基于直線加權(quán)平均的平均值法、逐差法和最小二乘法的等效假設(shè)研究

魏同利 郝惠娟 馬天鵬

(1北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院； 2寧夏大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法是常用的3種處理等間距線性數(shù)據(jù)的方法。但是由于對(duì)這3種方法的前提、假設(shè)和使用條件的介紹和討論相對(duì)較少，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)和工程應(yīng)用中出現(xiàn)了一些混亂，誤差處理中張冠李戴的現(xiàn)象并不少見(jiàn)。一些作者已注意到該現(xiàn)狀，就相關(guān)問(wèn)題寫(xiě)了一系列文章[1-7]。比較具有代表性的，如高永祥[5]認(rèn)為“普通最小二乘法與加權(quán)最小二乘法(逐差法)的前提條件和基本假定是不相同的，不能在相同模型下比較普通最小二乘法和逐差法的優(yōu)劣,否則,方法和模型會(huì)產(chǎn)生矛盾,得出錯(cuò)誤結(jié)論”，給出不能否定也不能濫用逐差法的論斷；呂大韻提出“就其本質(zhì)而言，逐差法主要是為了減小系統(tǒng)誤差的影響”[6]。

現(xiàn)行的研究相對(duì)局限在對(duì)方法本身“好或不好”的討論上，而對(duì)方法的基本假設(shè)及其所處理的“對(duì)象(數(shù)據(jù))”缺乏系統(tǒng)研究。我們認(rèn)為每種方法都有其假設(shè)的條件,方法是否合用，在于該方法的假設(shè)和具體數(shù)據(jù)之間的貼近程度。數(shù)據(jù)越貼近所用方法的假設(shè)，所得到的結(jié)果就越好，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差越??；反之，結(jié)果就較差，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差也較大。為了澄清該問(wèn)題，我們以任意兩點(diǎn)所確定的直線為研究對(duì)象，針對(duì)等間距線性數(shù)據(jù)，對(duì)算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法的基本假設(shè)進(jìn)行了研究，通過(guò)確定每條直線在不同處理方法中的權(quán)重，對(duì)3種方法各提出一種等效假設(shè)。由此假設(shè)出發(fā)，建議了3種數(shù)據(jù)類(lèi)型的處理方法: 在標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)最小間隔相等的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，經(jīng)算術(shù)平均值法計(jì)算的斜率，標(biāo)準(zhǔn)誤差最小；在標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)每一點(diǎn)相等的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，通過(guò)最小二乘法計(jì)算的斜率，標(biāo)準(zhǔn)誤差最小；最后在不等精度的假設(shè)下(相當(dāng)于一種加權(quán)平均值法),定量給出了逐差法最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)誤差分布，測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差由兩端向中間區(qū)域以1/2次方的速率衰減時(shí)，經(jīng)逐差法計(jì)算所得的斜率，標(biāo)準(zhǔn)誤差最小。

1 3種線性處理方法的等效假設(shè)

設(shè)線性數(shù)據(jù)由2n個(gè)等間距的測(cè)量點(diǎn)組成，分別為(x1,y1),…,(xi,yi),…(x2n,y2n)。設(shè)相鄰兩點(diǎn)滿足Δx1=…=Δxi=…=Δx2n-1=Δx，其中Δxi=xi+1-xi。將相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間稱(chēng)為一個(gè)基本區(qū)間，其y值之差可分別表示為Δy1,…,Δyi,…,Δy2n-1，有：Δyi=yi+1-yi。

1.1 算術(shù)平均值法的等效假設(shè)

算術(shù)平均值法可看作任意兩點(diǎn)所確定的直線斜率的加權(quán)運(yùn)算。其加權(quán)方式可由以下假設(shè)確定:

① 最佳直線的斜率由所有基本區(qū)間的斜率按照其權(quán)重相加；

② 任意基本區(qū)間等權(quán)。

(1)

其中,bm表示該假設(shè)下等間距線性數(shù)據(jù)的最佳斜率,與平均值法的結(jié)果是一致的。

1.2 逐差法的等效假設(shè)

逐差法同樣可以看作任意兩點(diǎn)所確定的直線斜率的加權(quán)運(yùn)算。其加權(quán)方式可由以下假設(shè)確定:

① 最佳直線的斜率由所有可能的包含n個(gè)基本區(qū)間的直線斜率按照其權(quán)重相加；

② 任意包含n個(gè)基本區(qū)間的兩點(diǎn)確定的直線等權(quán)。

(2)

其中，bz表示該假設(shè)下等間距線性數(shù)據(jù)的最佳斜率，此假設(shè)所得到的斜率和逐差法的處理結(jié)果是一致的。可求得每一基本區(qū)間的權(quán)重為

(3)

1.3 最小二乘法的等效假設(shè)

最小二乘法也可以看作直線的加權(quán)運(yùn)算。其加權(quán)方式可由以下假設(shè)確定:

① 最佳斜率由所有可能直線的斜率按照其權(quán)重相加；

② 直線權(quán)重與確定它的兩點(diǎn)之間的基本區(qū)間個(gè)數(shù)的平方成正比。

此假設(shè)下，由指標(biāo)為i和j的兩點(diǎn)確定的直線的權(quán)重可以表示為

Ci,j=(j-i)2w

(4)

其中,w為基本區(qū)間即相鄰兩點(diǎn)所確定直線的權(quán)重。在此假設(shè)下，等間距線性數(shù)據(jù)的斜率可計(jì)算如下

(5)

按照最小二乘法的計(jì)算規(guī)則，其斜率可推導(dǎo)如下：

(6)

