大學(xué)物理課程中“波函數(shù) 薛定諤方程”的教學(xué)探討

李愛君 周戰(zhàn)榮 朱海飛

(火箭軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

2010年頒布的《理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求》，將教學(xué)內(nèi)容分為A類(核心內(nèi)容)，B類(擴展內(nèi)容)，其中量子部分有A類內(nèi)容共10條，建議學(xué)時數(shù)是≥20學(xué)時[1]。實際教學(xué)中，教學(xué)學(xué)時縮減情況普遍，就量子教學(xué)學(xué)時，我校近10年基本維持在12～14學(xué)時，“波函數(shù)”內(nèi)容是A類，而實際授課往往只有兩個學(xué)時。其內(nèi)容特點為：概念晦澀難懂，學(xué)時少，沒有浸潤、感悟、體會過程；教材[1-3]在本部分的內(nèi)容處理上相對簡化，多以介紹性的語言來描述和給出結(jié)論，學(xué)生常常是上課聽不懂，下課看不懂，只能把基本、重要的概念當(dāng)“句型”記住，完全一知半解，對知識沒有系統(tǒng)性，結(jié)構(gòu)性認識。

近幾年筆者在教學(xué)中，嘗試以《物理學(xué)》[2]教材的內(nèi)容為基礎(chǔ)，根據(jù)知識本身的聯(lián)系，遵從學(xué)生的認知規(guī)律，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計，教學(xué)方法選擇，問題情境創(chuàng)設(shè)等方面進行課堂的設(shè)計，力求每次課的知識結(jié)構(gòu)相對完整，研究方法突出，并使學(xué)生在“問題情境”中思考、探究，以幫助學(xué)生建立完善的知識結(jié)構(gòu)，體會研究方法的科學(xué)性，感受物理學(xué)家研究問題的基本思路和方法，有效培養(yǎng)其研究、創(chuàng)新能力。本文立足教學(xué)實施，盡可能完整地展現(xiàn)教學(xué)過程。

1 內(nèi)容結(jié)構(gòu)

幫助學(xué)生建立物質(zhì)“波粒二象性”的概念，理解波函數(shù)和薛定諤方程是量子力學(xué)狀態(tài)描述的手段，理解波函數(shù)的統(tǒng)計意義是本次課的重點。教材[2-4]中相關(guān)內(nèi)容的安排是，“德布羅意波”介紹德布羅意假設(shè)及實驗證明，討論“德布羅意波的統(tǒng)計解釋”，然后是“不確定關(guān)系”，再是“量子力學(xué)簡介”介紹波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋，薛定諤方程等，在按此順序授課時，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生常會造成概念混淆，不明了知識間的聯(lián)系，無法建立正確的知識結(jié)構(gòu)。為此，我將“微觀粒子的波粒二象性”和“波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋”“薛定諤方程”等內(nèi)容放在一起授課，通過一次課，突出微觀粒子的“波粒二象性”屬性和其運動狀態(tài)的描述(即波函數(shù)和薛定諤方程)的關(guān)系，幫助學(xué)生形成完整、正確的概念和知識結(jié)構(gòu)。圖1是本次課的內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖。

2 教學(xué)方法

在本次課的重點環(huán)節(jié)，主要采用“問題式”“類比法”的教學(xué)方法。所設(shè)計的“問題”，一方面創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑爭辯的環(huán)境，促進學(xué)生的積極思考和課堂參與；另一方面突出知識結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生建立完整的概念和知識體系。各環(huán)節(jié)設(shè)置的相關(guān)問題也標注在圖1中。而“類比法”是非常重要的創(chuàng)新研究方法，其特點是根據(jù)“已知”探究“未知”，學(xué)生因為有了“已知”作參考，對“未知”的思考和探究更容易達成，在教學(xué)中使用“類比法”往往能將知識潤物無聲地滲透、融進學(xué)生的心里，也可使學(xué)生在收獲知識的同時，有機會領(lǐng)悟“方法”在分析問題、解決問題、研究創(chuàng)新中的作用，使思想方法的教學(xué)自然、流暢、水到渠成。

3 教學(xué)實施

具體的教學(xué)過程如下：

教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解提出這個問題的必要性，比如我們在研究質(zhì)點的運動前，首先用位移、速度來描述質(zhì)點的狀態(tài)；如果想深入地研究微觀粒子的運動，則對其進行狀態(tài)描述就是首要的。由此引出本次課的內(nèi)容：理解物質(zhì)的波粒二象性，并對微觀粒子的運動狀態(tài)進行描述。

