數(shù)學(xué)智理課堂的探尋與建構(gòu)

考察數(shù)學(xué)的誕生與發(fā)展，以古希臘數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》為代表的西方數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實證、邏輯、理性，以我國古代第一部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》為代表的東方數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實用、均衡、相補(bǔ)。東西方的文化色彩讓數(shù)學(xué)本身的發(fā)展具有內(nèi)在的豐富性，充滿智慧。直面當(dāng)下，新中國成立以來的小學(xué)數(shù)學(xué)教育取得了一些成就，但存在重分輕人、重果輕因、重術(shù)輕道、重求真輕求善或求美的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)兒童具有觀察世界的數(shù)學(xué)眼光、科學(xué)研究的態(tài)度方法、嚴(yán)謹(jǐn)有序的思維方式、善于反思的理性精神、百折不撓的意志品質(zhì)，培育兒童的智慧與理性，真正通過數(shù)學(xué)教學(xué)來立德樹人。

數(shù)學(xué)思想的誕生發(fā)展、教學(xué)改革的興利剔弊、兒童培養(yǎng)的未來期許都落腳于數(shù)學(xué)教育的智慧與理性之中。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)智理課堂或可成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效路徑。

一、數(shù)學(xué)智理課堂的內(nèi)涵

“智”字從干、矢、口，本意為談兵論戰(zhàn)、思考謀略之意，引申為智慧、聰明、善于思考。智是對學(xué)習(xí)主體——兒童的概括要求，體現(xiàn)在兒童對外觀察世界、理解世界，對內(nèi)反省剖析、調(diào)整提升。

“智”是一種素養(yǎng)，通過以下“三力”來體現(xiàn)。理解力：即觀察、看懂、生疑，能在觀察世界的過程中領(lǐng)會其中的精髓，并在觀察的過程中生發(fā)疑問、提出問題。行動力：即激趣、剖析、解決，面對問題，能懷有盎然興趣，研究與剖析問題，不怕困難，解決問題。創(chuàng)造力：即探究、調(diào)整、創(chuàng)新，在解決問題的過程中深入探究、多方調(diào)整，獲得創(chuàng)新解決的方案。

“理”字從玉、里，本意是在作坊治玉，后指物質(zhì)本身的紋路、層次、事物的內(nèi)在本質(zhì)與規(guī)律，引申為數(shù)學(xué)的邏輯、次序和本質(zhì)。理是對教學(xué)對象——數(shù)學(xué)的概括和提煉。

西方理性主義認(rèn)為，理性是一種文化精神和普遍化力量，是宇宙存在的根基和內(nèi)在邏輯。理性的訴求需要教師具有大數(shù)學(xué)觀、高位的數(shù)學(xué)視野和對真善美的追求，即體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性，明曉數(shù)學(xué)表達(dá)的是一種真理；具備用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決實際問題的基本能力，明曉數(shù)學(xué)運(yùn)用是一種合理；能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，在解決問題、探究發(fā)現(xiàn)的過程中享受獲得的愉悅，感悟數(shù)學(xué)的魅力與美好。

對真善美的追求，成為數(shù)學(xué)教育的高境界與宏觀理念，值得教育教學(xué)者去追尋。為了追尋這樣的真善美，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注哪些“理”？以下“三理”需要在教學(xué)中關(guān)注：即數(shù)理、事理、學(xué)理。數(shù)理，指數(shù)學(xué)的原理，是所研究的數(shù)量關(guān)系與空間形式的思維形式、數(shù)學(xué)內(nèi)部的思想；事理，指事物的道理，是外部世界、萬事萬物的規(guī)律。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾用“數(shù)”來表達(dá)世間萬物，認(rèn)為萬物皆“數(shù)”，即用數(shù)理來表達(dá)事理；學(xué)理，指學(xué)習(xí)的規(guī)律，是兒童認(rèn)識世界、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與規(guī)律。三者互為相融，構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之理。

二、數(shù)學(xué)智理課堂的層次

智與理作為數(shù)學(xué)教學(xué)的兩端，教師應(yīng)允執(zhí)兩端，求中致和，承知入理，明理成智。具體表現(xiàn)在以下三個層次。

1.理孕智，智成理。

數(shù)學(xué)概念首先是人們在生產(chǎn)生活的過程中想象出來的，最簡單的自然數(shù)“1”，就是人們的想象與創(chuàng)造。“1”本身并不存在，被人們創(chuàng)造以后經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)展而表示成一個單位。從計數(shù)到測度，從有限到無限，凝練與閃耀著人類的智慧之光，是人類思想的神來之筆，正如《道德經(jīng)》言“道生一，一生二，二生三，三生萬物”從中可以感悟到“1”的創(chuàng)造是如此玄妙，以“道”字道出其玄虛之妙。

最基本的圖形“點”，按《幾何原本》中的說法，“點是沒有部分的”，除了位置應(yīng)該什么都沒有，按此定義，生活中是找不到點的，畫到紙上的點、眼中所見的點，其實是一個很小的面，但意識告訴我們，這是一個點。并以此開啟數(shù)學(xué)的發(fā)展——測量細(xì)針的一端到另一端，把針的一端看作點；測量A地到B地的距離，把A、B兩地看作點；測量地球到月球的距離，把地球與月球看作點……用存在于想象中的“點”進(jìn)行著純粹的思考。再由點的平移形成線，用筆畫出不是線的線去定義、操作生活中的線，由線的運(yùn)動形成面，由面的運(yùn)動形成體，圖形的結(jié)構(gòu)大廈在想象與推理中建立起來。

