哥尼斯堡七橋問題探究

王一涵

摘 要：歐拉對于《哥尼斯堡橋》一文進行了深入分析與研究，解開了“哥尼斯堡七橋問題”所蘊含的豐富數(shù)學(xué)思想。通過對七橋問題進行研究與分析，能夠讓我們對于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的相關(guān)知識予以深入掌握，帶給我們更為豐富的數(shù)學(xué)視角與視野。

關(guān)鍵詞：哥尼斯堡橋 七橋問題 歐拉 數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-01

一、哥尼斯堡七橋問題簡述

“七橋問題”出現(xiàn)于18世紀(jì)哥尼斯堡城。在這個城市中有七座橋，當(dāng)時居民十分熱衷：一個散步者怎樣將這七座橋走遍，并且每座橋都不重復(fù)。要想符合所提出的要求，應(yīng)當(dāng)與以下兩個條件相適應(yīng)：

第一，所謂的“不重復(fù)”指的是，每座橋只能走一次；

第二，所謂的“走遍”指的是，每座橋都應(yīng)當(dāng)走到不應(yīng)當(dāng)被落下。

這些問題的解決是歐拉所完成的，在很多的文獻資料中，都提到了歐拉對七橋問題解決的方法，實際上，在歐拉的論文《問題解決與幾何位置》中，只包括以下的三幅圖與兩個表格。

該問題主要包括兩個特征：

第一，該問題全部來源于現(xiàn)實；

第二，該問題屬于新數(shù)學(xué)領(lǐng)域范疇，歐拉的解答所具備的創(chuàng)新性非常突出，對數(shù)學(xué)教育工作的開展具有至關(guān)重要的啟發(fā)作用。

二、歐拉對七橋問題的解答

第一步就是，對描述路線的簡潔方法進行尋找。將河流分割的陸地區(qū)域分別用A、B、C 、D表示，地點A到達地點B需要對橋a或b進行跨越，記作AB，倘若再從地點B跨越橋f到達地點D，記作ABD，字母B不僅代表首次跨越的終點，也代表第二次跨越的起點，其余地點也根據(jù)這種方法進行類推。其發(fā)現(xiàn)：

第一，該表示方法與跨越的橋不存在任何關(guān)聯(lián)；

第二，跨越n座橋的路線正好可以用n+1個字母來代表。

該問題就轉(zhuǎn)變成符合條件的八個字母排列問題。在部分區(qū)中，所連接的橋不止一座，部分字母會多次出現(xiàn)，所以，應(yīng)當(dāng)對每個字母所出現(xiàn)的次數(shù)進行確定。

為了對某個字母出現(xiàn)次數(shù)的法則進行判定，歐拉選取單獨的區(qū)域A，并對多座橋進行隨意設(shè)置，散步者可以利用不同的橋離開或進入A，所通過的橋數(shù)決定著字母A出現(xiàn)的次數(shù)，倘若橋數(shù)為奇數(shù)，表1將其規(guī)律進行了揭示，也就是橋數(shù)加1的和再除以2，就是字母A所出現(xiàn)的次數(shù)。

倘若橋數(shù)為偶數(shù)，倘若A是出發(fā)地點，其所出現(xiàn)的次數(shù)就是橋數(shù)的一半加1，倘若A是到達地點，其所出現(xiàn)的次數(shù)就是橋數(shù)的一半。

關(guān)于計算線路中字母出現(xiàn)次數(shù)與所有字母出現(xiàn)在總次數(shù)的方法，可以用表2來表示。

對于任意這類圖形，最為簡潔的方法就是：

倘若超過兩個地點由奇數(shù)座橋連接起來，則與條件符合的路線不存在；倘若只有兩個地點由奇數(shù)座橋連接起來，只需從其中一個地點出發(fā)，就可以完成所要求的散步，兩個地點中的另一個只能作為終點；倘若各個地點都是由偶數(shù)座橋連接起來，從任意地點出發(fā)，都可以完成所要求的散步，并能夠回歸至起點。

只要利用以上這三條法則，都能夠?qū)⒃擃悊栴}順利解決。

三、歐拉解法中的重要數(shù)學(xué)思想方法

1.一般化思想

在對七橋問題進行解決的過程中，歐拉自始至終都在對一般的解法進行尋找。自解答之初就表明這一點，并對這一點進行落實。這樣使個別問題的解法也具備較為普遍的意義，并對該問題的解答進行了縮減，將數(shù)學(xué)家超乎普通人的遠見與目光充分表現(xiàn)出來。[1]

2.數(shù)學(xué)化思想

在對這一問題進行解答的過程中，將問題數(shù)學(xué)化是最為重要的解決策略。也就是說，通過數(shù)學(xué)語言，將散步的線數(shù)表示出來。通過該表達方式，能夠使問題變得更加簡單，有助于對其中所存在的規(guī)律進行總結(jié)。這種表達方式就是對簡潔的數(shù)學(xué)模型進行構(gòu)建，因此，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，最基本也是最重要的方法就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。[2]

3.簡化策略

在對這一問題進行解決的過程中，簡化問題也屬于重要策略之一。在該題目中，歐拉首次就對只有一條河流的情形進行了考量，進而查找出關(guān)于線路表達方面字母出現(xiàn)次數(shù)的規(guī)律。由此可見，在諸多的數(shù)學(xué)問題解決策略中，最大限度地對問題進行簡化，也是至關(guān)重要的方法之一。[3]

4.列表方法

解決該問題的過程中，歐拉三次采用對數(shù)據(jù)列成表這一方法。在數(shù)學(xué)家的研究工作中，通過列表來開展信息整理與思維組織活動。其具有兩個方面的優(yōu)勢，即思維具備一定的條理性與比較容易對其中規(guī)律進行發(fā)現(xiàn)。

結(jié)語

通過七橋問題，我們需要深思，數(shù)學(xué)知識其實就在我們身邊，我們更加需要對身邊的事物高度關(guān)注，才能夠讓數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更有樂趣，讓其為我們的生活提供幫助。

參考文獻

[1]張君.從七橋問題想到的用歐拉圖來解決計算機應(yīng)用問題[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報，2012，18（02）：11-12.

[2]胡重光.“七橋問題”及其對數(shù)學(xué)教育的啟示[J].湖南第一師范學(xué)院學(xué)報，2011，11（06）：14-16+28.

[3]高中印.用數(shù)學(xué)建模方法解決哥尼斯堡七橋問題[J].承德民族師專學(xué)報，2010，30（02）：14-15.