一杯咖啡背后的拓?fù)?/h1>
2018-08-27 01:39:06顧險(xiǎn)峰
自然雜志 2018年4期
顧險(xiǎn)峰
紐約州立大學(xué)石溪分校 計(jì)算機(jī)系，紐約 11794
長(zhǎng)島冬季，時(shí)而寒風(fēng)凜冽，滴水成冰，萬(wàn)木蕭疏，天地蒼茫；時(shí)而斜陽(yáng)暖照，溫潤(rùn)和煦，碧水藍(lán)天，波瀾不興。最近在和朋友們一同探討拓?fù)浜蛶缀蔚慕F(xiàn)代理論，賞心悅目，踏雪尋梅。恰逢即將開講代數(shù)拓?fù)?，便以一杯咖啡所引發(fā)的復(fù)雜物理現(xiàn)象為例，淺談一下隱藏在這些物理現(xiàn)象背后的拓?fù)涠ɡ怼＿@些耳熟能詳?shù)睦臃浅Ｖ庇^，但是對(duì)于這些現(xiàn)象的精確解釋需要現(xiàn)代拓?fù)渲R(shí)，最終的證明抽象而簡(jiǎn)短，凝煉如詩(shī)。
1 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)
假如我們?nèi)犴樖婢彽財(cái)嚢杩Х龋苊猱a(chǎn)生氣泡，然后抽離咖啡勺，咖啡會(huì)自行旋轉(zhuǎn)，緩慢停止下來(lái)。在這一過(guò)程中，液體中的每一個(gè)分子的位置都會(huì)發(fā)生移動(dòng)，移動(dòng)的方式取決于咖啡杯的形狀、咖啡的流體力學(xué)性質(zhì)、攪動(dòng)的方式等諸多因素。對(duì)其精確分析相對(duì)困難，但是從拓?fù)渖衔覀兛梢詳嘌裕捍嬖谝粋€(gè)分子，攪拌過(guò)程中離開了初始位置，但是最終又返回了初始位置。
為了方便討論問(wèn)題，我們引入數(shù)學(xué)符號(hào)。令咖啡占據(jù)的三維空間區(qū)域?yàn)棣?，這一區(qū)域的邊界曲面記為?Ω，在這里符號(hào)?代表取邊界。三維區(qū)域Ω可以連續(xù)變形為實(shí)心球體D3，邊界曲面可以連續(xù)變形為標(biāo)準(zhǔn)單位球面S2。這里的連續(xù)形變的意思是變換過(guò)程中沒(méi)有撕裂、沒(méi)有黏合。如果我們用拓?fù)湔Z(yǔ)言來(lái)表述，就是說(shuō)區(qū)域Ω和實(shí)心球體D3拓?fù)渫?，或者拓?fù)涞葍r(jià)；同樣，邊界曲面?Ω和單位球面S2拓?fù)涞葍r(jià)。假設(shè)Ω中的任意一點(diǎn)p∈Ω，攪拌靜止后的位置為q，這樣我們得到一個(gè)自映射 f : Ω→Ω，f (p)=q。因?yàn)閿嚢柽^(guò)程舒緩，沒(méi)有氣泡產(chǎn)生，因此自映射 f : Ω→Ω為連續(xù)映射。我們將證明至少存在一個(gè)點(diǎn)p∈Ω，使得 f (p)=p，即p為不動(dòng)點(diǎn)(fixed point)。不動(dòng)點(diǎn)p有可能是邊界點(diǎn)，p∈?Ω。我們用自然語(yǔ)言來(lái)描述布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理(Brouwer fixed point theorem)，拓?fù)淝蝮w的連續(xù)自映射存在不動(dòng)點(diǎn)。這一定理對(duì)于任意維空間都成立。
證明的思想非常初等，主要是基于反證法。如圖1所示，假設(shè)不存在不動(dòng)點(diǎn)，那么對(duì)于一切點(diǎn)p∈Ω，都有 f (p)≠q。固定點(diǎn)p，我們構(gòu)造一條射線：從 f (p)出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)p，與邊界曲面?Ω交于點(diǎn)q。這樣，我們構(gòu)造了映射φ:Ω→?Ω，φ(p)=q。如果點(diǎn)p是邊界點(diǎn)，p∈?Ω，由構(gòu)造方法我們得到φ(p)=p。這意味著映射在邊界上的限制是邊界到自身的恒同映射：
因?yàn)?f : Ω→Ω是連續(xù)映射，所以φ: Ω→?Ω也是連續(xù)映射。映射φ將三維實(shí)心球體均勻地壓縮到邊界曲面上，如圖1右圖所示。這樣的映射必然會(huì)撕裂球體的中心區(qū)域，因此不可能是連續(xù)的。由此，連續(xù)映射φ:Ω→?Ω不存在，假設(shè)錯(cuò)誤，初始映射 f : Ω→Ω存在不動(dòng)點(diǎn)。
圖1 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)的證明
