圓冪定理在橢圓上的推廣及其若干推論

江西省贛州中學(xué) (341000) 謝玉蘭

橢圓是圓通過一個(gè)特殊的仿射變換得到的一種圓錐曲線，它們之間有著一個(gè)特殊的仿射關(guān)系，利用這一關(guān)系可以把圓的一些性質(zhì)定理推廣到橢圓上，也可以直接用這一關(guān)系來得出橢圓的若干推論.把握好橢圓與圓的這一仿射關(guān)系，可以幫助我們更多更深入地了解橢圓的性質(zhì).

1.圓冪定理

圓冪定理過平面上一個(gè)定點(diǎn)M,任作一直線與半徑為r的定圓交于A,B兩點(diǎn)，則MA×MB為定值k(這里MA,MB表示有向線段的數(shù)量),并且k=OM2-r2.定值k叫做點(diǎn)M關(guān)于圓O的冪,簡(jiǎn)稱圓冪.

2.圓冪定理在橢圓上的推廣

圖1 圖2

3.圓冪定理在橢圓上的若干推論

與圓冪定理相類似，由橢圓冪定理我們又可以推出橢圓的相交弦定理,切割線定理和切線長(zhǎng)定理.

圖3

證明:橢圓O的切線MT和割線MAB交于點(diǎn)

圖4

證明:橢圓O的兩條切線MA,MB交于點(diǎn)M(x0,

圖5

4.結(jié)語

本文對(duì)圓與橢圓之間的關(guān)系應(yīng)用仿射關(guān)系來解釋即橢圓是圓經(jīng)過一特殊的仿射變換后的二次曲線，豐富了傳統(tǒng)的對(duì)橢圓的理解.同時(shí)把圓的圓冪定理推廣到橢圓上，給我們解題帶來了方便.