關(guān)于哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想的新思路以及因數(shù)分解的一個(gè)多項(xiàng)式算法

謝翰

【摘 要】 證明哥德巴赫猜想的思路有四種，這四種思路分別是：例外集合，小變量的三素?cái)?shù)定理，幾乎哥德巴赫問(wèn)題，殆素?cái)?shù)。本文提出了不同以往的第五種思路，創(chuàng)建出了α數(shù)集和β數(shù)集，成功地將哥德巴赫猜想拆解成為兩個(gè)更基本的猜想。此外，給出了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)證明途徑以及因數(shù)分解的一個(gè)多項(xiàng)式算法。

【關(guān)鍵詞】孿生素?cái)?shù)猜想；哥德巴赫猜想；第五種思路；α數(shù)β數(shù)；因數(shù)分解多項(xiàng)式算法

史上和素?cái)?shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想中，最著名的當(dāng)然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了兩個(gè)大膽的猜想：

（一）每一個(gè)不小于6的偶數(shù)，都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；

（二）每一個(gè)不小于9的奇數(shù)，都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個(gè)猜想是第一個(gè)猜想的推論。因此，只需在兩個(gè)猜想中證明第一個(gè)猜想就足夠了。證明哥德巴赫猜想的思路有四種，這四種思路分別是：例外集合，小變量的三素?cái)?shù)定理，幾乎哥德巴赫問(wèn)題，殆素?cái)?shù)。

這四種思路中只有殆素?cái)?shù)的思路取得了比較重大的突破。

殆素?cái)?shù)就是素因子個(gè)數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù)，雖然不能證明N是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，但足以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)殆素?cái)?shù)的和，數(shù)學(xué)家把命題“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和”記作“a+b”。1966年，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)攻克了“1+2”，也就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)就是奇素?cái)?shù)，另一個(gè)則是兩個(gè)奇素?cái)?shù)的積。”這個(gè)定理被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。由于陳景潤(rùn)的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過(guò)程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，要想證明“1+1”，必須通過(guò)創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路很可能都是走不通的。據(jù)此，本文作者從基本問(wèn)題出發(fā)，為學(xué)界提供了不同以往的第五種思路。

奇素?cái)?shù)可分為兩大類：模4余3（即余-1）的素?cái)?shù)稱為α素?cái)?shù)，模4余1的素?cái)?shù)稱為β素?cái)?shù)。

α素?cái)?shù)與1的和除以4得出來(lái)的數(shù)就是α數(shù){1，2，3，5，6，8，11，12，15，17，18，20，21，26，27，32，33，35，38，…}，β素?cái)?shù)與1的差除以4得出來(lái)的數(shù)就是β數(shù)：{1，3，4，

7，9，10，13，15，18，22，24，25，27，28，34，37，39，…}。

α素?cái)?shù)可表示為4α-1，β素?cái)?shù)可表示為4β+1。

一、證明了以下猜想（猜想一和猜想二）可以推出（從而強(qiáng)于）哥德巴赫猜想：

我們還需要建立“和集”的概念：設(shè)A，B是正整數(shù)集的非空子集，則它們的和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}。

兩個(gè)α素?cái)?shù)的和集：（4α■-1）+（4α■-1）=4（α■+α■）-2；

α素?cái)?shù)與β素?cái)?shù)的和集：（4α■-1）+（4β■+1）=4（α■+β■）。

當(dāng)α■+α■={2，3，4，…}且α■+β■={2，3，4，…}時(shí)，4（α■+α■）-2和4（α■+β■）就構(gòu)成不小于6的全體偶數(shù)的集合{6，8，10，12，…}。哥德巴赫猜想于是就歸結(jié)為以下兩個(gè)猜想（猜想一、猜想二）：

α數(shù)與α數(shù)的和集等于{2，3，4，…}。

α數(shù)與β數(shù)的和集等于{2，3，4，…}。

證明過(guò)程（以下n∈N+）：

α數(shù)與α數(shù)的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素?cái)?shù)與α素?cái)?shù)的和集等于{6，10，14，…，4（n+1）-2，…}——①

α數(shù)與β數(shù)的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素?cái)?shù)與β素?cái)?shù)的和集等于{8，12，16，…，4（n+1），…}——②