這一證明的關(guān)鍵是壓縮映射φ: Ω→?Ω撕裂內(nèi)部，這來(lái)自物理直覺(jué)。如果一個(gè)循規(guī)蹈矩的小孩沒(méi)有玩過(guò)橡皮泥，沒(méi)有對(duì)玩具進(jìn)行過(guò)“破壞性創(chuàng)新”，或者終日沉湎于電子游戲，那么他應(yīng)該很難建立起這種直覺(jué)。從這個(gè)角度而言，父母對(duì)于小朋友的淘氣應(yīng)該寬容，并且鼓勵(lì)他們更多地在真實(shí)物理世界中探索。
對(duì)于工程師而言，這一證明足夠嚴(yán)格。但是對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，物理直覺(jué)依賴于人的感官經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法達(dá)到數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性要求。問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將物理直覺(jué)用數(shù)學(xué)理論來(lái)嚴(yán)格闡述并證明。經(jīng)過(guò)前人艱苦卓絕的探索，人們終于用代數(shù)拓?fù)涞姆椒▏?yán)格化了這一物理直覺(jué)。
代數(shù)拓?fù)涞幕臼址ㄊ窃谕負(fù)淇臻g上定義各種群，群結(jié)構(gòu)反映了空間的拓?fù)湫再|(zhì)。拓?fù)淇臻g之間的映射誘導(dǎo)了相應(yīng)群之間的映射(群同態(tài))，這些群的同態(tài)反映了拓?fù)溆成涞男再|(zhì)。換言之，我們將拓?fù)浞懂犛成涞酱鷶?shù)范疇，并且這個(gè)映射保持了結(jié)構(gòu)和關(guān)系(即范疇間的映射是函子的)。我們考察拓?fù)淇臻gΩ中的封閉曲面，如果兩個(gè)曲面構(gòu)成了空間Ω中某個(gè)三維體的邊界，那么我們說(shuō)這兩個(gè)曲面彼此同調(diào)等價(jià)(homological)。Ω中所有封閉曲面的同調(diào)等價(jià)類在加法下構(gòu)成二維同調(diào)群，記為H2(Ω, Z)。實(shí)心球體中所有的封閉曲面都是某個(gè)三維體的邊界，因此所有的封閉曲面都同調(diào)等價(jià)于0，二維同調(diào)群H2(Ω, Z)只有一個(gè)0元素。?Ω為拓?fù)淝蛎?，里面有個(gè)氣泡，?Ω本身為封閉曲面，并且不是任何三維體的邊界，所有封閉曲面都是?Ω的整數(shù)倍，因此二維同調(diào)群H2(Ω, Z)等于整數(shù)加群Z。由此，我們得到拓?fù)淇臻g的映射序列：
這里第一個(gè)箭頭表示?Ω在Ω中的包含映射(inclusion)，第二個(gè)箭頭是三維球體到二維球面的壓縮映射。復(fù)合映射φ°i: ?Ω→?Ω是邊界到自身的恒同映射。這個(gè)映射序列誘導(dǎo)了二維同調(diào)群之間的同態(tài)序列：
因?yàn)橹虚g出現(xiàn)0群，所以復(fù)合映射φ*°i*: Z→Z必為0；另外，我們有φ°i為恒同映射，φ*°i*: Z→Z應(yīng)該為1，矛盾。因此，連續(xù)的降維壓縮映射φ:Ω→?Ω并不存在。布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理成立。
人類通過(guò)幼年玩耍建立了物理直覺(jué)，那么今天的人工智能算法是否可以勝任呢？首先，我們這里依賴的是降維壓縮映射的不存在性，我們無(wú)法提供標(biāo)注訓(xùn)練數(shù)據(jù)，用人工智能算法學(xué)習(xí)某種映射的不存在性。其次，代數(shù)拓?fù)鋵用娴拇鷶?shù)運(yùn)算，用吳文俊先生發(fā)明的方法原則上能夠用符號(hào)推理實(shí)現(xiàn)。但是，計(jì)算機(jī)只能停留在符號(hào)演繹的水平，無(wú)法理解群同態(tài)序列后面的物理實(shí)際。這里至關(guān)重要的一步是將物理直覺(jué)提煉成概念，形式化成符號(hào)體系，總結(jié)出代數(shù)運(yùn)算法則。從物理實(shí)際抽象成符號(hào)體系，這一步人工智能無(wú)法完成。這也是人類智能和動(dòng)物智能的分水嶺，更是目前人類智能和人工智能的本質(zhì)差別之一。
