一道征解題的探究

安徽省安慶市大別山科技學(xué)校 (246600) 胡淑芳安徽省岳西縣湯池中學(xué) (246620) 楊續(xù)亮

《數(shù)學(xué)通訊》(上半月)刊“問(wèn)題征解”欄目，每期精選5道試題進(jìn)行征解，隔一期展示部分優(yōu)秀解答，這些試題具有新穎、有趣、實(shí)用、靈巧，富有啟發(fā)性的特點(diǎn)，能夠啟迪學(xué)生思維，開(kāi)發(fā)學(xué)生智力，深受廣大師生的歡迎.本文選取其中一道試題進(jìn)行探究.

一、征解題的證明

不妨設(shè)b介于a,c，則(b-a)(b-c)≤0,即b2-(a+c)b+ac≤0.

而由絕對(duì)值不等式可得|a-b|+|b-c|+|c-a|≥|a-b+b-c|+|c-a|=2(a-c),

此結(jié)論要強(qiáng)于征解題，右端的項(xiàng)(a-c)2也可以換成(a-b)2或(b-c)2，同時(shí)可以得到

2005年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題：

下面對(duì)這一結(jié)論做些推廣.

二、征解題的推廣

評(píng)注：安振平老師在《數(shù)學(xué)通訊》2006年第9期《一道巴爾千數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題的推廣》中給出了證明.本題還可以進(jìn)一步弱化得到1984年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：

針對(duì)指數(shù)可以作如下推廣

注：當(dāng)m=2,k=1為推廣2.當(dāng)m=2,k=1,n=3為2005年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題.

而對(duì)分母增加元數(shù)進(jìn)行推廣可以得到：

以上三個(gè)推廣可以形成統(tǒng)一的形式：

由二元權(quán)方和不等式可得

針對(duì)335號(hào)證解題有如下推廣

更有一般性的命題結(jié)論：

請(qǐng)有興趣的讀者給出以上不等式的證明.