空間均勻球殼產(chǎn)生引力場蘊含的深層物理思維

賈文靜 肖 東

(福建省廈門集美中學(xué),福建 廈門 361021)

類比法作為一種科學(xué)研究方法,在物理學(xué)中起到重要作用.許多重要的物理規(guī)律都是由它引導(dǎo)產(chǎn)生的,例如開普勒的行星運動規(guī)律,麥克斯韋電磁場理論,德布羅意波粒二象性理論等等.[1]所謂類比法,它是指具有某些相似性質(zhì)的兩個對象在其他方面也可能具有某種相似的性質(zhì)或規(guī)律,它是一種從特殊到特殊的邏輯推理方法,當(dāng)然類比法得出的推論是或然的,所有的類比結(jié)果都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撜J(rèn)證或?qū)嶒烌炞C,才能被物理學(xué)家接受.

類比法同樣在物理教學(xué)中也起著關(guān)鍵性的作用,例如萬有引力和庫侖力的類比教學(xué),比值定義法的類比教學(xué),以及機械振動和電磁振蕩的類比教學(xué)等等.[2]通過類比法可以使得新舊知識建構(gòu)聯(lián)系,不僅能夠化抽象為具體,讓學(xué)生觸類旁通,達到溫故而知新的作用,并且能夠提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、處理問題以及獨立解決問題的能力[3，4].

1 引出問題

文獻[5]《密度均勻球殼對質(zhì)點的引力》中,作者用微積分的方法分析了密度均勻的球殼對球殼內(nèi)外質(zhì)點所產(chǎn)生的萬有引力,得到了如下3個結(jié)論: (1) 密度均勻的球殼對球殼內(nèi)的質(zhì)點產(chǎn)生的萬有引力為0; (2) 球殼對球殼外的質(zhì)點產(chǎn)生的萬有引力等價于質(zhì)量相同的質(zhì)點在球心處對其產(chǎn)生的萬有引力; (3) 密度均勻的實心球體對質(zhì)點的萬有引力可以認(rèn)為是密度均勻半徑不同的球殼層層疊加,不難得到,在球外的質(zhì)點受到的萬有引力等價于質(zhì)量相同的質(zhì)點在球心對其產(chǎn)生的萬有引力,在球內(nèi)受到的萬有引力等價于球心到質(zhì)點為半徑的球(內(nèi)球)所產(chǎn)生的萬有引力,當(dāng)然也就等價于與該內(nèi)球質(zhì)量相同的質(zhì)點在球心處對其產(chǎn)生的萬有引力.

這3個結(jié)論仍然有許多深層次的問題值得思考,例如,(1) 為什么質(zhì)點在球殼內(nèi)所受到的萬有引力為0,而在球殼外受到的萬有引力卻可以將球殼看成質(zhì)量相同的質(zhì)點在球心處產(chǎn)生的萬有引力,這些等效背后所隱藏的物理機制是什么?(2) 同樣的3個結(jié)論可不可以對密度均勻的二維圓環(huán)適用,如果不適用,那么為什么不適用?(3) 上述的3個推論是一個偶然的結(jié)果,還是一個普遍的物理規(guī)律,對于其他形式的有心力是否也有類似的結(jié)論?

2 萬有引力與庫侖力的類比

本文用分析類比的方法將萬有引力和庫侖力相聯(lián)系,首先,類比庫侖力中的電勢的概念,我們用引力勢的方法回答了第(1)個疑問;其次,類比庫侖力中的高斯定理,我們對第(2)個疑問作了詳細的討論;最后,我們將萬有引力推廣到一般形式的有心力,得到了相應(yīng)的高斯定理,尤其對兩類特別的力(彈性力,1/r形式的力)作了具體的討論,得到了有趣的結(jié)果.這些疑問的解決,不僅能夠使學(xué)生深刻地把握萬有引力和庫侖力的聯(lián)系,更能夠突破教學(xué)難點,使得其他類似的問題在教學(xué)中迎刃而解,有效地提高教學(xué)的深度.

2.1 空間引力勢分布的求解

萬有引力和庫侖力是自然界中4種基本作用力的重要組成部分,也是物理教學(xué)難點,在電學(xué)當(dāng)中,帶電物體之所以能夠受到庫侖力,是因為源電荷在空間產(chǎn)生了電場.而電場的本質(zhì)是由于電勢的空間分布不均勻性導(dǎo)致的.這種空間的不均勻性在數(shù)學(xué)上用梯度()表示,即空間中任意一點的電場強度等于在該點電勢的負(fù)梯度.[6]類比電場強度和電勢這兩個概念,我們可以定義源質(zhì)點在空間中產(chǎn)生的引力勢不難看出,源質(zhì)點在空間所產(chǎn)生的引力場強度其中er為徑向方向的單位矢量,任意質(zhì)點所受到的萬有引力就等于質(zhì)點的質(zhì)量乘以該點處的引力場強度. 因此只要知道空間引力勢的分布就能夠準(zhǔn)確地計算出質(zhì)點在每一點處受到的萬有引力. 下面,我們利用引力勢這一概念來回答密度均勻的球殼對其內(nèi)外質(zhì)點所產(chǎn)生的萬有引力.