2 咖啡拉花的不變模式
我們進(jìn)一步觀察咖啡拉花的模式?？Х缺砻姹环指畛砂咨呐Ｄ膛菽瓍^(qū)域和褐色的咖啡脂泡沫區(qū)域，奶泡區(qū)域作為前景，咖啡泡區(qū)域作為背景，構(gòu)成各種圖案。我們緩慢攪拌咖啡，拉花的模式將會(huì)變得愈發(fā)復(fù)雜，最后與背景充分融合。我們?cè)噲D理解拉花模式的變化規(guī)律，和融合速率的定量描述。
圖2顯示了一個(gè)攪拌過(guò)程的理想實(shí)驗(yàn)，白色區(qū)域代表牛奶泡沫，淡黃色區(qū)域代表咖啡脂泡沫。我們放置3個(gè)用于攪拌的咖啡勺，用紅、綠、藍(lán)三個(gè)圓洞代表。每一次攪拌固定一個(gè)咖啡勺，另外兩個(gè)咖啡勺旋轉(zhuǎn)互換，如圖2中深綠色圓弧所示。白色區(qū)域?qū)?huì)被拉長(zhǎng)折疊，拉花模式趨于復(fù)雜。幾次迭代之后，白色區(qū)域的邊界曲線就很難徒手畫出來(lái)。
圖2 攪拌咖啡誘發(fā)拉花模式的變化(兩次旋轉(zhuǎn)算作一次迭代映射)
如果缺乏日常生活經(jīng)驗(yàn)，這里的描述可能依然費(fèi)解。在曼哈頓有幾家中餐館，大廚在臨街的玻璃櫥窗中做手工抻面或者各種面點(diǎn)，手工拉面的過(guò)程與咖啡攪拌過(guò)程比較相像，面條被多次拉伸和折疊，愈來(lái)愈細(xì)。在美國(guó)很多糖果店都有一種太妃糖銷售，太妃糖和中國(guó)的麥芽糖相近，非常黏稠，延展性較強(qiáng)。糖果店中經(jīng)常有一種太妃糖拉伸器(taffy puller)，由多根不銹鋼圓柱構(gòu)成。太妃糖做成的圓環(huán)套在兩根圓柱上，這些圓柱在空中依照固定模式旋轉(zhuǎn)，太妃糖被拉伸折疊，自我纏繞，變得愈來(lái)愈細(xì)，材質(zhì)混合均勻。
太妃糖拉伸器的動(dòng)態(tài)攪拌過(guò)程，非常像模式復(fù)雜的抻面過(guò)程。很多時(shí)候，小孩在糖果店目不轉(zhuǎn)睛地看著太妃糖拉伸器在運(yùn)轉(zhuǎn)，旁邊的父母經(jīng)常不耐煩地催促。實(shí)際上小朋友在努力地學(xué)習(xí)拓?fù)洌赡墚?dāng)年的瑟斯頓(Thurston)就是這樣一個(gè)小孩。隨著攪拌次數(shù)的增加，太妃糖的曲線演化得愈發(fā)復(fù)雜，瑟斯頓卻天才地發(fā)現(xiàn)了某種不變的模式。
圖3 太妃糖拉伸器(taffy puller)
圖4 拉花變換中的不變量：火車道(train track)
我們將咖啡表面視作圓盤上去掉三個(gè)點(diǎn)，每次攪拌看成一次自映射，封閉曲線在自映射的迭代下變成另外一條曲線。如圖4所示，我們?cè)诳Х缺砻嫔蠈⒈舜似叫械那€段捏在一起，得到一個(gè)分支(branch)，分支的權(quán)重等于多少股被捏成這條分支。分支在道岔(switch)處匯合，兩條駛?cè)敕种R聚成一條駛出分支，駛?cè)敕种У臋?quán)重之和等于駛出分支的權(quán)重。圖5和圖6左幀的每條豎線代表一條分支(branch)，豎線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于這一分支的權(quán)重。這樣我們得到了所謂的火車道(train track)模型。這個(gè)火車道實(shí)際上只有兩個(gè)獨(dú)立變量a和b，其他權(quán)重都可以由(a, b)推出。
圖5 拉花變換中的不變量：第一次迭代映射后的火車道權(quán)重(train track weight)
圖6 拉花變換中的不變量：第二次迭代映射后的火車道權(quán)重
每條封閉曲線都可以被一個(gè)火車道來(lái)代表。同時(shí)，每個(gè)火車道可以表示無(wú)窮多條封閉曲線。對(duì)比圖2的左下幀和圖4的左幀，我們看到經(jīng)過(guò)迭代后，曲線發(fā)生了巨大變化，它們對(duì)應(yīng)的火車道卻是相同的。這意味著在這種攪拌方式下，迭代的拉花愈來(lái)愈復(fù)雜，它們對(duì)應(yīng)的“火車道”卻是不變的。迭代過(guò)程中，火車道分支上的權(quán)重滿足線性映射：
進(jìn)一步觀察，我們發(fā)現(xiàn)在迭代中火車道的權(quán)重滿足斐波那契數(shù)列，因此曲線的長(zhǎng)度和迭代次數(shù)滿足指數(shù)關(guān)系，n次迭代后曲線長(zhǎng)度的n次方根收斂到一個(gè)常數(shù)，被稱為攪拌映射的拉伸系數(shù)。這個(gè)拉伸系數(shù)等于上述矩陣的特征根，拉伸系數(shù)的大小給出了奶泡和咖啡泡區(qū)域融合速率的定量描述。