①、②每一個(gè)不小于6的偶數(shù)，都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

二、只要證明猜想三（或猜想四）：α數(shù)集與β數(shù)集的交集是一無(wú)窮數(shù)集（或α數(shù)集與β數(shù)集加1的交集是一無(wú)窮數(shù)集，也就證明了孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮對(duì)。這是因?yàn)楫?dāng)α=β時(shí)α素?cái)?shù)4α-1與β素?cái)?shù)4β+1兩者是孿生素?cái)?shù)，當(dāng)α=β+1時(shí)α素?cái)?shù)4α-1=4（β+1）-1=4β+3與β素?cái)?shù)4β+1兩者也是孿生素?cái)?shù)。

三、對(duì)α數(shù)集的研究發(fā)現(xiàn)α數(shù)集缺少形如1+3n（n∈N■）的數(shù)，用2■+5n、3■+7n、4■+9n…試驗(yàn)也符合，于是得到α數(shù)的重要性質(zhì)（猜想五）：α數(shù)集是{x：x=a■+（2a+1）n，a、n∈N■}在正整數(shù)集中的補(bǔ)集。對(duì)β數(shù)集的研究發(fā)現(xiàn)β數(shù)集缺少2、形如k+（4k+1）n（k、n∈N■）的數(shù)、形如3k-1+（4k-1）n（k、n∈N■）的數(shù)，于是得到β數(shù)的重要性質(zhì)（猜想六）：β數(shù)集是三個(gè)數(shù)集{2}、{x：x=k+（4k+1）n，k、n∈N■}、{x：x=3k-1+（4k-1）n，k、n∈N■}的并集在正整數(shù)集中的補(bǔ)集。

四、因數(shù)分解是數(shù)論中的一個(gè)基本問(wèn)題，從其誕生到現(xiàn)在已有數(shù)百年歷史，然而真正引起數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家及密碼學(xué)家的極大關(guān)注卻是近幾年的事，最直接的原因是因?yàn)橐恍┬碌拿艽a體系及簽名格式的安全性被認(rèn)為是基于大整數(shù)因數(shù)分解的難解性，因而大整數(shù)因數(shù)分解的任何一點(diǎn)進(jìn)展，都將引起密碼學(xué)家的關(guān)注；另外，大整數(shù)因數(shù)分解屬于NP類，它是否存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法是數(shù)學(xué)家及計(jì)算機(jī)科學(xué)家所極為關(guān)心的。

合數(shù)中的偶合數(shù)約去2n后化為奇數(shù)，所以因數(shù)分解問(wèn)題歸結(jié)為奇數(shù)的分解問(wèn)題。經(jīng)過(guò)多番艱苦嘗試，我發(fā)展出一套獨(dú)樹(shù)一幟的分解方法，M<100000000時(shí)分解成功率高達(dá)100%，而時(shí)間上限僅為3216·（lnM）■，（時(shí)間≤2·log■M·log■M）。以下是我的多項(xiàng)式算法（雙覆蓋法）：

（1）輸入被分解數(shù)M（設(shè)M是一個(gè)大于1的奇數(shù)）。

（2）執(zhí)行：a=M。

（3） 執(zhí)行賦值：a=[a·0.99■·0.94■]+1-mod（[a·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（4）執(zhí)行：求a與M的最大公因子r。

（5）條件：r>1或a窮盡了① ？否，返回（3）；是，進(jìn)入（6）。

（6）條件：r>1？是，則（7）；否，則（8）。

（7）輸出：被分解數(shù)M有真因子r及M/r。

（8）執(zhí)行：b=M+[M■]+mod（[M■]，2）M<[M■]*（[M■]+1）時(shí)；或b=M-{[M■]+mod（[M■]，2）}M>[M■]*（[M■]+1）時(shí)。

（9）執(zhí)行：求b與M的最大公因子r。

（10） 執(zhí)行賦值：b=[b·0.99■·0.94■]+1-mod（[b·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（11）條件：r>1或b窮盡了①？否，返回（9）；是，進(jìn)入（12）。

（12）條件：r>1？否，則（13）；是，則（14）。

（13）輸出：被分解數(shù)M不能經(jīng)由本法分解或M是素?cái)?shù)。

（14）輸出：被分解數(shù)M有真因子r及M/r。

注①：在Excel上就可直觀地看到。

設(shè)M是二素積合數(shù)，M=p■p■（p■

【參考文獻(xiàn)】

[1]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003：212-214

[2]p.里本伯姆，孫淑玲，馮克勤譯.博大精深的素?cái)?shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2007：220-225