該假設(shè)的基本區(qū)間權(quán)重系數(shù)和最小二乘法計(jì)算的結(jié)果中都包含有n2-(n-i)2項(xiàng)，由于其他參量與指標(biāo)i無(wú)關(guān)，可知此假設(shè)是正確的。由式(6)可得任一基本區(qū)間的權(quán)重

(7)

2 最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差

2.1 基本區(qū)間等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型

在基本區(qū)間的誤差滿足正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)誤差都相等時(shí)，每一基本區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)誤差為

σ(Δy1)=σ(Δy2)=…=σ(Δyn)=σ

(8)

的標(biāo)準(zhǔn)誤差平方為

(9)

算術(shù)平均值法最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(10)

依據(jù)式(3)和式(7)，可求得該假設(shè)下，逐差法和最小二乘法所求得的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差

(11)

比較式(10)和式(11)，可以看出算術(shù)平均值法的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小。

2.2 點(diǎn)等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型

在每一點(diǎn)的誤差滿足正態(tài)分布且其標(biāo)準(zhǔn)誤差相等的假設(shè)下，取每一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為

σ(y1)=σ(y2)=…=σ(yn)=σ

(12)

(13)

(14)

應(yīng)滿足最小值條件。任意兩條直線的權(quán)重滿足以下條件

(15)

(16)

此權(quán)重系數(shù)和最小二乘法的基本假設(shè)完全相符：任兩點(diǎn)確定的直線的權(quán)重與其包含的基本區(qū)間的個(gè)數(shù)的平方成正比。所以在點(diǎn)等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，最小二乘法所得的斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，其最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差為[7]

(17)

依據(jù)式(1)和式(2)，可求得算術(shù)平均值法和逐差法的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差

(18)

可知在點(diǎn)等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，最小二乘法和逐差法最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差都與n3/2成反比，而算術(shù)平均值法最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差與n成反比，故在這種假設(shè)下最小二乘法和逐差法遠(yuǎn)優(yōu)于算術(shù)平均值法。

2.3 逐差法最優(yōu)的數(shù)據(jù)類(lèi)型

我們依據(jù)式(1)、式(3)和式(7)繪制了n=16時(shí)，3種方法所求最佳斜率的基本區(qū)間權(quán)重的分布圖(圖1)。算術(shù)平均值法對(duì)應(yīng)基本區(qū)間的平權(quán)運(yùn)算；逐差法的權(quán)重在中間n指標(biāo)區(qū)域最大，起始和末尾區(qū)域的權(quán)重最??；最小二乘法在起始、中間和末尾區(qū)域的權(quán)重介于算術(shù)平均值法和逐差法之間。即算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法都可以看作對(duì)基本區(qū)間的加權(quán)運(yùn)算。

圖1 權(quán)重因子與位置的關(guān)系

由2.1節(jié)和2.2節(jié)的討論，在關(guān)于斜率的計(jì)算中,算術(shù)平均值法和最小二乘法都有與其對(duì)應(yīng)的等精度數(shù)據(jù)類(lèi)型，分別以算術(shù)平均值法和最小二乘法斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小。但在實(shí)際的問(wèn)題中，等精度假設(shè)有時(shí)是不能成立的。逐差法的數(shù)據(jù)類(lèi)型恰是這樣一種不等精度的數(shù)據(jù)類(lèi)型。通過(guò)式(3)中的權(quán)重因子的比較，我們以不同位置基本區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)誤差為研究對(duì)象，給出其標(biāo)準(zhǔn)誤差的分布。其論證過(guò)程如下：逐差法作為該假設(shè)下最優(yōu)的方法，每一基本區(qū)間的權(quán)重因子應(yīng)使得Δy的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，即:Δyz=w1Δy1+…+wnΔyn的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，其標(biāo)準(zhǔn)誤差的平方可以表達(dá)為

(19)

(20)

(21)

圖2 逐差法的標(biāo)準(zhǔn)誤差分布

最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)誤差為

(22)

3 結(jié)論

本文通過(guò)直線加權(quán)的方式系統(tǒng)考察了處理等間距線性數(shù)據(jù)的3種方法：算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法。針對(duì)3種處理方法各提出一種較為直觀的等效假設(shè)：算術(shù)平均值法只考慮相鄰點(diǎn)所確定的直線，并等權(quán)地處理它們；逐差法考慮包含n個(gè)基本區(qū)間的兩點(diǎn)所確定的直線，等權(quán)的求其平均；最小二乘法則考慮了所有可能直線的影響，其權(quán)重與兩點(diǎn)之間的距離的平方成正比。

提出以算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法為最優(yōu)方法的3種數(shù)據(jù)處理類(lèi)型：在標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)最小間隔等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，經(jīng)算術(shù)平均值法計(jì)算的斜率，標(biāo)準(zhǔn)誤差最??；在點(diǎn)等權(quán)的數(shù)據(jù)類(lèi)型中，經(jīng)最小二乘法計(jì)算的斜率，標(biāo)準(zhǔn)誤差最??；在不等精度的假設(shè)下,定量給出了逐差法最優(yōu)的數(shù)據(jù)類(lèi)型：測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差由兩端向中間區(qū)域以1/2次方的速率衰減。對(duì)于這種兩端區(qū)域精確度低，中間區(qū)域精確度高的線性數(shù)據(jù)，選用逐差法是較優(yōu)。在具體的測(cè)量中，必須仔細(xì)分析誤差的性質(zhì)和來(lái)源，以確定線性數(shù)據(jù)的種類(lèi)，選用合適的處理方法。

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