏差。誤差系數(shù)指關(guān)機點參數(shù)和空氣密度有偏差量時所造成的射程和橫向偏差的大小，各個誤差系數(shù)組成的矩陣稱為誤差系數(shù)矩陣，本文利用誤差系數(shù)矩陣反映關(guān)機點參數(shù)(xk,yk,zk,Vxk,Vyk,Vzk)和再入段空氣密度ρk對落點估計的影響程度，tk為飛行時間，誤差系數(shù)矩陣表達式為[14-15]：

(14)

4 仿真驗證

4.1 圓概率偏差

圓概率偏差(CEP，circular error probability)能直觀反映目標關(guān)機點及落點的估計誤差，并利用誤差橢圓面積估計誤差的大小，CEP是指中心位于估計均值，實際估計值以一定概率落在圓內(nèi)的圓的等效半徑[17-18]。

4.2 計算與仿真分析

假定目標為某航天器航程3600km，發(fā)射點參數(shù)分別為T0=0s；L0=110E；B0=35N；h0=0m；射向A0=250°，主動段關(guān)機時間為290s。同時其它各次試驗發(fā)射原點、射向、飛行時間和距離與上述參數(shù)基本相同。采用8階Runge-Kutta法、復(fù)合積分法進行計算，并與實際測量落點作差，落點偏差結(jié)果如表5所示。

表5 落點偏差計算結(jié)果

從表5可以看出，同樣階數(shù)的Runge-Kutta法和復(fù)合積分法，復(fù)合積分法的精度較高，主要是Adams-Cowell法的精度高于Runge-Kutta法。同時對完成整個積分過程的時間進行了統(tǒng)計，復(fù)合積分法的平均用時25.3s，8階Runge-Kutta法的平均用時56.7s，可見復(fù)合積分法的計算效率高，因為Runge-Kutta法每計算一個點都需要進行多次右函數(shù)的計算，消耗了時間。

同時，基于標準模板法對2種方法進行1000次Monte Carlo仿真，仿真步長為0.05s，得到CEP結(jié)果，復(fù)合積分法的CEP=1.658km，8階Runge-Kutta法的CEP=1.974km。

基于式(14)，設(shè)速度的初始偏差量為0.02m/s，然后以0.001m/s的步長遞增至0.05m/s，其它參數(shù)保持不變；設(shè)位置的初始偏差量為100m，然后以1m的步長遞增至400m，其它參數(shù)保持不變；設(shè)飛行時間的初始偏差量為1s，然后以0.1s的步長遞增至4s，其它參數(shù)保持不變；設(shè)空氣密度的初始偏差為5%，然后以1%的步長遞增至20%，其它參數(shù)保持不變，求解誤差系數(shù)隨各參數(shù)的變化，變化趨勢如圖1～4所示。

圖1 速度偏差量對縱向偏差的影響

圖2 位置偏差量對縱向偏差的影響

圖3 飛行時間偏差量對縱向偏差的影響

圖4 空氣密度偏差量對縱向偏差的影響

從圖1～4可見，關(guān)機點速度估計對于落點精度的影響較大，且二者成正比關(guān)系；關(guān)機點位置估計對于落點位置的影響程度不大；飛行時間越長落點位置偏差越大；空氣密度偏差對落點位置影響較大，在計算落點位置時應(yīng)采用盡量精確的空氣密度和阻力系數(shù)矩陣。

5 結(jié)論

采用復(fù)合數(shù)值積分法對自由段和再入段的動力學(xué)方程進行了求解，通過誤差系數(shù)矩陣對落點計算精度進行了計算分析。實際數(shù)據(jù)計算和仿真結(jié)果表明，復(fù)合積分法采用四階Runge-Kutta法對積分的過程進行起步，采用Adams-Cowell法進行速度和位置積分，這樣既保證了積分能夠起步，又通過Adams-Cowell法提高了積分的精度和速度，且校正公式比預(yù)測公式高一階，能提高方法的數(shù)值穩(wěn)定性。同時通過誤差系數(shù)矩陣對關(guān)機點狀態(tài)和空氣密度誤差對落點精度的影響進行了計算分析，找出了對落點精度影響的關(guān)鍵因素，能用于航天器精度評估與鑒定。下一步將使動力學(xué)模型更精確，尤其是再入段的空氣阻力系數(shù)矩陣。