3.1 微觀粒子的波粒二象性

波粒二象性的討論，一方面使學(xué)生正確認識微觀粒子的本性，另一方面是后續(xù)的“波函數(shù)”講解的基礎(chǔ)。由于“波動性”“粒子性”概念出自經(jīng)典物理，可以請學(xué)生思考：微觀粒子的“波粒二象性”其涵義，還是經(jīng)典概念中的“波”和“粒子”嗎？如果不是，它又是怎樣的“波”，怎樣的“粒子”呢？

通過與經(jīng)典概念對比，領(lǐng)悟新概念。與學(xué)生一起回顧經(jīng)典物理中“粒子性”“波動性”的概念。粒子性是指：①有一定質(zhì)量，電荷，有“顆粒性”的屬性；②有確定軌道，每一時刻有一定的位置和速度。波動性是指：①實在物理量的空間分布作周期性變化；②表現(xiàn)出干涉、衍射等現(xiàn)象。經(jīng)典概念中粒子和波是傳遞能量的兩種方式，相互獨立，無法統(tǒng)一。

實物粒子由于表現(xiàn)出了干涉、衍射等現(xiàn)象，被認識到有波動性。所以教師可以以電子的干涉實驗圖樣為例，分析微觀粒子的運動特點。介紹時強調(diào)實驗中即使讓電子一個個通過狹縫，只要通過的足夠多，接收屏上都能呈現(xiàn)類似干涉的條紋，同時給學(xué)生展示當(dāng)有6個，100個，3000個，20000個，70000個電子在底片感光時的圖樣，并展開討論，學(xué)生很容易得到結(jié)論：電子有“顆?！睂傩?，但沒有確定的位置，也無軌道可言；表現(xiàn)出了類似于光的干涉、衍射現(xiàn)象，但并不是實在物理量的空間周期分布，即微觀粒子兼有經(jīng)典粒子的①屬性和經(jīng)典波的②屬性。實驗同時表明微觀粒子的“波粒二象性”不是大量粒子的集體行為，而是單個粒子的行為，是實物粒子的本性，也就是在量子概念里，“波”和“粒子”不再獨立，而是統(tǒng)一的。以上討論說明微觀粒子的波粒二象性與經(jīng)典的波和粒子概念大相徑庭！因此，對于實物粒子，需要有新的與其運動屬性相符的狀態(tài)描述方式。

3.2 自由粒子的波函數(shù)

關(guān)于實物粒子的波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋，薛定諤方程等內(nèi)容的研究充分體現(xiàn)了物理學(xué)家研究問題的一般思路，作為教師可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)自己處于當(dāng)時的研究環(huán)境，面對所研究的問題，會有怎樣的想法？該如何開展研究？這樣做一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成熱烈的充滿質(zhì)疑爭辯的課堂氛圍；另一方面使學(xué)生對物理知識的生產(chǎn)、形成以及結(jié)構(gòu)都有更清晰的認識和感悟。

問題： 實物粒子的狀態(tài)如何描述？從何處著手？

實物粒子既然是“波”，那請大家思考一下如何描述波呢？學(xué)生很容易想到曾用各位置質(zhì)點的位移隨時間變化來描述機械波，用電場(磁場)強度在時間和空間的變化描述電磁波，其形式都是位置和時間的函數(shù)，就是說，描述波動行為，通常引進相應(yīng)的波函數(shù)來描述，當(dāng)然實物粒子的波函數(shù)也應(yīng)是位置、時間的函數(shù)，不妨用ψ(x,t)來表示。

ψ(x,t)的函數(shù)形式又是怎樣的呢？遵照“先簡單后復(fù)雜”的原則，選擇最簡單的粒子系統(tǒng)，最簡單的運動形式來研究，也就是作勻速直線運動的自由粒子。

為了更好地理解本次課的類比關(guān)系，這里把自由粒子的波函數(shù)、波函數(shù)的物理意義，薛定諤方程中的類比關(guān)系列于表1。

表1 波函數(shù)部分的類比關(guān)系

在波函數(shù)部分講解的開頭或結(jié)尾，可以向?qū)W生介紹：關(guān)于描述微觀粒子的運動規(guī)律，量子力學(xué)有兩種不同的表示方式，一是由薛定諤根據(jù)德布羅意的波粒二象性假設(shè)，從粒子波動性出發(fā)，用波動方程來描述粒子和粒子體系的運動規(guī)律，這種理論也稱波動力學(xué)，是薛定諤于1926年創(chuàng)建的，另一種是從粒子的粒子性出發(fā)，用矩陣形式來描述粒子和粒子體系的規(guī)律，這種理論是在1925年左右，由海森伯、玻恩、泡利等創(chuàng)建的，也稱矩陣力學(xué)，兩種理論完全等價。