瑟斯頓將這一觀察進(jìn)行了深刻的推廣，建立了曲面映射分類的宏偉理論，其核心思想依然是布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。給定一個(gè)拓?fù)淝?，假設(shè)其歐拉示性數(shù)(Euler characteristic)為負(fù)，曲面上所有的簡(jiǎn)單閉曲線都可以用火車道來(lái)表示。曲面也可以配備雙曲黎曼度量，即高斯曲率處處為-1的黎曼度量。依據(jù)泰希米勒(Teichmuller)理論，所有的雙曲度量構(gòu)成一個(gè)高維空間的球體Ω，球中的每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)雙曲度量。但是這個(gè)球體是開的，其邊界沒(méi)有定義。瑟斯頓看出，邊界?Ω由曲面上所有的火車道(及其閉包)構(gòu)成，每個(gè)邊界點(diǎn)都代表一個(gè)火車道。Ω和邊界?Ω一同構(gòu)成了一個(gè)閉球體，我們稱之為緊化的泰希米勒空間。曲面的任意一個(gè)連續(xù)自映射都把一個(gè)雙曲度量映成另外一個(gè)雙曲度量，一個(gè)火車道映成另外一個(gè)火車道，即誘導(dǎo)了一個(gè)緊化泰希米勒空間的連續(xù)自映射。根據(jù)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，這個(gè)自映射存在不動(dòng)點(diǎn)。如果這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在緊化泰希米勒空間的內(nèi)部，則這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是某個(gè)雙曲度量，這個(gè)自映射的某次冪同倫于曲面的恒同映射，這個(gè)映射被稱為是周期的映射；如果有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在緊化泰希米勒空間的邊界上，則它們都是火車道，火車道權(quán)重的改變系數(shù)是拉伸系數(shù)，這個(gè)映射被稱為是Pseudo-Anosov映射；還有一種情況，曲面上存在一族封閉曲線，這個(gè)映射將這些曲線進(jìn)行排列，曲面被這些曲線分割成不同的聯(lián)通分支，在每個(gè)聯(lián)通分支上映射是Pseudo-Anosov類型的。
瑟斯頓的理論抽象而深刻，但是觀察咖啡拉花，我們可以體會(huì)其內(nèi)在精髓。平易近人的布勞威爾給出了嚴(yán)格的定理證明，但是這里緊化泰希米勒空間的理解需要較深的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)和天馬行空的想象力。
3 小結(jié)
從應(yīng)用層面上來(lái)講，所有的方程求解問(wèn)題等價(jià)于求不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，代數(shù)方程、微分方程和積分方程都可以統(tǒng)一到這個(gè)框架之下。所有的迭代算法問(wèn)題也可以歸結(jié)為求解不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)漫、動(dòng)畫的圖像渲染等價(jià)于求解一個(gè)積分方程的不動(dòng)點(diǎn)，人工智能中的對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)(GAN)等價(jià)于求解納什均衡點(diǎn)。這些方程解的存在性和算法的收斂性都是基于布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的某種形式的推廣。
品咖啡是很多人日常生活的一部分。從一杯咖啡的攪拌我們可以想象到布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)，從奶泡拉花我們可以觀察到曲面自映射的動(dòng)力學(xué)，其背后隱藏的拓?fù)鋵W(xué)原理抽象而凝煉，卻又質(zhì)樸而直觀，從中我們可以體會(huì)到拓?fù)鋵W(xué)的簡(jiǎn)潔優(yōu)美和人類抽象思維的深邃精密。
