循著學(xué)生的思路 滲透極限思想的思考

劉菊

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）24-0023-02

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，可以將某些數(shù)學(xué)問題化難為易，避免一些復(fù)雜運算，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何去挖掘并適時地加以滲透呢？以下根據(jù)自身的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐談?wù)勛约旱拇譁\見解。

1.在數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)過程中滲透極限思想

片段一：

在教學(xué)“圓面積公式的推導(dǎo)”一課時，我是這樣設(shè)計的。

師：（課件出示一個圓）要知道這個圓的面積，怎么辦？

生1：可以把它轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。

師：怎么轉(zhuǎn)化？

生2：把圓平均分。（大屏幕上演示把圓平均分成了2份，把兩個半圓使勁的拼，結(jié)果還是一個圓。）

師：轉(zhuǎn)化不成已經(jīng)學(xué)過的圖形，怎么回事？

生2：平均分的分數(shù)不夠多。

師：是這樣嗎？那我們分得多一些，請大家仔細觀察。（演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成長方形。從平均分成4個、8個到16個。）

師：你們發(fā)現(xiàn)什么嗎？同桌輕輕交流一下。

生3：16個拼起來，比較像長方形。

生4：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。

師：你們都同意他的看法嗎？（學(xué)生表示同意）那我們再來分一分這個圓。

（課件演示把圓平均分成32個、64個……完全相同的小扇形。）

師：大家仔細看一看，想一想，如果一直這樣分下去，拼下去會怎樣？

生5：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。

師：拼成的長方形與原來的這個圓究竟有怎樣的關(guān)系??？

……

片段二：

在教學(xué)圓柱體積公式的推導(dǎo)這一內(nèi)容時，我作過這么一次嘗試。

師：如何知道一個圓柱體的體積？

生1：以前學(xué)習(xí)的柱體都是用“底面積×高”來求積的，這次也應(yīng)該是吧？

師：那你們就先借助手中的學(xué)具操作一下，看能不能有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生動手操作，小組交流。）

生2：我發(fā)現(xiàn)圓柱體可以通過切割拼成一個近似的長方體……因此，圓柱體的體積=底面積×高。

（至此，應(yīng)該說學(xué)生已經(jīng)基本掌握了圓柱體體積的計算公式，進入應(yīng)用階段沒多大問題，但蘊涵在其中的思維方法并沒有滲透給學(xué)生，于是我繼續(xù)追問。）

師：怎樣切割，圓柱體就真的變成一個長方體了？

生3：將圓柱的底面平均分成無數(shù)多份，它的底面就轉(zhuǎn)化為一個長方形，整個圓柱也就成了一個長方體。（師進行課件演示）

師：還有不同的思考方法嗎？

生：將圓柱沿高的方向切分成無窮多個細長的長方體。每個長方體的體積都是“底面積×高”，根據(jù)乘法分配律，這無窮多個小長方體的體積之和正好是“它們的底面積之和×高”，也即圓柱體的“底面積×高”。

……

以上兩個計算公式的推導(dǎo)過程，均采用“化圓為方”、“變曲為直”的極限分割思路。在“觀察有限分割”的基礎(chǔ)上，“想象無限細分”，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的終極狀態(tài)。這樣不僅使學(xué)生掌握了圓的面積和圓柱體體積的計算公式，而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。

2.在教學(xué)新的知識點時滲透極限思想

片段一：

在循環(huán)小數(shù)的教學(xué)中，許多人認為0.99……這個數(shù)無論小數(shù)點后面9的個數(shù)怎樣增多，它始終只能越來越接近1，而不等于1。我在教學(xué)過程中從兩方面來說明0.99……等于1。首先學(xué)生很容易理解 =1÷3=0.33……， =2÷3=0.66……，因為 + =1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比較大小，讓學(xué)生找大于0.99……而小于1的數(shù)，學(xué)生找不到這樣的數(shù)，從而告訴學(xué)生0.99……=1。

教師還可以讓學(xué)生通過檢驗體會到任何一個循環(huán)小數(shù)可以改寫成分數(shù)，比如：0.888……=0.8+0.08+0.008+……= = ，0.4545……=0.45+0.0045+0.000045+……= = 。

片段二：

在教學(xué)行程問題時，我給學(xué)生講了這樣一個故事：兔子和烏龜賽跑，起初烏龜在兔子前100米，兔子每分走10米，烏龜每分走1米，兔子永遠追不上烏龜。學(xué)生們感到很詫異，接下來我就說明了兔子永遠追不上烏龜?shù)睦碛桑寒?dāng)兔子走完100米的時候，烏龜已經(jīng)向前走了10米，當(dāng)兔子再向前走10米的時候，烏龜又向前走了1米，當(dāng)兔子繼續(xù)向前走1米的時候，烏龜又向前走了0.1米，當(dāng)兔子再向前走0.1米的時候，烏龜又向前走了0.01米，……所以兔子永遠追不上烏龜。

片段一中的教學(xué)，讓學(xué)生體會到“0.99……”這個小數(shù)后面的“9”有無窮多個，到底有多少個，沒人能說清楚，但有一點是肯定的，這個數(shù)的終極狀態(tài)就是1。片段二中，學(xué)生顯然不接受“兔子永遠追不上烏龜”這個觀點，其實兔子追上烏龜?shù)臅r間是10+1+0.1+0.01+0.001+……= （分），但這樣的教學(xué)卻可以使學(xué)生在頭腦中初步萌生出“無限”的概念。我以為，如此教學(xué)不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且對于發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力是十分有益的，更重要的是滲透給學(xué)生極限的思想方法。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)反映，是知識向能力轉(zhuǎn)化的紐帶。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)極限思想方法的因素極為廣泛，教師在教學(xué)中應(yīng)該意挖掘，并抓住適當(dāng)?shù)臅r機，將這一思想和方法適度地滲透給學(xué)生。這樣學(xué)生沉淀下來的就不只是數(shù)學(xué)知識，更主要的是一種數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，為他們以后建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識體系，進一步拓寬數(shù)學(xué)的空間，走出校門后去獨立學(xué)習(xí)和研究更高深的數(shù)學(xué)理論夯實基礎(chǔ)。