基于改進(jìn)PID控制的三關(guān)節(jié)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤誤差研究

寧 煜

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000)

在機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展過程中，機(jī)械臂是應(yīng)用較為廣泛的自動(dòng)化裝置，在工業(yè)制造、太空、軍事及醫(yī)療領(lǐng)域都有其身影[1-2]。機(jī)械臂主要包括3個(gè)部分：1)機(jī)械主體；2)機(jī)械驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)；3)機(jī)械控制系統(tǒng)。其能夠替代手工業(yè)勞動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制、重復(fù)編程，不僅生產(chǎn)效率高，而且生產(chǎn)成本低。機(jī)械臂是機(jī)器人的一個(gè)分支，是當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的高科技設(shè)備，智能化程度較高，能夠?qū)崿F(xiàn)感知外界環(huán)境、發(fā)布指令和提供驅(qū)動(dòng)動(dòng)力等多種功能。在執(zhí)行復(fù)雜任務(wù)時(shí)，若控制系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定，就會(huì)導(dǎo)致不可預(yù)計(jì)的經(jīng)濟(jì)損失，因此研究機(jī)械臂穩(wěn)定的控制方法，對(duì)于促進(jìn)智能化發(fā)展具有重大意義。

機(jī)械臂控制系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜，必須設(shè)計(jì)出具有較強(qiáng)穩(wěn)定性的控制器才能完成末端關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的精確定位[2]。大量科研人員對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡的穩(wěn)定性控制展開了研究。例如：文獻(xiàn)[3]、[4]研究了欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂PID控制算法，創(chuàng)建機(jī)械臂平面動(dòng)力學(xué)模型，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)PID控制參數(shù)進(jìn)行整定，設(shè)計(jì)了改進(jìn)PID控制系統(tǒng)，給出了控制系統(tǒng)流程圖，通過仿真驗(yàn)證系統(tǒng)輸出的穩(wěn)定性，從而快速實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤。文獻(xiàn)[5]、[6]研究了機(jī)械臂智能控制與PID控制算法，采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制器，通過仿真驗(yàn)證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)的輸出精度，較好地實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤。但是，以往研究的機(jī)械臂關(guān)節(jié)在受到外界環(huán)境因素的影響時(shí)，其輸出軌跡與預(yù)期運(yùn)動(dòng)軌跡誤差較大。為此，對(duì)三關(guān)節(jié)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡采用改進(jìn)的單神經(jīng)元PID控制方法。在數(shù)學(xué)軟件Simulink中，對(duì)機(jī)械臂末端關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡輸出誤差進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與改進(jìn)前的控制方法進(jìn)行對(duì)比和分析，為降低機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡誤差研究提供了理論依據(jù)。

1 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型

本文以三關(guān)節(jié)機(jī)械臂為研究對(duì)象，其關(guān)節(jié)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂簡(jiǎn)圖

圖中：q1，q2，q3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的角位移；m1，m2，m3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的質(zhì)量；l1，l2，l3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的長(zhǎng)度；g為重力加速度。

采用拉格朗日方法，可以推導(dǎo)出三關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程式[7]為：

H(q)q′+C(q,q′)q′+F(q′)+G(q)+τd=τ

(1)

式中：H(q)為機(jī)械臂的慣性矩陣；C(q,q′)為機(jī)械臂的離心力和哥氏力組成的矩陣；G(q)為重力矢量；F(q′)為摩擦力矩陣；τ為控制力矩陣；τd為干擾矩陣。

2 機(jī)械臂改進(jìn)PID控制

2.1 PID控制

PID控制器采用比例、積分、微分計(jì)算出控制量進(jìn)行控制，其控制原理如圖2所示。

圖2 PID控制原理圖

理論輸入值r(t)與實(shí)際輸出值y(t)之間一定會(huì)有誤差e(t)，其方程式為：

e(t)=r(t)-y(t)

(2)

PID控制器通過對(duì)誤差的比例、積分及微分的控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行在線調(diào)節(jié)，其在線控制方程式[8]為：

(3)

式中：KP為比例系數(shù)；TI為積分時(shí)間常數(shù)；TD為微分時(shí)間常數(shù)。

2.2 微分跟蹤器

PID控制器采用微分跟蹤器，能夠輸出原始信號(hào)的最佳逼近。微分跟蹤器具有較強(qiáng)的抗外界干擾能力，無(wú)超調(diào)的跟蹤原始信號(hào)，其控制方程式[9]為：

(4)

式中：v(t)為噪聲位置信號(hào)；x1為跟蹤信號(hào)；R>0;a0,a1,b0,b1為大于等于零的實(shí)數(shù)；m，n為大于0的奇數(shù)，且m

當(dāng)a1=b1=0時(shí)，微分跟蹤器跟蹤控制方程式為：

(5)

2.3 單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器

單神經(jīng)元是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單位，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算方便且具有自適應(yīng)學(xué)習(xí)能力。單神經(jīng)元PID控制能夠克服傳統(tǒng)PID控制器不易在線實(shí)時(shí)整定參數(shù)的缺點(diǎn)，能夠?qū)?shù)時(shí)變、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制。單神經(jīng)元PID控制原理如圖3所示。

圖3 單神經(jīng)元PID控制原理圖

單神經(jīng)元控制器通過修改加權(quán)系數(shù)，從而完成自適應(yīng)、自組織功能。根據(jù)有監(jiān)督的Hebb學(xué)習(xí)規(guī)則來(lái)修改權(quán)系數(shù)，其控制算法方程式[10]為：