顧險(xiǎn)峰
紐約州立大學(xué)石溪分校 計(jì)算機(jī)系，紐約 11794
長(zhǎng)島冬季，時(shí)而寒風(fēng)凜冽，滴水成冰，萬(wàn)木蕭疏，天地蒼茫；時(shí)而斜陽(yáng)暖照，溫潤(rùn)和煦，碧水藍(lán)天，波瀾不興。最近在和朋友們一同探討拓?fù)浜蛶缀蔚慕F(xiàn)代理論，賞心悅目，踏雪尋梅。恰逢即將開講代數(shù)拓?fù)?，便以一杯咖啡所引發(fā)的復(fù)雜物理現(xiàn)象為例，淺談一下隱藏在這些物理現(xiàn)象背后的拓?fù)涠ɡ怼＿@些耳熟能詳?shù)睦臃浅Ｖ庇^，但是對(duì)于這些現(xiàn)象的精確解釋需要現(xiàn)代拓?fù)渲R(shí)，最終的證明抽象而簡(jiǎn)短，凝煉如詩(shī)。
1 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)
假如我們?nèi)犴樖婢彽財(cái)嚢杩Х龋苊猱a(chǎn)生氣泡，然后抽離咖啡勺，咖啡會(huì)自行旋轉(zhuǎn)，緩慢停止下來(lái)。在這一過(guò)程中，液體中的每一個(gè)分子的位置都會(huì)發(fā)生移動(dòng)，移動(dòng)的方式取決于咖啡杯的形狀、咖啡的流體力學(xué)性質(zhì)、攪動(dòng)的方式等諸多因素。對(duì)其精確分析相對(duì)困難，但是從拓?fù)渖衔覀兛梢詳嘌裕捍嬖谝粋€(gè)分子，攪拌過(guò)程中離開了初始位置，但是最終又返回了初始位置。
為了方便討論問(wèn)題，我們引入數(shù)學(xué)符號(hào)。令咖啡占據(jù)的三維空間區(qū)域?yàn)棣?，這一區(qū)域的邊界曲面記為?Ω，在這里符號(hào)?代表取邊界。三維區(qū)域Ω可以連續(xù)變形為實(shí)心球體D3，邊界曲面可以連續(xù)變形為標(biāo)準(zhǔn)單位球面S2。這里的連續(xù)形變的意思是變換過(guò)程中沒(méi)有撕裂、沒(méi)有黏合。如果我們用拓?fù)湔Z(yǔ)言來(lái)表述，就是說(shuō)區(qū)域Ω和實(shí)心球體D3拓?fù)渫?，或者拓?fù)涞葍r(jià)；同樣，邊界曲面?Ω和單位球面S2拓?fù)涞葍r(jià)。假設(shè)Ω中的任意一點(diǎn)p∈Ω，攪拌靜止后的位置為q，這樣我們得到一個(gè)自映射 f : Ω→Ω，f (p)=q。因?yàn)閿嚢柽^(guò)程舒緩，沒(méi)有氣泡產(chǎn)生，因此自映射 f : Ω→Ω為連續(xù)映射。我們將證明至少存在一個(gè)點(diǎn)p∈Ω，使得 f (p)=p，即p為不動(dòng)點(diǎn)(fixed point)。不動(dòng)點(diǎn)p有可能是邊界點(diǎn)，p∈?Ω。我們用自然語(yǔ)言來(lái)描述布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理(Brouwer fixed point theorem)，拓?fù)淝蝮w的連續(xù)自映射存在不動(dòng)點(diǎn)。這一定理對(duì)于任意維空間都成立。
證明的思想非常初等，主要是基于反證法。如圖1所示，假設(shè)不存在不動(dòng)點(diǎn)，那么對(duì)于一切點(diǎn)p∈Ω，都有 f (p)≠q。固定點(diǎn)p，我們構(gòu)造一條射線：從 f (p)出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)p，與邊界曲面?Ω交于點(diǎn)q。這樣，我們構(gòu)造了映射φ:Ω→?Ω，φ(p)=q。如果點(diǎn)p是邊界點(diǎn)，p∈?Ω，由構(gòu)造方法我們得到φ(p)=p。這意味著映射在邊界上的限制是邊界到自身的恒同映射：
因?yàn)?f : Ω→Ω是連續(xù)映射，所以φ: Ω→?Ω也是連續(xù)映射。映射φ將三維實(shí)心球體均勻地壓縮到邊界曲面上，如圖1右圖所示。這樣的映射必然會(huì)撕裂球體的中心區(qū)域，因此不可能是連續(xù)的。由此，連續(xù)映射φ:Ω→?Ω不存在，假設(shè)錯(cuò)誤，初始映射 f : Ω→Ω存在不動(dòng)點(diǎn)。
圖1 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)的證明
