誘導(dǎo)公式運(yùn)用的"兩步法"探索

檀富娥

摘 要：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式由于種類繁多，而且應(yīng)用起來(lái)常常是結(jié)合起來(lái)綜合考察，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)很容易出錯(cuò)。本文將摒棄公式的記憶和應(yīng)用，結(jié)合日常的教學(xué)反思和推理論證，給出誘導(dǎo)公式"兩步法"，即只需利用兩個(gè)步驟解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：象限角符號(hào)；相關(guān)銳角

一、前言

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的重要公式，目的是為了求任意角的三角函數(shù)值，其作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)。但由于誘導(dǎo)公式繁且多，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不僅記憶公式比較容易混淆，而且應(yīng)用起來(lái)更是各種公式結(jié)合應(yīng)用，增加難度。

二、兩步法探索。我們來(lái)看看下列幾組常用誘導(dǎo)公式：見(jiàn)圖1-1。

認(rèn)真觀察誘導(dǎo)公式我們發(fā)現(xiàn)，前四組公式主要是符號(hào)的變化，角度是沒(méi)有變的，第一組 ，第二組 ，第三組α與 –α，第四組 ，化簡(jiǎn)的角度都還是α的三角函數(shù)，不過(guò)符號(hào)可能有變化。而最后一組公式中 及 與 則增加了一個(gè)變化就是名稱對(duì)應(yīng)變了。所以我們歸納誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)就完成兩點(diǎn)就夠了，第一是符號(hào)，第二是角，這個(gè)角只能是銳角，最后將兩步結(jié)合就得到最終的結(jié)果。下面對(duì)此“兩步法”進(jìn)行闡述：

第一步：找象限，定符號(hào)

這一步驟我們可以解決三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題。我們求任意一個(gè)角的三角函數(shù)，那么角的象限已經(jīng)固定下來(lái)了，因此我們可以通過(guò)尋找任意角的終邊相同的角，將角的終邊所在象限找到，那么最后的符號(hào)就決定了，我們可以叫它終極符號(hào)，不管中間經(jīng)過(guò)多少次轉(zhuǎn)化，這就是這個(gè)三角函數(shù)最后的符號(hào)，而且是唯一正確的符號(hào)。

比如，求sin（-390°），與-390°終邊相同的角可以通過(guò)運(yùn)算-390°+360°=-30°，是第四象限角，由三角函數(shù)在各象限的符號(hào)口訣我們可以知道，終極符號(hào)為負(fù)。常見(jiàn)的符號(hào)判斷口訣第一種是：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全是“-”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”。還有一種是“ASCT”反Z。需要說(shuō)明的是，在這些關(guān)于象限角符號(hào)的記憶法中，忽略了另外的三個(gè)三角函數(shù)cot，sec，csc ，這是因?yàn)檫@三個(gè)三角函數(shù)都是正弦，余弦，正切的倒數(shù)，跟這些三角函數(shù)的符號(hào)是一致的。

第二步：巧作差，找銳角

這一步我們來(lái)解決角的問(wèn)題。由三角函數(shù)的定義，我們知道三角函數(shù)的值取決于角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)角α為銳角，終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y）。（如圖1-2）

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，我們知道終邊位于第一象限的角，即過(guò)點(diǎn)P（x，y），它的三角函數(shù)值就是銳角 的三角函數(shù)值， 由于對(duì)稱的關(guān)系，上述不管哪個(gè)象限的角均與銳角α有關(guān)系，且他們的三角函數(shù)值除了符號(hào)正負(fù)不同，大小都與銳角α的三角函數(shù)相同，由于終極符號(hào)的問(wèn)題我們?cè)诘谝粋€(gè)問(wèn)題中已經(jīng)解決，所以現(xiàn)在只剩下大小的問(wèn)題，不管角位于哪個(gè)象限，我們只需要找到這個(gè)與之相關(guān)的銳角α就可以了，我把它叫做相關(guān)銳角。通過(guò)上圖，我們看到這個(gè)相關(guān)銳角α都是出現(xiàn)在x軸上下，也就是大小與180°或0°或360°相差的銳角，所以這個(gè)相關(guān)銳角α可以通過(guò)借用第一步的那個(gè)終邊相同的角與180°或0°或360°比較所得的差值得到，且這個(gè)差值必須是銳角。

比如，求sin（-390°），在第一步我們找到的終邊相同的角是-30°，與0°相比，差值是30°，則sin（-390°）最后的值與sin30°的值大小相同。結(jié)合以上兩步，第一步符號(hào)為負(fù)，第二步，大小為 sin30°，則 sin（-390°）最后的化簡(jiǎn)結(jié)果為-sin30°。我們?cè)賹⑸鲜鲞@兩個(gè)步驟結(jié)合應(yīng)用一下，再比如計(jì)算cos945°第一步：找象限，定符號(hào)。945°-360°*2=225°，則與945°邊相同的角在第三象限，它的余弦值為“-”；第二步：找相關(guān)銳角。225°的這個(gè)角位于第三象限，在180°的下方，與180°相差的銳角是45°，則最終值的大小是cos45°；第三步：綜合前兩步。cos945°=-cos45°= 。在實(shí)際的教學(xué)中，如果遇到用弧度角表示的三角函數(shù)的計(jì)算，可以用弧度角的相關(guān)判斷來(lái)表示，也可以先將弧度角轉(zhuǎn)化成角度角表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。

三、“兩步法”運(yùn)用舉例

現(xiàn)在，我們用這樣的兩個(gè)步驟來(lái)驗(yàn)證上述的幾組誘導(dǎo)公式，將α看成銳角，這個(gè)就直接解決了我們上述方法的第二步，有關(guān)銳角大小的問(wèn)題，我們只要看看符號(hào)，見(jiàn)圖1-3.

我們通過(guò)象限符號(hào)和相關(guān)銳角的兩個(gè)步驟得出的公式與常用的誘導(dǎo)公式是一致的。那么在日常的學(xué)習(xí)中，我們可以采用這種思考的方式來(lái)完成練習(xí)。比如：化簡(jiǎn)tan（3π-α）。第一步：找象限，定符號(hào)。（3π-α）-2π=π-α，位于第二象限，正切值為負(fù)；第二步，相關(guān)銳角就是α，則最終的化簡(jiǎn)結(jié)果為tan（3π-α）= -tanα。

最后，我們看看第五組誘導(dǎo)公式， 及 ，由觀察我們得知，這組公式用的相比較的角是y軸上的角，除了名稱要相應(yīng)改變，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.，在符號(hào)和角的大小上面沒(méi)有什么不同。由此我們得知，在誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)中，終極符號(hào)可以通過(guò)象限確定后，在相關(guān)銳角的選擇上，如果用的是x軸上的角（比如（180°，0°，360°，）來(lái)比較差值，則名稱不用改變，如果用y軸上的角（比如90°，270°）來(lái)比較則需要將三角函數(shù)的名稱做改變。

面對(duì)基礎(chǔ)較差的中職學(xué)校學(xué)生，在教學(xué)中更要注重化繁為簡(jiǎn)，化難為易。本文所探討“兩步法”是有關(guān)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式最簡(jiǎn)單和初步的應(yīng)用，對(duì)于中職學(xué)校的學(xué)生而言，經(jīng)過(guò)總結(jié)之后的方法容易入手，運(yùn)用簡(jiǎn)單，方便掌握。教無(wú)定法，貴在得法。在教學(xué)中，用心發(fā)現(xiàn)，用心歸納，用心總結(jié)，這是一名教師應(yīng)該具備的能力。