反思對(duì)中職生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要性

摘 要：本文根據(jù)中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，針對(duì)性的指出數(shù)學(xué)解題過(guò)程中教師引導(dǎo)學(xué)生反思的必要性，總結(jié)了解題過(guò)程中每個(gè)環(huán)節(jié)反思的方法以及能提高學(xué)生哪些思維能力。數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，各個(gè)階段的反思不僅能促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題不斷地進(jìn)行觀察分析、歸納概括，而且能對(duì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行不斷地思考推理并能做出新的判斷，體會(huì)解題過(guò)程中的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感。逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：反思；思維能力；創(chuàng)新；邏輯；拓展；發(fā)散

中職數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而提高中職生思維能力應(yīng)注重創(chuàng)新性、邏輯性、拓展性、發(fā)散性等方面，在中職課程改革中，新課程的理念是倡導(dǎo)把課堂還給學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都成為學(xué)習(xí)的主人，其關(guān)鍵就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，尤其是學(xué)會(huì)反思。而許多數(shù)學(xué)教師在課改的過(guò)程中，往往只注重了自身的反思，卻忽視了對(duì)學(xué)生反思能力的培養(yǎng)。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《怎么解題》中給出了解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的四個(gè)階段：弄清問(wèn)題——擬定計(jì)劃——實(shí)現(xiàn)計(jì)劃——回顧反思。簡(jiǎn)言之，在數(shù)學(xué)解題中要有以下幾個(gè)步驟：審題——探究——表達(dá)——反思。但是在很多人的眼中，無(wú)論教師還是學(xué)生，認(rèn)為解題只是前面的三個(gè)步驟：理解題意，找到解題途徑，寫(xiě)出解答過(guò)程。特別是學(xué)生，他們解題的興奮點(diǎn)往往集中在答案上，一旦解出答案，就如釋重負(fù)，對(duì)解題后反思置之不理。而我認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生反思卻是提高學(xué)生思維能力的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，尤其是我所任教的中職學(xué)校，學(xué)生在初中時(shí)候所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性就比較薄弱，在解題過(guò)程中又不善于糾正和找出自己的錯(cuò)誤，能解出個(gè)答案就很開(kāi)心，當(dāng)完成任務(wù)了，根本上是缺乏解題后對(duì)解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括。殊不知，題后的反思才是真正能溝通各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間相互聯(lián)系，促進(jìn)并深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，只有這樣才能在原有的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)上建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而深化認(rèn)識(shí)并產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。因此，從某種程度上說(shuō)解題后反思比前三步還要重要！

一、 反思題目特點(diǎn) 培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

在新教改后的中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊課程中，有很多章節(jié)涉及數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的舉例，而我們的學(xué)生在一拿到題目的時(shí)候就遇到了題意理解方面的困難，大部分情況下，學(xué)生都喜歡憑著自己初中解題的經(jīng)驗(yàn)，采用習(xí)慣性的思維方式和熟悉的方法，將剛學(xué)到的公式硬套到題目中求解，采用盲目嘗試的辦法，剛想到一個(gè)念頭就動(dòng)手解題，當(dāng)在繼續(xù)解題中遇到更大的障礙時(shí)，他們是不管這個(gè)方法是否合理，還是義無(wú)反顧地繼續(xù)硬算下去，直到走進(jìn)死胡同碰壁了，算不出答案才死心，這時(shí)候也是最打擊他們自信心的時(shí)候，因此為了不讓他們?cè)诮忸}過(guò)程中走太多的彎路，教師在解題教學(xué)過(guò)程中，首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真審題之后對(duì)題目進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，不要墨守成規(guī)，學(xué)會(huì)變通，舉一反三，在反思的過(guò)程中獲取知識(shí)外更重要的東西。

反思：在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例題中，當(dāng)我們知道了a1、d、n、an、Sn五個(gè)量中的三個(gè)量，就可以求出其余的兩個(gè)量。針對(duì)不同情況，應(yīng)該分別采用什么樣的計(jì)算方法？

找對(duì)五個(gè)量中的已知量，并且找對(duì)對(duì)應(yīng)的公式，對(duì)答案起著重要的作用，因此，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探討，變換其中的已知量，從而加深對(duì)此題的理解，如：

