一種基于二階滑模控制理論的協(xié)同導(dǎo)引律*

崔 寧 王 博 紀(jì) 毅

1. 珠海城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，珠海 519090 2. 吉林大學(xué)珠海學(xué)院機(jī)械與汽車(chē)工程系，珠海 519041 3. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081

無(wú)人機(jī)作為新興航空器，廣泛應(yīng)用于戰(zhàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)和海關(guān)稽查、森林防火、橋梁檢修、地勢(shì)勘測(cè)、災(zāi)害救援等任務(wù)中。在諸多無(wú)人機(jī)工程應(yīng)用實(shí)際情景中，很多條件下單一無(wú)人機(jī)無(wú)法完成任務(wù)，如：多無(wú)人機(jī)牽引。受自身能量、載荷及其他因素限制，單一無(wú)人機(jī)承重有限，對(duì)于較重的物體，只能采用協(xié)同牽引的方式，由多個(gè)無(wú)人機(jī)一起完成。在此情況下，多無(wú)人機(jī)協(xié)同作業(yè)是一種必要的且行之有效的手段。

無(wú)人機(jī)協(xié)同導(dǎo)引是無(wú)人機(jī)協(xié)同作業(yè)的基礎(chǔ)，其基本要素為對(duì)各無(wú)人機(jī)飛行時(shí)間的規(guī)劃與控制，即各無(wú)人機(jī)在期望時(shí)刻同時(shí)飛行至既定區(qū)域，完成既定任務(wù)。如何使飛行時(shí)間收斂于期望時(shí)間，如何規(guī)劃期望飛行時(shí)間，是無(wú)人機(jī)協(xié)同制導(dǎo)的2個(gè)重要問(wèn)題。針對(duì)以上2個(gè)問(wèn)題，在已公開(kāi)的文獻(xiàn)中已有很多研究。針對(duì)第1個(gè)問(wèn)題Jeon等人[1]基于經(jīng)典比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)導(dǎo)引律，利用最優(yōu)控制理論引入剩余飛行時(shí)間估測(cè)項(xiàng)，通過(guò)控制剩余飛行時(shí)間估測(cè)與期望剩余飛行時(shí)間的差值實(shí)現(xiàn)時(shí)間的約束；Kumar等人[2]提出了較為精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì)式，并利用經(jīng)典滑動(dòng)模態(tài)控制理論約束飛行時(shí)間；在此基礎(chǔ)上，Yang等人[3]對(duì)剩余飛行時(shí)間估計(jì)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立了一種新型協(xié)同導(dǎo)引模型，其特點(diǎn)為在系統(tǒng)狀態(tài)方程中，各系統(tǒng)狀態(tài)量均對(duì)橫向飛行距離求導(dǎo)數(shù)，從而將已用時(shí)間以函數(shù)形式表示；Zhang等人[4]在大落角條件下，設(shè)計(jì)了飛時(shí)約束制導(dǎo)律等。針對(duì)第2個(gè)問(wèn)題，McLain等人[5]提出了協(xié)調(diào)變量和協(xié)調(diào)函數(shù)的概念，并將其應(yīng)用于多機(jī)協(xié)同、路徑歸劃和智能避障等任務(wù)中；基于此概念，Beard等人[6]設(shè)計(jì)了無(wú)人機(jī)分布式協(xié)同導(dǎo)引結(jié)構(gòu)；在文獻(xiàn)[1]和[6]的基礎(chǔ)上，趙世鈺等人[7-8]設(shè)計(jì)了雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是上層為基于協(xié)調(diào)變量與協(xié)調(diào)函數(shù)的飛時(shí)協(xié)調(diào)一致算法，下層為飛行時(shí)間約束導(dǎo)引律，在導(dǎo)引過(guò)程中，各無(wú)人機(jī)實(shí)時(shí)溝通，實(shí)時(shí)解算期望剩余飛行時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)協(xié)同導(dǎo)引。

設(shè)計(jì)一種通用的協(xié)同導(dǎo)引算法，該算法利用二階滑?？刂评碚?，使剩余時(shí)間估計(jì)曲線在有限時(shí)間內(nèi)收斂于期望剩余飛行時(shí)間曲線。在此基礎(chǔ)上利用文獻(xiàn)[7]提出的雙層協(xié)同控制結(jié)構(gòu)對(duì)期望剩余飛行時(shí)間進(jìn)行規(guī)劃。

1 問(wèn)題提出與數(shù)學(xué)模型建立

1.1 無(wú)人機(jī)導(dǎo)引的物理模型與數(shù)學(xué)模型

首先考慮對(duì)單一無(wú)人機(jī)的導(dǎo)引律進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)，將無(wú)人機(jī)視為一質(zhì)點(diǎn)后，在二維平面內(nèi)，其物理模型如圖1所示。

