基于LQR的BTT導彈自動駕駛儀設(shè)計*

王廣山,王 江

(北京理工大學,北京 100081)

0 引言

早期BTT導彈自動駕駛設(shè)計采用古典單輸入單輸出(SISO)自動駕駛設(shè)計方法,其設(shè)計思想是忽略三通道間耦合,利用古典控制理論對三個通道獨立進行設(shè)計,然后在系統(tǒng)中計入?yún)f(xié)調(diào)支路,抵消耦合作用[1-2]。由于BTT較強運動及強耦合,所以大多用現(xiàn)代控制方法進行設(shè)計。采用線性二次型最優(yōu)控制理論進行自動駕駛設(shè)計,不僅使設(shè)計出的駕駛儀有一定穩(wěn)定裕度,而且在求出最優(yōu)控制時,也推導出了對應自動駕駛儀的結(jié)構(gòu)。進行BTT導彈駕駛儀設(shè)計時,對三通道響應時間比值進行合適選取,有助于減小通道間耦合,采用線性二次型最優(yōu)控制理論在設(shè)計各通道自動駕駛儀響應時間比值時,可以通過改變權(quán)矩陣Q和R來改變求得增益矩陣,從而改變響應時間,這在設(shè)計各通道響應時間時具有一定靈活性。

1 BTT導彈數(shù)學模型

在小擾動線性化假設(shè)條件下,對彈體模型動力學方程進行線性化,然后進行解耦。解耦時要注意滾轉(zhuǎn)角速度ωx變化較大,側(cè)滑通道的耦合項ωxα不可簡單忽略[3]。解耦后BTT彈體模型為:

俯仰通道:

(1)

偏航滾轉(zhuǎn)通道:

(2)

(3)

2 線性二次型最優(yōu)控制介紹

LQ問題是線性二次型最優(yōu)問題的簡稱,描述為給定連續(xù)時間線性時變受控系統(tǒng)。

t∈[t0,tf]

(4)

給定相對于狀態(tài)x(t)和控制u(t)的二次型性能指標:

uT(t)R(t)u(t))dt

(5)

尋找容許控制u*(t),使沿著x0出發(fā)的相應狀態(tài)軌跡x(t),性能指標取極小值。LQ問題可分“最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題(LQR)”和“最優(yōu)跟蹤問題”,最優(yōu)跟蹤問題是LQR問題推廣,并可轉(zhuǎn)化為等價LQR問題。

對于無限時間時不變LQR問題,目標函數(shù)為:

(6)

式中：(A,B)完全能控,(C,A)完全能觀;x為n維狀態(tài),u為p維輸入且不受限制,A為n×n矩陣,B為n×p矩陣,C為n×n滿秩矩陣;Q=QT≥0,為n×n半正定常數(shù)矩陣;R=RT>0,為p×p正定常數(shù)矩陣。構(gòu)造Hamilton函數(shù)[4]為:

(7)

最優(yōu)控制應使H取極值,假定u不受限制,求Hamilton函數(shù)關(guān)于u的偏微分,最后得到:

(8)

(9)

-PA-ATP+PTBR-1BTP-Q=0

(10)

u*=-R-1BTPx=-Kx

(11)

對應的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)稱為最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng),即：

(12)

標準LQR輸出方程中并沒考慮Du,當加入該項后,按照上面步驟可推導得[5]:

(13)

3 自動駕駛儀設(shè)計

下面設(shè)計自駕儀用到的是LQ“最優(yōu)跟蹤問題”,其可轉(zhuǎn)化為等價的LQR問題。

3.1 各通道駕駛儀響應時間比確定

(14)

根據(jù)上面LQR最優(yōu)推導過程可得到:

(15)