圖1 問題示意圖

我們接著要追問為什么質(zhì)點在球殼內(nèi)所受到的萬有引力為0,而球殼外質(zhì)點所受到的萬有引力卻可以等價于等質(zhì)量的質(zhì)點在球心處對其所產(chǎn)生的萬有引力,這里面隱藏著什么物理內(nèi)涵?聯(lián)想到電學(xué)中的高斯定理,即空間的電場對任一封閉曲面的通量E·dS正比于該封閉曲面所圍成的體積內(nèi)電荷的總電荷量.[6]類比這一定理,我們也可以認(rèn)為空間當(dāng)中的引力場強度對任一封閉曲面的通量f·dS正比于該封閉曲面所圍成的體積內(nèi)質(zhì)點的質(zhì)量. 這里我們注意到,由于球殼的密度均勻,所以根據(jù)對稱性原理,我們有理由認(rèn)為球殼在空間當(dāng)中所產(chǎn)生的引力勢應(yīng)該具有球?qū)ΨQ性. 對于空間中的兩點A、B,如果rA=rB,則UA=UB,相應(yīng)地,如果A、B兩點距離球心的距離相同,則它們引力場的大小相等且方向指向球心. 根據(jù)這一思想,要求球殼外的一點P處的引力場,我們可以作半徑為r的外球,P在球的表面上,在這個外球表面上每一點的引力場大小都是相同的,設(shè)為f,方向與外球殼的表面相垂直,則引力場強度對該外球表面的通量正比于球殼的質(zhì)量. 同樣如果將球殼換成質(zhì)量為M的質(zhì)點放置于球心處,此時空間的球?qū)ΨQ性沒有改變,那么由引力場的高斯定理可以看出,球殼在P點所產(chǎn)生的引力場和質(zhì)量為M的質(zhì)點在球心處產(chǎn)生的引力場是相同的.而對于球殼內(nèi)質(zhì)點在任意位置受到的萬有引力為0,那是因為球殼內(nèi)無引力場,這也很好理解,在球殼內(nèi)作任意一個曲面,由于在該曲面內(nèi)沒有引力源,所以引力場通量為0.這時只能有兩種情況,要么就是均勻的引力場,要么就是引力場為0. 根據(jù)引力場的對稱性,可以排除前者,所以在球殼內(nèi),質(zhì)點所受到的萬有引力為0.

這個引力勢需要分兩種情況討論:當(dāng)r=R時,引力勢U為負(fù)無窮;當(dāng)r≠R時,引力勢U=-2GMEllipticK(4rR/(r+R)2)/(r+R),其中EllipticK(x)函數(shù)是第一類完全橢圓積分函數(shù)K(x). 此時,我們注意到,質(zhì)點在圓環(huán)內(nèi)受到的萬有引力并不是0,因為圓環(huán)內(nèi)并不是一個等勢體,而在圓環(huán)外質(zhì)點受到的萬有引力也并不等于相同質(zhì)量的質(zhì)點在圓心處對其產(chǎn)生的萬有引力.這一“反?！钡慕Y(jié)果在于一方面從球殼到實心球是一種線性疊加,但是從圓環(huán)到球殼卻不能看出是一種簡單的線性疊加. 事實上,球殼是由圓環(huán)繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成的,其本質(zhì)是一種非線性疊加;另一方面在二維平面上,沒有類似的高斯定理,即使在圓環(huán)內(nèi),任一封閉的曲線內(nèi)部沒有引力源,但引力場強度并不為0(r≠0),質(zhì)點仍然受到萬有引力的作用.

2.3 廣義中心力場的引力勢及其高斯定理

從這一結(jié)果我們可以看出,無論力源是否包含在該曲面內(nèi),力場對該曲面的通量只與曲面所圍成體元的體積大小有關(guān),根據(jù)這一高斯定理,我們得到如下的推論:

對于彈性力,密度均勻的球殼對空間任一質(zhì)點的彈性力,都等效于質(zhì)量相同的質(zhì)點在球心處對其產(chǎn)生的彈性力.

具體的證明過程如下,設(shè)力源的質(zhì)量為M,則該力源在空間當(dāng)中產(chǎn)生的彈性力場為f=-Mr,則相應(yīng)的勢可以寫為U(r)=Mr2/2.利用相同的方法,可以求出質(zhì)量為M的球殼在空間任意一點所產(chǎn)生的力勢U(r)=M(r2+R2)/2,相應(yīng)地,球殼產(chǎn)生的力場f=-Mr,因此上述推論得到驗證.

3 總結(jié)

本文利用分析類比的方法,重點討論了密度均勻的球殼對球殼內(nèi)外質(zhì)點所產(chǎn)生的萬有引力.不僅將之前的結(jié)論進行深化,而且對部分結(jié)果進行了推廣,所有類比的結(jié)果都得到了理論嚴(yán)格論證.從這一分析類比法中不僅可以加深對萬有引力本質(zhì)的認(rèn)識,而且激發(fā)學(xué)生的求知欲,開拓學(xué)生的創(chuàng)新思維,對其他的教學(xué)難點也起到積極的借鑒作用.