3.3 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

提出問題：波函數(shù)和描述對象如何對應(yīng)？描述的是實物粒子的什么物理量？表達了怎樣的意義？引導(dǎo)學(xué)生思考：如同在經(jīng)典理論中，機械波的波函數(shù)y(x,t)是有確切物理意義的，表示位置在X處質(zhì)點隨時間相對其平衡位置的位移，既然波函數(shù)用于描述微觀粒子的運動屬性，它就是有物理意義的物理量。

授課過程中，此處可以適當(dāng)介紹相關(guān)物理學(xué)史的內(nèi)容，一方面強調(diào)確定波函數(shù)物理意義的重要性和必要性，一方面也使學(xué)生對物理學(xué)家的研究思路和探索精神有所體會。事實上，微觀粒子的波動性由波函數(shù)來描述，是由薛定諤提出的，但“波函數(shù)是什么的問題”一直困擾著他，他作了很多嘗試，卻怎么也無法合理解釋。波函數(shù)的物理意義最終由玻恩在兩年后才給出。而玻恩仍是應(yīng)用類比的研究方法，將愛因斯坦關(guān)于“光波振幅的解釋”的思想遷移到對微觀粒子波函數(shù)物理意義的確定上。玻恩曾回憶說：“愛因斯坦的觀點又一次引導(dǎo)了我，他曾經(jīng)把光波振幅解釋為光子出現(xiàn)的概率密度，從而使粒子(光子)和波的二象性成為可以理解的。”[5]。授課時沿著玻恩的思想，討論波函數(shù)與微觀粒子的對應(yīng)關(guān)系，也就是波函數(shù)的物理意義問題。

圖 2(a) 光的干涉圖樣; (b) 電子的干涉圖樣

要確定波函數(shù)的物理意義，就是要找出函數(shù)與其波動性間的聯(lián)系。我們通過比較光的干涉和電子的干涉圖樣，來探究波函數(shù)和波動性間的關(guān)系。圖2中(a)是光的干涉圖樣；(b)是電子的干涉圖樣。我們試著用經(jīng)典的波動性與粒子性觀點來解釋光的干涉圖樣。圖2(a)，明暗相間的干涉條紋，經(jīng)典的波動性觀點認為，明紋處表示對應(yīng)的光強比較大，而光強是正比于波振幅平方的|A|2；經(jīng)典概念的粒子性觀點則認為，明紋是到達該處的光子數(shù)目多一些，暗紋是到達該處的光子數(shù)目少一些，明暗條紋所對應(yīng)的光子數(shù)目的多和少，就單個光子而言，顯然是概率問題，明紋處，光子到達該處的概率比較大，暗紋處，光子到該處的概率比較小。如此解釋光的干涉圖樣顯然是講得通的，這也正是上文提到的愛因斯坦的思想。

能不能將這樣的思想遷移到對實物粒子干涉圖樣的分析上來？

由于前面的鋪墊和引導(dǎo)，學(xué)生對電子的干涉圖樣分析基本可以自行完成，教師作適當(dāng)補充即可，得到結(jié)論：所謂電子干涉圖樣，就是電子在空間概率分布的直觀呈現(xiàn)，也即，實物粒子的波動性，是粒子在空間的概率分布，它與任何實在的物理量都沒關(guān)系！這也正是波函數(shù)ψ(x,t)是復(fù)函數(shù)的原因(回答了在波函數(shù)結(jié)尾提出的問題)，而且波函數(shù)的模方|ψ|2，正表征了這種空間的概率分布；至此，出現(xiàn)了3個關(guān)鍵詞：粒子、波、概率，三者聯(lián)系緊密且蘊含豐富：波是粒子的波，波是概率的波，而概率也是粒子的概率，神奇的自然界，偉大的物理學(xué)，學(xué)生可以慢慢品味這其中真意。

“物質(zhì)波并不像經(jīng)典波那樣代表實在物理量的波動，物質(zhì)波是描述粒子在空間概率分布的‘概率波’。波函數(shù)的|ψ|2是描述粒子空間概率分布的“概率幅””。波函數(shù)的物理意義是玻恩在1926年給出的，由于他用到了概率的概念，也稱為波函數(shù)的概率詮釋。波函數(shù)看似描述了微觀粒子的“波”屬性，但用概率來描述空間分布，也與其沒有確定位置、軌道等的“粒子”屬性相吻合。最后說明波函數(shù)的物理意義，標準化和歸一化條件。

