淺談等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在含量詞導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

顧曉夢

摘要：等價(jià)轉(zhuǎn)化通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉，不規(guī)范，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉，具體甚至簡單的問題.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能，技巧.借助例題來探索等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在含量詞導(dǎo)數(shù)問題中的簡單應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：等價(jià)轉(zhuǎn)化；任意；存在；恒成立問題

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉，不規(guī)范，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉，規(guī)范甚至模式法，簡單的問題[1].一般來說常見的轉(zhuǎn)化有以下原則：由復(fù)雜到簡單，又陌生到熟悉，由抽象到具體，由一般到特殊以及數(shù)形結(jié)合等等.歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能，技巧[2] 下面通過幾個(gè)例子來探索等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在含量詞導(dǎo)數(shù)中的簡單應(yīng)用.

一、含有量詞的函數(shù)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化

例1.已知函數(shù) ，設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，若對于任意的 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

解析：對于任意的 ，總存在 ，使得 成立.即在 上的每一個(gè) 都大于或等于 ，且在 上只要有一個(gè) 滿足即可，故即為 .故將此題轉(zhuǎn)化為求 在 上的最小值 和 在 上的最小值 ，然后滿足 ，即將抽象的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為了具體的大小關(guān)系.

當(dāng) 時(shí)， ， ，令 = =0解得 .

當(dāng) 時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng) 時(shí)， 有最小值 = .

對于函數(shù) ， ，

（1）當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立，所以 在 上單調(diào)遞增，所以 > ，不成立（舍）

（2）當(dāng) 時(shí)，令 =0，解得 .

①若 即 時(shí) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 .

②當(dāng) 時(shí) 在 上恒成立，所以 在 上單調(diào)遞減，所以 ，所以 ，故 .綜上（1）（2）， .

例2.已知函數(shù) （ 且 ）， .

當(dāng) 時(shí)，若對 ，總 ，使得 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；（其中 為自然對數(shù)的底數(shù)）

解析：對于任意的 ，總存在 ，使得 成立。即在 上的每一個(gè) 都小于 ，且在 上只要有一個(gè) 滿足即可，故即為 .故將此題轉(zhuǎn)化為求 在 上的最大值 和 在 上的最大值 ，然后滿足 ，即將抽象的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為了具體的大小關(guān)系.

例3.已知 為實(shí)數(shù)，函數(shù) ，證明對任意的 ，不等式 恒成立.

解析：要證明對任意的 ，不等式 恒成立，即證明 ，即證明 ，即證明 在 上的最大、最小值滿足 ，即將抽象的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為了具體的大小關(guān)系.

例4.已知函數(shù) ， .設(shè) ≥1，函數(shù) ，若對于任意 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

解析：對于任意 ，總存在 ，使得 成立，即 上的每一個(gè) ，都會(huì)存在一個(gè) ， .記 在 上的值域?yàn)?， 在 上的值域?yàn)?， .所以此題就轉(zhuǎn)化為了分別求 和 在 上的值域 、 ，然后滿足 即可.

二、恒成立問題的轉(zhuǎn)化

例5.設(shè)函數(shù) 對任意 ，都有 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是___________

解析： 由題意知 ，在 上恒成立，可化為即 ，在 上恒成立，即 易知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最小值 ，所以 ，即 ，解得 或 .

例6.設(shè)函數(shù) ，若對所有的 都有 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

解析：（若分離參數(shù)，得 時(shí) ， ，令 求不出根，所以不能分離參數(shù)）

令 ，對函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)： ，令 解得 .

（1）當(dāng) 時(shí)，對所有 ， ，所以 在[0，+∞）上是增函數(shù)，

又 ，所以對 ，都有 ，即當(dāng) 時(shí)，對于所有 ，都有 ；

（2）當(dāng) 時(shí)，對于 ， 所以 在 是減函數(shù)，又 所以對 ，都有 ，即當(dāng) 時(shí)，不是對所有的 ，都有 成立.

綜上， 的取值范圍是：

例7.已知函數(shù) 其中 ，若 的最小值為1.求 的取值范圍.

解析： ，

① 當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間 上， ， 在 單調(diào)遞增.故 的最小值為 ；

② 當(dāng) 時(shí)，由 解得 .由 ，解得

所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間

上單調(diào)遞增，所以 在 處取得最小值 .

綜上可知，若 的最小值為1，則 的取值范圍是 .

三、可轉(zhuǎn)化為恒成立問題

例8.設(shè)函數(shù) （ ），若 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍.

解析： 的定義域?yàn)?，

要使“ 在 為單調(diào)增函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為“在 上 恒成立”，即 恒成立，即 .又函數(shù) 在 上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減， 在 上的最大值為1，所以當(dāng) 時(shí)， 在 為單調(diào)增函數(shù).

同理，要使“ 為單調(diào)減函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為“ 恒成立，再轉(zhuǎn)化為“ 恒成立”，即 .而 在 無最小值，又 ，所以當(dāng) 時(shí)， 在 為單調(diào)減函數(shù).

綜上所述，若 在 為單調(diào)函數(shù)，則 的取值范圍為 或 .

問題是熟悉的心臟，數(shù)學(xué)是思維的體操，這就告訴我們解決的方法多種多樣，多一種思維就多一種解決問題的方法.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，在解題中，無論哪種解題方法都或多或少的運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想[3].一題多解就是培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度去思考問題，從不同的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化.因此，在教學(xué)中，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行變式訓(xùn)練，可以拓寬學(xué)生的轉(zhuǎn)化思路，增強(qiáng)轉(zhuǎn)化能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]凌健. 化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008.

[2]唐曉穎. 化歸原則在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教研探索，2012.

[3]胡彥洲. 淺談數(shù)學(xué)解題策略與化歸策略的決策[J].甘肅高等學(xué)報(bào)，2010，15（2）.