基于隨機(jī)模型的拋丸覆蓋率計(jì)算及有限元仿真

陳志超

（韶關(guān)學(xué)院，物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

0 前言

拋丸是一種常見的表面處理工藝。在拋丸過程中，大量彈丸高速運(yùn)動并沖擊金屬表面，起到表面清理和強(qiáng)化的作用。國內(nèi)外學(xué)者已對拋丸過程的有限元仿真作了大量研究，先后建立了二維模型[1-2]、三維單彈丸模型[3-4]、三維多彈丸陣列模型[5-6]等有限元仿真模型。然而實(shí)際的拋丸過程中，彈丸的空間分布呈現(xiàn)高度的隨機(jī)性，上述模型顯然與此不符。本文試圖建立一種多彈丸隨機(jī)分布模型，得到其覆蓋率與彈丸數(shù)的關(guān)系，估計(jì)達(dá)到100%覆蓋率所需的彈丸個(gè)數(shù)，并對50%、100%和200%覆蓋率的情形進(jìn)行有限元仿真。

1 單彈丸拋丸有限元仿真

為得到單個(gè)彈丸碰撞靶材表面所形成的彈坑大小，建立單彈丸模型進(jìn)行有限元仿真。靶材和彈丸的力學(xué)特性如表1所示，仿真模型及結(jié)果如圖1所示。由圖1（b）可知，直徑0.2 mm的彈丸以20 m/s速度入射時(shí)，形成的彈坑直徑d=0.108 mm.

表1 靶材和彈丸的力學(xué)特性

圖1 單彈丸拋丸有限元仿真模型及結(jié)果

2 三維多彈丸隨機(jī)模型建立

實(shí)際拋丸中彈丸束極其復(fù)雜。為簡化而又不失合理性，對彈丸的模型作如下簡化：（1）所有的彈丸都是球形，具有相同的幾何尺寸和物理性質(zhì)；（2）拋丸時(shí)彈丸的質(zhì)量流量不變；（3）每個(gè)彈丸與靶材有且只有一次碰撞；彈丸與彈丸之間的相互作用忽略不計(jì)。對于彈丸的空間分布，除彈丸中心坐標(biāo)（Xi，Yi）隨機(jī)外，各彈丸應(yīng)互不干涉，即任意兩個(gè)彈丸的中心距不小于彈丸直徑D.由此得出式（1）的約束條件。

式中 Xmin，Xmax，Ymin，Ymax為彈丸在水平面上的分布范圍；M為彈丸束中每層的彈丸數(shù)量。

根據(jù)以上約束條件編寫出生成隨機(jī)彈丸中心坐標(biāo)數(shù)值的MATLAB程序，程序流程如圖2所示。

圖2 生成隨機(jī)彈丸中心點(diǎn)坐標(biāo)程序流程圖

3 多彈丸隨機(jī)拋丸表面覆蓋率計(jì)算

拋丸表面覆蓋率定義為彈坑總面積與靶材受強(qiáng)化面積之比。若靶材表面98%的面積被彈坑覆蓋，稱為100%覆蓋率，所需時(shí)間稱為飽和時(shí)間；若強(qiáng)化時(shí)間為飽和時(shí)間的2倍則稱為200%覆蓋率[7]。因彈丸流量恒定，可把覆蓋率對時(shí)間轉(zhuǎn)化為對彈丸數(shù)的關(guān)系。

為簡化模型提出以下假設(shè)：靶材上所有彈坑均為圓形，其直徑都等于單彈丸模型中的彈坑直徑。由覆蓋率定義，注意到求不規(guī)則圖形的面積可轉(zhuǎn)化為求圖形內(nèi)的點(diǎn)個(gè)數(shù)，則覆蓋率Cf等于落在彈坑內(nèi)的點(diǎn)個(gè)數(shù)nC與靶材受強(qiáng)化表面上的點(diǎn)個(gè)數(shù)nU之比，即

落在彈坑內(nèi)所有點(diǎn)的集合是靶材受強(qiáng)化表面上所有點(diǎn)集合的子集，而單個(gè)彈坑中的所有點(diǎn)的集合又是所有彈坑中的所有點(diǎn)集合的子集。在受強(qiáng)化表面上等距地取n個(gè)點(diǎn)（n足夠大），只要點(diǎn)k落在任一個(gè)彈坑內(nèi)，則說明該點(diǎn)已被彈丸撞擊過（受到強(qiáng)化）。記點(diǎn) k 的坐標(biāo)為（xk，yk）（k=1，2，…，n），利用前述多彈丸隨機(jī)模型生成的彈丸中心坐標(biāo)，則點(diǎn)k落在彈坑i中等價(jià)于其與彈坑中心（Xi，Yi）的距離不大于彈坑半徑d/2，即

由式（3），判斷點(diǎn)k是否在彈坑i中，并把滿足式（3）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與相比。理論上，若將取為無窮大，則可求出精確的覆蓋率值。而實(shí)際計(jì)算中只需要取nU足夠大（如nU＝104）即可達(dá)到足夠的計(jì)算精度。

拋丸表面覆蓋率計(jì)算的程序流程如圖3所示。編寫MATLAB程序并運(yùn)行，得到直徑0.2mm的彈丸以20 m/s速度對1 mm×4 mm的靶材面積入射時(shí)，覆蓋率與彈丸個(gè)數(shù)的關(guān)系如表2所示。

圖3 拋丸表面覆蓋率計(jì)算程序流程圖

表2 覆蓋率與彈丸個(gè)數(shù)關(guān)系

4 不同覆蓋率下的拋丸有限元仿真

利用前述多彈丸隨機(jī)分布模型所生成的彈丸坐標(biāo)導(dǎo)入ABAQUS軟件，對靶材面積為1 mm×4 mm，覆蓋率為50%、100%和200%三種情形的拋丸過程進(jìn)行有限元仿真，對應(yīng)的云圖如圖 4（b）～（d）所示。由圖可見，當(dāng)覆蓋率為50%時(shí)，靶材表面未完全被彈坑覆蓋，表面仍有較大的殘余拉應(yīng)力。當(dāng)覆蓋率為100%時(shí)，靶材表面基本被彈坑覆蓋，但表面起伏較明顯，表面有一定的殘余壓應(yīng)力，但分布不均勻。覆蓋率為200%時(shí)，靶材表面更為平整，殘余應(yīng)力場更加均勻。這是因?yàn)?，覆蓋率從100%增大到200%的時(shí)間內(nèi)，彈丸在靶材上形成的彈坑將會把覆蓋率為100%時(shí)的彈坑覆蓋，由于彈丸落點(diǎn)具有隨機(jī)性，覆蓋率為200%時(shí)靶材表面受到彈丸的撞擊更為均勻，拋丸覆蓋率為100%時(shí)造成靶材表面較為嚴(yán)重的起伏現(xiàn)象和局部應(yīng)力集中現(xiàn)象亦得到改善。

（續(xù)下圖）

（接上圖）

圖4 多彈丸隨機(jī)拋丸有限元仿真模型及結(jié)果

5 結(jié)束語

（1）對彈丸直徑為0.2 mm、入射速度為20 m/s的單彈丸拋丸有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了分析，得到其彈坑直徑為0.108 mm.

（2）對彈丸分布模型作適當(dāng)簡化，建立了多彈丸隨機(jī)分布模型。

（3）提出了基于多彈丸隨機(jī)分布模型的覆蓋率計(jì)算方法，獲得了覆蓋率與所需要的彈丸個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

（4）對覆蓋率為50%、100%和200%的情形進(jìn)行了有限元仿真，并分析其靶材表面起伏與殘余應(yīng)力情況。