探究、討論式的教學(xué)過程及類比法的應(yīng)用，使學(xué)生充分思考，逐步深入，水到渠成地達成教學(xué)目標，當(dāng)波函數(shù)的物理意義“昭然若揭”時，此刻，直接給出玻恩對波函數(shù)的物理詮釋是恰當(dāng)?shù)?，學(xué)生很容易理解和接受。

3.4 薛定諤方程

首先討論建立波動方程的必須性。波函數(shù)是對微觀粒子某一時刻的狀態(tài)進行描述，當(dāng)其狀態(tài)發(fā)生變化時，還需要尋找、確定波函數(shù)所滿足的方程。比如經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點在某一時刻的狀態(tài)為已知時，由質(zhì)點的運動方程可以求出以后任意時刻質(zhì)點的狀態(tài)。量子力學(xué)中情況也類似，有了波函數(shù)，還需確定波函數(shù)隨時間變化的方程，即薛定諤方程。

物理背景介紹：1925年，在蘇黎世定期召開的物理學(xué)討論會上，薛定諤被主持人德拜指定作有關(guān)德布羅意工作的報告。報告之后，得拜表示不滿，向他指出，研究波動就應(yīng)該先建立波動方程。薛定諤在他的啟示下，開始研究這個問題，幾星期后，薛定諤再次報告，宣布找到了這個方程[5]。

引導(dǎo)學(xué)生思考，波函數(shù)與波動方程是什么關(guān)系？如何確定？以機械波的波函數(shù)與波動方程為例，討論二者的關(guān)系，并思考由微觀粒子的波函數(shù)確定波動方程的可能方法。本部分重點是討論薛定諤方程建立的基本方法和思路，不注重推導(dǎo)。

繼續(xù)采用類比的方法。在經(jīng)典物理部分，機械波的波函數(shù)和波動方程分別是式(1)和(2)

而二者之間的關(guān)系，可以簡單表述為式(1)是式(2)的解，或者說將式(1)代入式(2)成立。類似的，我們可以說微觀粒子的波函數(shù)，即式(3)，

ψ(x,t)=ψ0ei(pxx-Et)/

(3)

應(yīng)該是我們要尋找的微觀粒子的波動方程的解，又因式(3)和式(1)有類似的形式，如此，我們是不是可以應(yīng)用類比法，猜測微觀粒子的波動方程也可能與式(2)有類似的形式？或者說將式(3)分別對x和t求二階偏導(dǎo)數(shù)，并將二者建立聯(lián)系即可呢？不妨先求出相關(guān)導(dǎo)數(shù)：

聯(lián)立式(5)和式(7)，很容易得到

(8)

此時，教師請學(xué)生觀察方程，同時提出問題：式(8)是我們要找的波動方程嗎？與學(xué)生一起分析：由于我們要建立的是描寫波函數(shù)隨時間變化的方程，因此它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有時間微商的微分方程，此外，方程還應(yīng)滿足：方程的系數(shù)不包含狀態(tài)的參量，如動量，能量，因為如果方程的系數(shù)含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種可能的狀態(tài)所滿足[6]。由此，學(xué)生很容易觀察出式(8)不符合該要求。

(9)

式(9)不含狀態(tài)量，只與粒子質(zhì)量屬性有關(guān)，這就是一維運動的自由粒子的波動方程，當(dāng)然也很容易推廣到三維的情況

i2ψ(r,t)

(10)

此即自由粒子的薛定諤方程。薛定諤方程是非相對論量子力學(xué)的基本方程，其地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)，應(yīng)該認為是量子力學(xué)的一個基本假定，并不能從什么比它更根本的假定來證明，其正確性，歸根到底，只能靠實驗來檢驗。

4 結(jié)語

本次授課將結(jié)構(gòu)設(shè)計，教學(xué)方法選擇，問題情境創(chuàng)設(shè)相結(jié)合，使學(xué)生建立了完整的知識結(jié)構(gòu)，感受到研究的方法性和探究的科學(xué)性，教學(xué)效果良好。筆者認為“量子物理”部分的教學(xué)，內(nèi)容安排上力求結(jié)構(gòu)完整，條理清晰；教學(xué)實施上，突出方法的作用，淡化相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)；適時適當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}，創(chuàng)造質(zhì)疑爭辯的環(huán)境，同時引領(lǐng)思考和探究的方向，幾個方面的結(jié)合，可以使“量子物理”教學(xué)突出重點，化解難點。

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