圖1 無(wú)人機(jī)導(dǎo)引的平面物理模型

圖中，M(M0)為無(wú)人機(jī)(初始)位置，T為指定的航跡目標(biāo)點(diǎn)，V為無(wú)人機(jī)的速度模量，A為無(wú)人機(jī)的加速度模量，r為無(wú)人機(jī)與目標(biāo)航跡點(diǎn)的距離，λ(λ0)為(初始)視線角，γ(γ0)為(初始)速度角。

由圖1建立無(wú)人機(jī)導(dǎo)引的數(shù)學(xué)模型，如下式所示：

(1)

為便于后續(xù)解算，應(yīng)將已用飛行時(shí)間t在數(shù)學(xué)模型中解放出來(lái)。因而，可使系統(tǒng)狀態(tài)量對(duì)橫向距離求導(dǎo)數(shù)。對(duì)任意變量ζ，有

(2)

則式(1)可改寫(xiě)為

(3)

如此，數(shù)學(xué)模型建立完畢。

1.2 剩余飛行時(shí)間估計(jì)式

在無(wú)人機(jī)協(xié)同導(dǎo)引中，剩余飛行時(shí)間的估計(jì)至關(guān)重要，其值是否準(zhǔn)確往往決定了協(xié)同效果是否優(yōu)異。文獻(xiàn)[3]提出了一種較為精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì)式

(4)

式中，σ=γ-λ，σf=γd-λ

在小角度假設(shè)條件下，式(4)略去高階無(wú)窮小項(xiàng)，得

(5)

式(5)對(duì)橫向距離求導(dǎo)可得

(6)

式(6)可改寫(xiě)為

(7)

至此，得到了較為精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì)式。

2 基于二階滑模理論的導(dǎo)引律

為保證飛行時(shí)間為期望飛行時(shí)間，根據(jù)滑?？刂评碚?，可設(shè)計(jì)滑模面為

s=tgo+telap-Td

(8)

式中，telap為已用時(shí)間，Td為期望總飛行時(shí)間。由上式，可設(shè)計(jì)制導(dǎo)律為

(9)

式中，k1>0，k2>0，p>2為制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)參數(shù)。

定理1：考慮系統(tǒng)式(3)、剩余飛行時(shí)間估計(jì)式(5)和(7)，制導(dǎo)律式(9)可使滑模面在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。

證明：首先引入引理1、假設(shè)1和引理2。

引理1[9]：假設(shè)定義于U∈n上的V(x)是一個(gè)C1型光滑正定函數(shù)。對(duì)于任意的α1>0和α2∈(0,1)，存在一個(gè)定義在區(qū)間U∈R上的函數(shù)滿(mǎn)足

(10)

即，存在一個(gè)域U0∈n使得任何從域中開(kāi)始的函數(shù)V(x)在有限時(shí)間Treach內(nèi)滿(mǎn)足V(x)≡0。且Treach可由式(11)得出：

(11)

其中，V(x0)是變量V(x)的初始值。

假設(shè)1[10]：由無(wú)人機(jī)的物理特性，無(wú)人機(jī)至航跡點(diǎn)的距離存在最大值與最小值。其最大值為初始距離，最小值為無(wú)人機(jī)翼展半徑。

式(8)對(duì)橫向距離求導(dǎo)，得

(12)

將式(9)帶入(12)，得

(13)

引入2個(gè)中間變量

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo)，得

(15)

之后，根據(jù)參數(shù)K2的正負(fù)性，為證明以上系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性，分3種情況討論：

1)當(dāng)K2>0時(shí)，考慮以下Lyapunov函數(shù)：

(16)

由式(16)可知V為連續(xù)函數(shù)且恒大于或等于0，因而函數(shù)V可用來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)式(16)求導(dǎo)，有

(17)

(18)

(19)

其中，

(20)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣Q正定。

將Lyapunov函數(shù)改寫(xiě)成以下矩陣形式

V=ωTPω

(21)

其中，

(22)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣P正定且V徑向無(wú)界，且滿(mǎn)足

(23)

(24)

式中，由p>2可知(2p-3)/(p-1)∈(0,0.5)，由引理1可知系統(tǒng)狀態(tài)量將在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且收斂時(shí)間為

(25)

2)當(dāng)K2<0時(shí)，考慮以下Lyapunov函數(shù)：

(26)

由式(26)可知V為連續(xù)函數(shù)且恒大于或等于0，因而函數(shù)V可用來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

具體證明方法與情況1類(lèi)似，這里不再贅述。經(jīng)理論證明，可得系統(tǒng)狀態(tài)量將在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且收斂時(shí)間為

(27)

3)當(dāng)K2=0時(shí)，選取Lyapunov函數(shù)式(16)和(26)，并分別求導(dǎo)數(shù)，其值均為0。即證得K2=0時(shí)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒(méi)有影響。證畢。

3 基于協(xié)調(diào)變量的雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)

