考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法研究

周姜濱 葉 松 張華明

北京航天自動控制研究所，北京 100854

空間飛行器因為星箭分離或長時間飛行等原因會產(chǎn)生一定的軌道偏差，為了能夠順利完成后續(xù)任務(wù)，需要進行軌道修正來消除這一偏差[1]。經(jīng)典的Hohmann轉(zhuǎn)移、雙橢圓轉(zhuǎn)移及蘭伯特變軌等軌道轉(zhuǎn)移與修正理論和方法[2-4]都要求滿足二體假設(shè)條件，并假設(shè)發(fā)動機推力充分大，在瞬間就能獲得所需要的速度增量，因此難以直接應(yīng)用于工程實踐之中。田野[5]等提出了基于軌道方程線性化的中段飛行軌道修正方法，采用對線性化方程增加J2修正項的方法，減小軌道攝動引起的終端偏差。任金磊[6]等提出了基于速度增益制導(dǎo)的大橢圓轉(zhuǎn)移中段制導(dǎo)方法，通過優(yōu)化修正時間設(shè)計了終端約束小、燃料消耗少的中段修正優(yōu)化軌道。

提出了一種考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法，考慮地球非球形引力及大氣阻力、日月引力和太陽光壓等攝動因素，將軌道修正問題轉(zhuǎn)換為二體假設(shè)條件下的蘭伯特變軌問題，通過迭代計算給出連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)指令，由地面站將制導(dǎo)指令上行至空間飛行器，空間飛行器接收并執(zhí)行該指令，實現(xiàn)軌道修正，并開展數(shù)學(xué)仿真驗證。

1 蘭伯特變軌問題

蘭伯特變軌可以描述為：給定空間飛行器初始時刻的位置矢量rc0和速度矢量vc0，目標點位置矢量rtf和速度矢量vtf，以及軌道轉(zhuǎn)移時間tf，確定作用在空間飛行器上的2次速度增量Δv1和Δv2。求解蘭伯特變軌問題其實就是求解Gauss問題。Gauss問題的定義如下：給定2個位置矢量r1和r2，以及空間飛行器從r1運行到r2的飛行時間t和初始運動方向，求解空間飛行器在r1和r2處的速度矢量v1和v2。顯然，求解了Gauss問題，就解決了蘭伯特變軌問題[4]。

蘭伯特變軌過程如圖1所示，空間飛行器在初始時刻應(yīng)具有的速度為

圖1 蘭伯特變軌

到達目標點時刻的速度為

式中，a為橢圓轉(zhuǎn)移軌道的半長軸；θ為rc0至rtf的夾角。

橢圓轉(zhuǎn)移軌道的半長軸a可表示為

其中，

式中，c為空間飛行器初始時刻的位置至目標點的距離；λ是蘭伯特參數(shù)，為迭代變量，其取值范圍為-π<λ<π。

蘭伯特變軌所需要的時間為

其中，

蘭伯特變軌所需要的2個速度增量分別為

Δv1=v0-vc0
Δv2=vtf-vf

在計算中需先對蘭伯特參數(shù)λ迭代求解，得到最省燃料消耗時的λopt，然后計算出橢圓轉(zhuǎn)移軌道的半長軸a。

2 高精度軌道預(yù)報

空間飛行器軌道預(yù)報通常由解析法(如擬平均根數(shù)法)和數(shù)值積分法(如Cowell法)，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值積分法得到廣泛應(yīng)用。用J2000.0地心慣性坐標系中的位置和速度描述空間飛行器狀態(tài)，則其動力學(xué)模型的狀態(tài)向量微分方程可寫成[5]

其中，ax,ay,az為空間飛行器的加速度，有

式中，aC,aE,aD,aS,aL,aR分別表示控制力、地球引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓產(chǎn)生的加速度；aO為其他攝動加速度，此處將其忽略不計?？刂屏τ芍茖?dǎo)系統(tǒng)給出，其余可建立準確的數(shù)學(xué)模型，利用四階龍格-庫塔積分方法對上述微分方程進行數(shù)值積分計算，得到空間飛行器的位置速度，完成軌道預(yù)報。

下面分別對地球引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓加速度進行數(shù)學(xué)建模。

1)地球引力加速度

用完全正?；那蛑C函數(shù)表示的地球引力場位函數(shù)V可寫成

根據(jù)地球引力場位函數(shù)V即可得到地球引力加速度

2)大氣阻力加速度

大氣阻力加速度計算公式為

其中，CD為阻力系數(shù)，通常取2.2；SD為參考面積，m為質(zhì)量；ρ為大氣密度；v為相對于大氣的速度。

3)太陽引力加速度

太陽引力計算公式為

其中，GMS為太陽引力常數(shù)。

4)月球引力加速度

同太陽引力加速度，月球引力計算公式為

其中，GML為月球引力常數(shù)。

5)太陽光壓加速度

太陽光壓計算公式為

其中，CR為表面反射系數(shù)；SR/m為太陽光壓面質(zhì)比；ρSR為作用在距離太陽一個天文單位處單位面積黑體上的光壓力，一般取4.560×10-6N/m2。

3 考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法

蘭伯特變軌利用2個速度脈沖實現(xiàn)了在二體假設(shè)條件下的軌道修正，而在實際工程應(yīng)用中用于軌道修正的推力往往較小，需要連續(xù)作用，工作時間較長，不能近似為速度脈沖，另一方面，空間飛行器還會受到包括地球非球形引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓在內(nèi)的各種攝動力的作用，并不滿足理想的二體假設(shè)。為此，提出考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法，具體流程如圖2所示，相應(yīng)描述如下：

1)將軌道修正問題轉(zhuǎn)換為二體假設(shè)條件下的蘭伯特變軌問題，根據(jù)初始位置矢量、(虛擬)目標點位置矢量和飛行時間求解所需要的速度脈沖；

2)將該速度脈沖等效為連續(xù)推力；

3)考慮地球非球形引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓等攝動因素，計算在連續(xù)推力作用下空間飛行器的實際位置；

4)利用實際位置與目標點位置的偏差構(gòu)造新虛擬目標點，即虛擬目標點位置矢量減實際位置與目標點位置的偏差得到新虛擬目標點的位置矢量；

5)重復(fù)步驟1)～4)，計算至實際位置與目標點位置的偏差在允許范圍內(nèi)，給出連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)指令。

圖2 考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)流程

4 數(shù)學(xué)仿真與分析

為驗證提出的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法的有效性，開展了相應(yīng)的數(shù)學(xué)仿真驗證，圖3～7給出了某算例500次蒙特卡洛打靶數(shù)學(xué)仿真的計算結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看出該制導(dǎo)算法具有較高的制導(dǎo)精度，半長軸偏差的平均值為-4.529m，偏心率偏差的平均值為2.905×10-7，升交點赤經(jīng)偏差的平均值為-1.312×10-5(°)，軌道傾角偏差的平均值為-1.460×10-8(°)，近地點幅角偏差的平均值為-1.671×10-2(°)。

圖3 半長軸偏差

圖4 偏心率偏差

圖5 升交點赤經(jīng)偏差

圖6 軌道傾角偏差

圖7 近地點幅角偏差

5 結(jié)論

為了消除在軌空間飛行器軌道偏差，本文從工程應(yīng)用角度著眼提出了一種考慮攝動影響的連續(xù)推力軌道修正制導(dǎo)方法，該方法易于實現(xiàn)，仿真表明制導(dǎo)精度較高，能夠以上行制導(dǎo)指令的方式實現(xiàn)連續(xù)推力軌道修正，具有一定的實用價值。