這一證明的關(guān)鍵是壓縮映射φ: Ω→?Ω撕裂內(nèi)部，這來(lái)自物理直覺(jué)。如果一個(gè)循規(guī)蹈矩的小孩沒(méi)有玩過(guò)橡皮泥，沒(méi)有對(duì)玩具進(jìn)行過(guò)“破壞性創(chuàng)新”，或者終日沉湎于電子游戲，那么他應(yīng)該很難建立起這種直覺(jué)。從這個(gè)角度而言，父母對(duì)于小朋友的淘氣應(yīng)該寬容，并且鼓勵(lì)他們更多地在真實(shí)物理世界中探索。
對(duì)于工程師而言，這一證明足夠嚴(yán)格。但是對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，物理直覺(jué)依賴于人的感官經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法達(dá)到數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性要求。問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將物理直覺(jué)用數(shù)學(xué)理論來(lái)嚴(yán)格闡述并證明。經(jīng)過(guò)前人艱苦卓絕的探索，人們終于用代數(shù)拓?fù)涞姆椒▏?yán)格化了這一物理直覺(jué)。
代數(shù)拓?fù)涞幕臼址ㄊ窃谕負(fù)淇臻g上定義各種群，群結(jié)構(gòu)反映了空間的拓?fù)湫再|(zhì)。拓?fù)淇臻g之間的映射誘導(dǎo)了相應(yīng)群之間的映射(群同態(tài))，這些群的同態(tài)反映了拓?fù)溆成涞男再|(zhì)。換言之，我們將拓?fù)浞懂犛成涞酱鷶?shù)范疇，并且這個(gè)映射保持了結(jié)構(gòu)和關(guān)系(即范疇間的映射是函子的)。我們考察拓?fù)淇臻gΩ中的封閉曲面，如果兩個(gè)曲面構(gòu)成了空間Ω中某個(gè)三維體的邊界，那么我們說(shuō)這兩個(gè)曲面彼此同調(diào)等價(jià)(homological)。Ω中所有封閉曲面的同調(diào)等價(jià)類在加法下構(gòu)成二維同調(diào)群，記為H2(Ω, Z)。實(shí)心球體中所有的封閉曲面都是某個(gè)三維體的邊界，因此所有的封閉曲面都同調(diào)等價(jià)于0，二維同調(diào)群H2(Ω, Z)只有一個(gè)0元素。?Ω為拓?fù)淝蛎?，里面有個(gè)氣泡，?Ω本身為封閉曲面，并且不是任何三維體的邊界，所有封閉曲面都是?Ω的整數(shù)倍，因此二維同調(diào)群H2(Ω, Z)等于整數(shù)加群Z。由此，我們得到拓?fù)淇臻g的映射序列：
這里第一個(gè)箭頭表示?Ω在Ω中的包含映射(inclusion)，第二個(gè)箭頭是三維球體到二維球面的壓縮映射。復(fù)合映射φ°i: ?Ω→?Ω是邊界到自身的恒同映射。這個(gè)映射序列誘導(dǎo)了二維同調(diào)群之間的同態(tài)序列：
因?yàn)橹虚g出現(xiàn)0群，所以復(fù)合映射φ*°i*: Z→Z必為0；另外，我們有φ°i為恒同映射，φ*°i*: Z→Z應(yīng)該為1，矛盾。因此，連續(xù)的降維壓縮映射φ:Ω→?Ω并不存在。布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理成立。
人類通過(guò)幼年玩耍建立了物理直覺(jué)，那么今天的人工智能算法是否可以勝任呢？首先，我們這里依賴的是降維壓縮映射的不存在性，我們無(wú)法提供標(biāo)注訓(xùn)練數(shù)據(jù)，用人工智能算法學(xué)習(xí)某種映射的不存在性。其次，代數(shù)拓?fù)鋵用娴拇鷶?shù)運(yùn)算，用吳文俊先生發(fā)明的方法原則上能夠用符號(hào)推理實(shí)現(xiàn)。但是，計(jì)算機(jī)只能停留在符號(hào)演繹的水平，無(wú)法理解群同態(tài)序列后面的物理實(shí)際。這里至關(guān)重要的一步是將物理直覺(jué)提煉成概念，形式化成符號(hào)體系，總結(jié)出代數(shù)運(yùn)算法則。從物理實(shí)際抽象成符號(hào)體系，這一步人工智能無(wú)法完成。這也是人類智能和動(dòng)物智能的分水嶺，更是目前人類智能和人工智能的本質(zhì)差別之一。
2 咖啡拉花的不變模式
