二元函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)的研究

摘 要：現(xiàn)階段我們就二元函數(shù)已經(jīng)取得了一定的研究成果，特別是針對其連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間具有什么樣的聯(lián)系有了一定的研究。不過，我國目前并沒有把這些國際前沿成果編著在高等數(shù)學(xué)教材當(dāng)中。學(xué)生在課本上看到的東西都是比較片面而淺顯的，沒有從根本上闡述清楚這些問題。僅僅憑借課本，學(xué)生想要對于這部分內(nèi)容有一個比較全面而準(zhǔn)確地把握是比較困難的。希望借助本篇文章能夠?qū)τ趯W(xué)習(xí)二元函數(shù)相關(guān)知識的人有所幫助。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；連續(xù)性；偏導(dǎo)數(shù)

一、二元函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)f為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，P0∈D（它或者是D的聚點(diǎn)，或者是D的孤立點(diǎn)）。對于任給的正數(shù)ε，總存在相應(yīng)的正數(shù)δ，只要，就有則稱f關(guān)于集合D在點(diǎn)P0連續(xù)，在不致誤解的情況下，也稱f在點(diǎn)P0連續(xù)。要是說f在所有D中的點(diǎn)都是連續(xù)的，那么我們就說f這個函數(shù)在D這個集合連續(xù)。這樣的話我們能夠看到，要是說P0為D一個孤立點(diǎn)的話，其實(shí)P0肯定為f關(guān)于D的連續(xù)點(diǎn)。要是P0是聚點(diǎn)的話，那么其實(shí)f關(guān)于D在P0連續(xù)也可以寫成是。

二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

由一元函數(shù)微分學(xué)知道：若在點(diǎn)x0可微，則函數(shù)增量為，這里面。而且我們能夠看到要是f在是可微函數(shù)的話，這個點(diǎn)處函數(shù)全增量。我們想要找到的是函數(shù)和兩個參數(shù)的聯(lián)系。在里面，讓，得到關(guān)于x的偏增量?xz。同時我們能夠知道。

如果說的話，那么我們就有。右邊其實(shí)就是的時候，的導(dǎo)數(shù)。令，由有，它是關(guān)于y的一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。

這樣的話其實(shí)我們就能夠看到在這個點(diǎn)對x的偏導(dǎo)數(shù)，這樣其實(shí)就是把其中一個未知量y當(dāng)成是常數(shù)，取值就是y0處的值， 也就是說函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)能夠看成是當(dāng)x=x0的時候的導(dǎo)數(shù)。那么要是說我們讓給x等于x0的話，要是?y存在極限的話，其實(shí)也就是在的時候?qū)的偏導(dǎo)數(shù)。

設(shè)函數(shù)，。若，且在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限存在時，稱這個極限為函數(shù)f在點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記作或。

三、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在性

當(dāng)（x，y）=（x0，y0）的時候的偏導(dǎo)是有其特定意義的，而不是單純的一個數(shù)值。是上的點(diǎn)。過M0作平面y=y0，截得曲線，我們能夠得到y(tǒng)=y0上曲線方程是，也就是說有。這其實(shí)就是，也就是說曲線在M0處的切線對x軸的斜率。同樣的道理我們能夠知道其實(shí)就是曲面被x=x0截得曲線在點(diǎn)M0處的切線對y軸的斜率。

我們在上文當(dāng)中提到，如果自變量個數(shù)是一的時候，其實(shí)點(diǎn)a處是可導(dǎo)的就意味著a處是連續(xù)的。不過如果說自變量變成兩個的話，其實(shí)這兩個概念就不存在這樣的關(guān)系了。之所以會出現(xiàn)這樣的情況是由于存在偏導(dǎo)數(shù)其實(shí)也就是說點(diǎn)P沿特定方向靠近P0，有f（P）慢慢向f（P0 ）靠近。這個方向是和坐標(biāo)軸平行的。但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f（P）都趨于f（P0 ）。

四、二元函數(shù)連續(xù)性的進(jìn)一步研究

我們在上文當(dāng)中提到，如果自變量個數(shù)是一的時候，其實(shí)點(diǎn)a處是可導(dǎo)的就意味著a處是連續(xù)的。不過如果說自變量變成兩個的話，其實(shí)這兩個概念就不存在這樣的關(guān)系了。那么函數(shù)是否存在偏導(dǎo)數(shù)和函數(shù)是否連續(xù)之間存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系，我們需要對此進(jìn)行更深入地研究。

定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若作為y的一元函數(shù)在點(diǎn)y=y0連續(xù)，在內(nèi)有界，則在點(diǎn)連續(xù)。

證明：任取，則： （1）

因?yàn)楫?dāng)x屬于的時候是一個有界函數(shù)，所以說，可導(dǎo)，所以有屬于區(qū)間（0，1），滿足。將它代入（1）式，得（2）

由于 ，故有界，因而當(dāng)時，有：。

我們還能夠看到，當(dāng)y=y0的時候是連續(xù)的，所以說的話，我們能夠得到。所以，由（2）有：。

這說明在點(diǎn)連續(xù)。

推論1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若作為y的一元函數(shù)在點(diǎn)y=y0連續(xù)，在點(diǎn) 連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。

下面我們給出證明。

因?yàn)樵谑且粋€連續(xù)函數(shù)，也就是說在某鄰域當(dāng)中是一個界函數(shù)，所以我們知道在是一個連續(xù)函數(shù)。

推論2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義。 若在有界，存在，則 在點(diǎn)連續(xù)。

下面我們給出證明：因?yàn)?，所以我們能夠知道在y=y0的時候是一個連續(xù)的一元函數(shù)，所以我們能夠知道在的時候是一個連續(xù)函數(shù)。

五、結(jié)束語

通過上文，我們能夠知道，在一元函數(shù)中函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)則意味著函數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)。但是對于二元函數(shù)來說即使在某一點(diǎn)是連續(xù)的，但是在該點(diǎn)其偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，同樣的對于二元函數(shù)來說，在某一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在但是也并不意味著函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李承杭，苗靜靜.關(guān)于二元函數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等與否的進(jìn)一步研究[J].中國培訓(xùn)，2016（22）：210.

[2]吳發(fā)漢，隋艷，翁伯.關(guān)于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在性問題的探討[J].教育界：高等教育研究，2017（15）：75-76.

作者簡介：胡嬌鈴（1991—），女，漢族，廣東汕頭人，本科，助教，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。