(6)

式中：x1(k)=e(k)；x2(k)=e(k)-e(k-1)；x3(k)=e(k)- 2e(k-1) +e(k-2)；k為單神經(jīng)元的比例系數(shù)，k>0。

學(xué)習(xí)算法方程式[10]為：

(7)

式中：z(k)=e(k)；ηI為積分學(xué)習(xí)速率；ηP為比例學(xué)習(xí)速率；ηD為微分學(xué)習(xí)速率。

單神經(jīng)元PID控制器采用增量式控制方式，其控制算法[10]如下：

Δu(k)=u(k)-u(k-1)=KP[e(k)-e(k-1)]+KIe(k)+KD[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]

(8)

式中：KI為積分調(diào)節(jié)系數(shù)；KD為微分調(diào)節(jié)系數(shù)。

2.4 微分跟蹤器耦合單神經(jīng)元PID控制器

采用微分跟蹤器耦合單神經(jīng)元PID控制器是對(duì)傳統(tǒng)PID控制的改進(jìn)，其控制器的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制器結(jié)構(gòu)

輸入、輸出微分信號(hào)通過微分跟蹤器進(jìn)行濾波，采用單神經(jīng)元PID控制器對(duì)PID控制參數(shù)進(jìn)行整定，從而給出控制信號(hào)。傳統(tǒng)PID控制算法中，由于是全量輸出，導(dǎo)致每次輸出都與上一次輸出有關(guān)。為了減少誤差累積量，提高計(jì)算效率，對(duì)增量式PID控制器進(jìn)行改進(jìn)，采用微分器輸出的離散微分信號(hào)，如下所示：

Δu(k)=KP[e(k)-e(k-1)]+KIe(k)+KD[de(k)-de(k-1)]

(9)

假設(shè)：y(k)為微分器輸出位置信號(hào)，dy(k)為速度信號(hào)，v(k)為輸入信號(hào)，則：

de(k)=d[yd(k)-y(k)]=dyd(k)-dy(k)

(10)

采用微分器輸出微分信號(hào)，可以縮短采樣周期，降低系統(tǒng)輸出誤差。

3 誤差仿真及分析

三關(guān)節(jié)機(jī)械臂在執(zhí)行任務(wù)時(shí)，關(guān)節(jié)1的運(yùn)動(dòng)通過關(guān)節(jié)2傳遞到關(guān)節(jié)3，因此關(guān)節(jié)3運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的誤差相對(duì)最大。采用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)3運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤誤差進(jìn)行仿真，初始參數(shù)設(shè)置如下：機(jī)械臂關(guān)節(jié)期望運(yùn)動(dòng)軌跡為q3=cos(2πt)，初始角位移為q(0)=[0 0 0]T，外界干擾波形為τ1=10sin(2πt)，連桿的長(zhǎng)度為l1=l2=l3=1.0m，連桿的質(zhì)量為m1=m2=m3=1.0kg，重力加速度為g=10m/s2，仿真時(shí)間為t=4s。假設(shè)外界環(huán)境沒有干擾，采用PID控制器誤差仿真結(jié)果如圖5所示，采用改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制器誤差仿真結(jié)果如圖6所示。假設(shè)外界環(huán)境受到正弦波干擾，采用PID控制器誤差仿真結(jié)果如圖7所示，采用改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制器誤差仿真結(jié)果如圖8所示。

對(duì)比圖5、圖6可知，機(jī)械臂關(guān)節(jié)3在理想環(huán)境條件下，PID控制器產(chǎn)生的最大誤差為0.34×10-3rad，改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制器所產(chǎn)生的最大 誤差為0.22×10-3rad，二者跟蹤誤差大致相同。

圖5 無(wú)干擾時(shí)PID控制器輸出誤差

圖6 無(wú)干擾時(shí)改進(jìn)PID控制器輸出誤差

圖7 有干擾時(shí)PID控制器輸出誤差

圖8 有干擾時(shí)改進(jìn)PID控制器輸出誤差

對(duì)比圖7、圖8可知，機(jī)械臂關(guān)節(jié)3在受到正弦波干擾時(shí)，PID控制器產(chǎn)生的最大誤差為0.76×10-3rad，改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制器所產(chǎn)生的最大誤差為0.22×10-3rad，二者跟蹤誤差相差較大。對(duì)比誤差跟蹤結(jié)果可知，采用改進(jìn)的單神經(jīng)元PID控制方法能夠抵抗外界環(huán)境因素的干擾，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)定性較好，因此可以提高機(jī)械臂末端執(zhí)行器的跟蹤精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)外界環(huán)境對(duì)機(jī)械臂末端關(guān)節(jié)跟蹤控制的干擾，采用了改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制方法，考慮到傳統(tǒng)PID控制方法不能抑制系統(tǒng)的抖動(dòng)現(xiàn)象，將抑制外界環(huán)境干擾因素作為控制目標(biāo)，在PID控制方法的基礎(chǔ)上，增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和微分控制器，使系統(tǒng)輸出信號(hào)更加穩(wěn)定，從而降低機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤誤差。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，改進(jìn)單神經(jīng)元PID控制方法具有很強(qiáng)的魯棒性和控制精度，有效抑制了外界波形對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡的干擾。