由趙世鈺等人提出的雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)，是一種行之有效的協(xié)同制導(dǎo)方式，其特點(diǎn)為根據(jù)飛行過(guò)程中各無(wú)人機(jī)的剩余飛行時(shí)間信息，實(shí)時(shí)解算出期望剩余飛行時(shí)間，無(wú)人機(jī)起飛前無(wú)需裝訂預(yù)期飛行時(shí)間信息，從而避免了預(yù)期飛行時(shí)間設(shè)計(jì)過(guò)程中的不足之處。

雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖2所示：

圖2 雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖

在雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，協(xié)調(diào)算法位于頂層，用來(lái)協(xié)調(diào)時(shí)間及其他協(xié)同信息，各無(wú)人機(jī)的制導(dǎo)律位于底層，獨(dú)立控制無(wú)人機(jī)的飛行軌跡。在協(xié)同制導(dǎo)過(guò)程中，底層導(dǎo)引律將其估算的剩余飛行時(shí)間上傳至協(xié)調(diào)云端，由云端利用協(xié)同算法實(shí)時(shí)統(tǒng)一解算最優(yōu)期望剩余飛時(shí)，并將其實(shí)時(shí)下載至各無(wú)人機(jī)處理器，從而完成多無(wú)人機(jī)在飛行時(shí)間上的協(xié)同。

協(xié)同制導(dǎo)律為雙層制導(dǎo)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，很大程度上決定了該制導(dǎo)結(jié)構(gòu)的性能。根據(jù)雙層制導(dǎo)結(jié)構(gòu)的特性，協(xié)同導(dǎo)引律應(yīng)包含協(xié)調(diào)變量可控項(xiàng)，具體指預(yù)期剩余飛行時(shí)間可控項(xiàng)。為便于仿真研究，本文中，取預(yù)期剩余飛行時(shí)間為各無(wú)人機(jī)剩余飛行時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，即

(28)

4 數(shù)學(xué)仿真結(jié)果

4.1 飛行時(shí)間約束導(dǎo)引律性能驗(yàn)證

考慮制導(dǎo)律式(9)，仿真參數(shù)如表1所示。

導(dǎo)引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

表1 各裝訂諸元的初始值

仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 仿真結(jié)果

由圖3(a)可以看出，導(dǎo)引律式(10)可將無(wú)人機(jī)精確導(dǎo)航至指定地點(diǎn)。由圖3(b) 可以看出，無(wú)人機(jī)到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)間嚴(yán)格收斂于期望飛行時(shí)間。

值得注意的是，在本導(dǎo)引律或其他協(xié)同導(dǎo)引律中，期望飛行時(shí)間具有一定的范圍，并不能隨意選取。另外，導(dǎo)引律參數(shù)對(duì)導(dǎo)引效果影響較大，通常根據(jù)工程或仿真經(jīng)驗(yàn)選取，還可以通過(guò)參數(shù)自適應(yīng)律進(jìn)行設(shè)計(jì)。

4.2 裝訂期望飛時(shí)的協(xié)同導(dǎo)引律性能驗(yàn)證

考慮制導(dǎo)律式(10)，仿真參數(shù)如表2所示：

表2 各裝訂諸元的初始值

導(dǎo)引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結(jié)果如圖4所示：

圖4 仿真結(jié)果

由圖4(a)可以看出，3駕無(wú)人機(jī)均可精確到達(dá)預(yù)期航跡點(diǎn)。由圖4(b)可看出，剩余飛行時(shí)間估計(jì)曲線嚴(yán)格收斂于期望飛行時(shí)間。

4.3 利用雙層協(xié)調(diào)制導(dǎo)結(jié)構(gòu)的制導(dǎo)律性能驗(yàn)證

考慮制導(dǎo)律式(10)和協(xié)調(diào)一致算法式(28)，仿真參數(shù)如表3所示。

導(dǎo)引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結(jié)果如圖5(a)所示：

圖5 仿真結(jié)果

由圖5(a)可以看出，3駕無(wú)人機(jī)均可精確到達(dá)預(yù)期點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)同時(shí)到達(dá)的目標(biāo)，距預(yù)期點(diǎn)較近的無(wú)人機(jī)2采用“彎道繞行”的方式增加了飛行距離與飛行時(shí)間。由圖5(b)可以看出，3條剩余飛行時(shí)間軌跡均向預(yù)期剩余飛行時(shí)間軌跡靠攏。由此，進(jìn)一步驗(yàn)證了該協(xié)同導(dǎo)引體制的適用性。但從圖5(b)可以看出，該算法的收斂時(shí)間較長(zhǎng)，在后續(xù)的研究中應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用于多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的協(xié)同導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律具有以下優(yōu)勢(shì)：1)時(shí)空信息精確，可使多無(wú)人機(jī)在同一時(shí)刻精確到達(dá)指定區(qū)域；2.)適用性強(qiáng)，稍加改進(jìn)后既可適用于雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)；3)可為后續(xù)無(wú)人機(jī)協(xié)同控制與時(shí)間調(diào)制的研究提供借鑒。