我們進(jìn)一步觀察咖啡拉花的模式?？Х缺砻姹环指畛砂咨呐Ｄ膛菽瓍^(qū)域和褐色的咖啡脂泡沫區(qū)域，奶泡區(qū)域作為前景，咖啡泡區(qū)域作為背景，構(gòu)成各種圖案。我們緩慢攪拌咖啡，拉花的模式將會(huì)變得愈發(fā)復(fù)雜，最后與背景充分融合。我們?cè)噲D理解拉花模式的變化規(guī)律，和融合速率的定量描述。
圖2顯示了一個(gè)攪拌過(guò)程的理想實(shí)驗(yàn)，白色區(qū)域代表牛奶泡沫，淡黃色區(qū)域代表咖啡脂泡沫。我們放置3個(gè)用于攪拌的咖啡勺，用紅、綠、藍(lán)三個(gè)圓洞代表。每一次攪拌固定一個(gè)咖啡勺，另外兩個(gè)咖啡勺旋轉(zhuǎn)互換，如圖2中深綠色圓弧所示。白色區(qū)域?qū)?huì)被拉長(zhǎng)折疊，拉花模式趨于復(fù)雜。幾次迭代之后，白色區(qū)域的邊界曲線就很難徒手畫出來(lái)。
圖2 攪拌咖啡誘發(fā)拉花模式的變化(兩次旋轉(zhuǎn)算作一次迭代映射)
如果缺乏日常生活經(jīng)驗(yàn)，這里的描述可能依然費(fèi)解。在曼哈頓有幾家中餐館，大廚在臨街的玻璃櫥窗中做手工抻面或者各種面點(diǎn)，手工拉面的過(guò)程與咖啡攪拌過(guò)程比較相像，面條被多次拉伸和折疊，愈來(lái)愈細(xì)。在美國(guó)很多糖果店都有一種太妃糖銷售，太妃糖和中國(guó)的麥芽糖相近，非常黏稠，延展性較強(qiáng)。糖果店中經(jīng)常有一種太妃糖拉伸器(taffy puller)，由多根不銹鋼圓柱構(gòu)成。太妃糖做成的圓環(huán)套在兩根圓柱上，這些圓柱在空中依照固定模式旋轉(zhuǎn)，太妃糖被拉伸折疊，自我纏繞，變得愈來(lái)愈細(xì)，材質(zhì)混合均勻。
太妃糖拉伸器的動(dòng)態(tài)攪拌過(guò)程，非常像模式復(fù)雜的抻面過(guò)程。很多時(shí)候，小孩在糖果店目不轉(zhuǎn)睛地看著太妃糖拉伸器在運(yùn)轉(zhuǎn)，旁邊的父母經(jīng)常不耐煩地催促。實(shí)際上小朋友在努力地學(xué)習(xí)拓?fù)洌赡墚?dāng)年的瑟斯頓(Thurston)就是這樣一個(gè)小孩。隨著攪拌次數(shù)的增加，太妃糖的曲線演化得愈發(fā)復(fù)雜，瑟斯頓卻天才地發(fā)現(xiàn)了某種不變的模式。
圖3 太妃糖拉伸器(taffy puller)
圖4 拉花變換中的不變量：火車道(train track)
我們將咖啡表面視作圓盤上去掉三個(gè)點(diǎn)，每次攪拌看成一次自映射，封閉曲線在自映射的迭代下變成另外一條曲線。如圖4所示，我們?cè)诳Х缺砻嫔蠈⒈舜似叫械那€段捏在一起，得到一個(gè)分支(branch)，分支的權(quán)重等于多少股被捏成這條分支。分支在道岔(switch)處匯合，兩條駛?cè)敕种R聚成一條駛出分支，駛?cè)敕种У臋?quán)重之和等于駛出分支的權(quán)重。圖5和圖6左幀的每條豎線代表一條分支(branch)，豎線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于這一分支的權(quán)重。這樣我們得到了所謂的火車道(train track)模型。這個(gè)火車道實(shí)際上只有兩個(gè)獨(dú)立變量a和b，其他權(quán)重都可以由(a, b)推出。
圖5 拉花變換中的不變量：第一次迭代映射后的火車道權(quán)重(train track weight)
圖6 拉花變換中的不變量：第二次迭代映射后的火車道權(quán)重
每條封閉曲線都可以被一個(gè)火車道來(lái)代表。同時(shí)，每個(gè)火車道可以表示無(wú)窮多條封閉曲線。對(duì)比圖2的左下幀和圖4的左幀，我們看到經(jīng)過(guò)迭代后，曲線發(fā)生了巨大變化，它們對(duì)應(yīng)的火車道卻是相同的。這意味著在這種攪拌方式下，迭代的拉花愈來(lái)愈復(fù)雜，它們對(duì)應(yīng)的“火車道”卻是不變的。迭代過(guò)程中，火車道分支上的權(quán)重滿足線性映射：
進(jìn)一步觀察，我們發(fā)現(xiàn)在迭代中火車道的權(quán)重滿足斐波那契數(shù)列，因此曲線的長(zhǎng)度和迭代次數(shù)滿足指數(shù)關(guān)系，n次迭代后曲線長(zhǎng)度的n次方根收斂到一個(gè)常數(shù)，被稱為攪拌映射的拉伸系數(shù)。這個(gè)拉伸系數(shù)等于上述矩陣的特征根，拉伸系數(shù)的大小給出了奶泡和咖啡泡區(qū)域融合速率的定量描述。