“1”與“點”這兩個數(shù)理中最基本的概念是想象出來的，建立于這兩個概念的數(shù)量關(guān)系、空間形式也是想象的結(jié)果，但伴隨想象的推理豐富而具有秩序，井井有條，絲絲入扣，一切都有了合理美妙的安排，最終構(gòu)成嚴(yán)謹(jǐn)、理性的數(shù)學(xué)體系。人類的智慧在此過程中孕育，逐漸形成嚴(yán)密的理性思想。

2.理生智，智促理。

明理能生智。對數(shù)理的深入理解能讓人生發(fā)智慧。例如：計算算式64＋72×8，采用先乘后加按步計算的方法，能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果，但如能清晰地理解數(shù)理，就會生發(fā)64＋9×8×8＝64＋9×64＝64×10＝640 的巧妙算法。在這個過程中，需要較好的數(shù)感、較高的口算水平以及對算理（乘法分配律）的深度理解和準(zhǔn)確把握。圖1所示的結(jié)構(gòu)體系圖，清晰地說明了思維過程中的明理生智。

圖1 思維過程中的明理生智

圖2 常規(guī)方法計算

再如：在求圖2所示的陰影部分的面積時，如果按照常規(guī)辦法，用梯形的面積去掉空白部分三角形的面積，得出（9＋14）×11÷2－9×11÷2，計算過程較繁復(fù)。如果細(xì)致觀察圖2，思考運(yùn)用算理則會發(fā)現(xiàn)，圖中三角形的高都相等，可以把陰影部分的兩個三角形轉(zhuǎn)化為一個大的三角形（如圖 3），直接得出 14×11÷2的結(jié)果。從中，我們可以感悟到明理生智的過程，即由各圖形面積計算的方法（知）——圖形間的聯(lián)系（理）——作出判斷、策略運(yùn)用（智）。

圖3 理智計算

明理能生智，智慧又進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)理的發(fā)展，這集中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的推理過程是有序而又自由的。誠如德國數(shù)學(xué)家康托爾所說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的充分自由?！庇兄刃虻淖杂?，就是人類智慧精神的集中體現(xiàn)，推動與促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

3.理化智，智轉(zhuǎn)理。

啟迪思維、培養(yǎng)智慧是學(xué)科任務(wù)。數(shù)學(xué)文化用于化人的角度是獨特的、理性的，帶著生動而深刻的意味。

例如：針對測量土豆等不規(guī)則物體的體積這一問題，課堂上常見的方法是在裝滿水的規(guī)則器皿中放入土豆等物體使水溢出，然后用等量替換的方法，將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為求溢出水的體積，即規(guī)則器皿的部分體積。這是一種物理方法，其簡單易行的過程只能求得不規(guī)則物體的體積數(shù)值。如果換成求地圖的面積，等積排水法就不一定適用了。

數(shù)學(xué)課堂需要有數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)。讓兒童通過物理方法直接獲知土豆的體積，這種教學(xué)只關(guān)注技巧，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該讓學(xué)生掌握這類問題的一般性數(shù)學(xué)方法——從土豆上切下一個單位正方體，稱出重量，再稱一下土豆的重量，用正比例的方法推算出土豆的體積。這樣的數(shù)學(xué)方法，能讓學(xué)生獲得一種單位意識的普適化啟示，即先“1”后數(shù)或先“1”后算。從單位“1”出發(fā)進(jìn)行的量的測度，可以涵蓋包括長度、面積、體積、角度、質(zhì)量、時間在內(nèi)的所有測度。

三、建構(gòu)智理課堂的四重維度

課堂教學(xué)追求的目標(biāo)，是從混沌中找出秩序，使經(jīng)驗升華為規(guī)律，將復(fù)雜還原為基本。而所有這些都是美的標(biāo)志，正如莊子云，“判天地之美，析萬物之理”。承知入理、明理成智的智理課堂，就是判數(shù)事之理，悟?qū)W習(xí)之美?？梢詮囊韵滤闹鼐S度建構(gòu)理智課堂：

首先，知—理。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程需要對知識，即荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾所說的“形式化的技巧”進(jìn)行知識解釋、分析內(nèi)容、理解概念。其次，志—理。學(xué)習(xí)的本質(zhì)是有目的、有意志的心理活動，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)，不怕困難、勇于探究、合作共進(jìn)。

再次，至—理。學(xué)習(xí)到達(dá)理想彼岸并不能通過教師的一言堂，而是授人以漁，注重學(xué)習(xí)方法、關(guān)注學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)“吾愛吾師，吾更愛真理”的科學(xué)態(tài)度、科學(xué)方法、追求真理、崇尚科學(xué)的品質(zhì)。

最后，智—理。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終要培養(yǎng)兒童用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對兒童的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的關(guān)切，用拿破侖的話說就是“智才能開啟道路”，只有通過知識的道路，才能通往素養(yǎng)的目的地。

這就需要數(shù)學(xué)教師時常提醒自己：知識可以簡單，但思考不能簡單；要不時叩問：知識在哪里？數(shù)理在哪里？思想在哪里？學(xué)理在哪里？以此來推動自己的數(shù)學(xué)思考向本質(zhì)處、向核心處漫溯。

智理課堂，就是基于兒童學(xué)習(xí)心理與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律之“智”，遵循并挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科之“理”，承知入理，明理生智，尊智慧行、志行至理，建構(gòu)和諧、生動、有意味的數(shù)學(xué)課堂。智理課堂的宗旨就是追求學(xué)習(xí)積累和審美感悟，引領(lǐng)兒童主動學(xué)習(xí)、積極探索知識本源，達(dá)到學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)結(jié)果融通共生，塑造重思善析的數(shù)學(xué)眼光與創(chuàng)新精神，養(yǎng)成百折不撓的堅韌意志，習(xí)得自我獨立且融會貫通的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。