滾轉(zhuǎn)通道采用兩回路滾轉(zhuǎn)駕駛儀,三通道設(shè)計完后,引入運動學耦合項,選取滾轉(zhuǎn)響應時間為俯仰通道1倍、4倍,給出滾轉(zhuǎn)駕駛儀指令為γc=45°,俯仰過載指令ayc=10 m/s2,偏航過載指令azc=0 m/s2進行仿真,通過圖1看出滾轉(zhuǎn)相應速度越快,側(cè)滑角越小,可減小通道間耦合。

圖1 側(cè)滑角響應曲線

圖2 加速度響應曲線

將滾轉(zhuǎn)通道響應速度設(shè)為俯仰4倍,改變Q11、R11調(diào)節(jié)偏航通道響應時間,使偏航通道響應時間依次為俯仰通道1倍、4倍,取γc=45°,ayc=10 m/s2,azc=0 m/s2進行仿真,從圖3可看出,偏航響應速度越快,側(cè)滑角越小,相應的耦合也就越小。根據(jù)仿真結(jié)果,將偏行通道響應時間設(shè)為俯仰的3倍,滾轉(zhuǎn)相應時間設(shè)為俯仰的4倍。

圖3 側(cè)滑角響應曲線

3.2 俯仰通道過載自動駕駛儀設(shè)計

根據(jù)“最優(yōu)跟蹤問題”,俯仰狀態(tài)方程如下:

(16)

性能指標為:

(17)

求得:

(18)

圖4 俯仰加速度響應曲線

由上式看出線性二次型最優(yōu)控制求出的是經(jīng)典三回路過載駕駛儀的控制律。取Q11=0.01,R11=2 500,求得狀態(tài)反饋增益陣K,各增益為ωI=0.128 3,Ka=0.001 9,KDC=1.071 5,Kg=0.042 7,通過仿真得到加速度響應上升到穩(wěn)態(tài)值63.2%時的時間為0.3 s,幅值裕度為19.7 dB,相位裕度為63°。

圖5 開環(huán)伯德圖

3.3 偏航通道過載自動駕駛儀設(shè)計

偏航通道狀態(tài)方程形式與俯仰通道形式相同,對應的量如下:

L=D(1,:)

(19)

取Q11=0.1,R11=35 000,得增益Ka=0.000 72,KDC=3.637 5,Kg=0.063 4,仿真如圖6、圖7所示,63.2%上升時間為0.1 s,幅值裕度為9.7 dB,相位裕度為46°。

圖6 偏航加速度曲線

3.4 引入耦合項仿真

滾轉(zhuǎn)通道采用滾轉(zhuǎn)駕駛儀,用解析法設(shè)計[6],設(shè)計結(jié)果為63.2%上升時間為0.07 s。三通道設(shè)計完成之后,在三通道之間引入各耦合項,在給定指令ayc=150 m/s2,γc=45°,azc=0 m/s2條件下仿真。

圖7 開環(huán)伯德圖

圖8 側(cè)向加速度響應曲線

圖9 攻角響應曲線

圖10 側(cè)滑角響應曲線

圖11 滾轉(zhuǎn)角響應曲線

圖12 副翼響應曲線

圖13 升降舵響應曲線

圖14 偏航舵響應曲線

圖15 滾轉(zhuǎn)角速度響應曲線

圖16 偏航角速度響應曲線

圖17 俯仰角速度響應曲線

圖18 俯仰加速度響應曲線

4 結(jié)論

通過前面仿真可看出采用線性二次型最優(yōu)控制理論設(shè)計的BTT導彈俯仰和偏航通道自駕儀具有一定的穩(wěn)定裕度。在確定各通道自動駕駛儀響應時間比值時,可以通過改變Q11和R11實現(xiàn),較古典設(shè)計具有一定靈活性,在仿真中可看出滾裝通道響應越快,耦合越小,偏航通道響應快對耦合抑制效果較好。三通道設(shè)計完成后引入運動學耦合,氣動耦合,控制交叉耦合項進行仿真驗證,從圖中看出跟蹤效果較好。但是LQR必須準確測量全部狀態(tài)量,這也限制其應用。