瑟斯頓將這一觀察進(jìn)行了深刻的推廣，建立了曲面映射分類的宏偉理論，其核心思想依然是布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。給定一個(gè)拓?fù)淝?，假設(shè)其歐拉示性數(shù)(Euler characteristic)為負(fù)，曲面上所有的簡(jiǎn)單閉曲線都可以用火車道來(lái)表示。曲面也可以配備雙曲黎曼度量，即高斯曲率處處為-1的黎曼度量。依據(jù)泰希米勒(Teichmuller)理論，所有的雙曲度量構(gòu)成一個(gè)高維空間的球體Ω，球中的每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)雙曲度量。但是這個(gè)球體是開的，其邊界沒(méi)有定義。瑟斯頓看出，邊界?Ω由曲面上所有的火車道(及其閉包)構(gòu)成，每個(gè)邊界點(diǎn)都代表一個(gè)火車道。Ω和邊界?Ω一同構(gòu)成了一個(gè)閉球體，我們稱之為緊化的泰希米勒空間。曲面的任意一個(gè)連續(xù)自映射都把一個(gè)雙曲度量映成另外一個(gè)雙曲度量，一個(gè)火車道映成另外一個(gè)火車道，即誘導(dǎo)了一個(gè)緊化泰希米勒空間的連續(xù)自映射。根據(jù)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，這個(gè)自映射存在不動(dòng)點(diǎn)。如果這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在緊化泰希米勒空間的內(nèi)部，則這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是某個(gè)雙曲度量，這個(gè)自映射的某次冪同倫于曲面的恒同映射，這個(gè)映射被稱為是周期的映射；如果有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在緊化泰希米勒空間的邊界上，則它們都是火車道，火車道權(quán)重的改變系數(shù)是拉伸系數(shù)，這個(gè)映射被稱為是Pseudo-Anosov映射；還有一種情況，曲面上存在一族封閉曲線，這個(gè)映射將這些曲線進(jìn)行排列，曲面被這些曲線分割成不同的聯(lián)通分支，在每個(gè)聯(lián)通分支上映射是Pseudo-Anosov類型的。
瑟斯頓的理論抽象而深刻，但是觀察咖啡拉花，我們可以體會(huì)其內(nèi)在精髓。平易近人的布勞威爾給出了嚴(yán)格的定理證明，但是這里緊化泰希米勒空間的理解需要較深的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)和天馬行空的想象力。
3 小結(jié)
從應(yīng)用層面上來(lái)講，所有的方程求解問(wèn)題等價(jià)于求不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，代數(shù)方程、微分方程和積分方程都可以統(tǒng)一到這個(gè)框架之下。所有的迭代算法問(wèn)題也可以歸結(jié)為求解不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)漫、動(dòng)畫的圖像渲染等價(jià)于求解一個(gè)積分方程的不動(dòng)點(diǎn)，人工智能中的對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)(GAN)等價(jià)于求解納什均衡點(diǎn)。這些方程解的存在性和算法的收斂性都是基于布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的某種形式的推廣。
品咖啡是很多人日常生活的一部分。從一杯咖啡的攪拌我們可以想象到布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)，從奶泡拉花我們可以觀察到曲面自映射的動(dòng)力學(xué)，其背后隱藏的拓?fù)鋵W(xué)原理抽象而凝煉，卻又質(zhì)樸而直觀，從中我們可以體會(huì)到拓?fù)鋵W(xué)的簡(jiǎn)潔優(yōu)美和人類抽象思維的深邃精密。