生活實(shí)例：小明打算高三實(shí)習(xí)的時(shí)候到中國(guó)銀行做一年的零存整取儲(chǔ)蓄，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金500元，一年后，再取出全部的本利和。經(jīng)他去銀行了解后得知一年期的零存整取年利率是2.85%，而且銀行規(guī)定每次存入的錢(qián)不計(jì)復(fù)利（暫不考慮利息稅）。請(qǐng)大家?guī)退闼阋荒旰笏麑你y行取回多少錢(qián)？

此題首先考察的是學(xué)生在看完題目后能不能分析出題目中所隱藏的一個(gè)等差數(shù)列，這里教師就可以提示零存整取利息計(jì)算公式：利息=月存金額×累計(jì)月積數(shù)×月利率，引導(dǎo)學(xué)生得出每個(gè)月的利息其實(shí)就是一個(gè)等差數(shù)列，然后再去找出等差數(shù)列五個(gè)量a1、d、n、an、Sn中，題目給出的已知量，還有隱含的量，以及要我們求解的量，最后在選出我們?cè)撚媚膫€(gè)公式才能求解。從分析可算出的已知量有a1=500×1×0.2375%（倒數(shù)第一個(gè)月利息），d=500×0.2375%，還有隱藏的量n=12，而要我們求的量則是Sn，分析應(yīng)該選用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中的哪個(gè)公式計(jì)算？很顯然應(yīng)選用含有a1、d、n、Sn的第二個(gè)公式：Sn=na1+n（n-1）2d，解出n。

一變：若將題目的條件不變，結(jié)論改為兩年后他可以取回多少錢(qián)？

二變：小明希望到第12個(gè)月末整取時(shí)取得本利和為2000元，那么每月初應(yīng)存入的金額是多少？

教師應(yīng)該在反思習(xí)題的過(guò)程中做到多問(wèn)、多變，實(shí)現(xiàn)習(xí)題的橫向、縱向拓展，從而培養(yǎng)學(xué)生善于觀察題目的特點(diǎn)，快速抓住問(wèn)題的主要矛盾，達(dá)到培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力的目的。

二、 反思解題過(guò)程 培養(yǎng)邏輯思維能力

解決了來(lái)自審題的頭號(hào)問(wèn)題后，學(xué)生又面臨了尋找解題途徑的第二道坎，中職生在解題過(guò)程中很喜歡“只問(wèn)結(jié)果，不求過(guò)程”，在作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)一些邏輯不嚴(yán)密的過(guò)程，一旦解完題有了答案以后從來(lái)不去驗(yàn)證結(jié)果的正確性，沒(méi)有習(xí)慣做任何的反思、總結(jié)工作，這樣一些很容易解答的題目錯(cuò)誤率卻很高。因此，教師應(yīng)在學(xué)生解題后，可以設(shè)計(jì)一些解題思路的提示讓學(xué)生思考、選擇，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、方向，按照不同的方法來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生在提示的指引下或?qū)?wèn)題的思考過(guò)程中，不知不覺(jué)地提高邏輯推理水平。

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例題中，要想捕捉解題信息，我們可以從不同角度、不同方向變換觀察同一個(gè)問(wèn)題，如：

（1）題中的條件是什么，有幾個(gè)已知量？待求結(jié)論是什么，要求哪些量？

（2）探究應(yīng)選取哪個(gè)前n項(xiàng)和公式來(lái)應(yīng)用？

（3）解題方法怎樣確定——是需要用一個(gè)公式還是幾個(gè)公式一起應(yīng)用？

（4）之前的等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用中有無(wú)類(lèi)似題型——有類(lèi)似題型解法可供參考嗎？

（5）能否利用數(shù)形結(jié)合的方法建?！?huà)出圖表的形式來(lái)表示題目？

例：校團(tuán)委準(zhǔn)備在一樓的階梯教室舉辦校第十四屆團(tuán)代會(huì)，籌備小組的同學(xué)了解到，階梯教室共有10排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位，最后一排有40個(gè)座位，問(wèn)階梯教室可容納多少名學(xué)生代表？

解法1 由題意知，各排座位數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差d=2，a10=40，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出首項(xiàng)a1=22，然后再利用前n項(xiàng)和公式Sn=n（a1+an）2，算出S10=310

當(dāng)學(xué)生在用這個(gè)方法的時(shí)候會(huì)涉及等差數(shù)列的兩個(gè)常用公式an、Sn，而且有些繁雜的計(jì)算步驟會(huì)給本來(lái)計(jì)算能力就不強(qiáng)的中職生增加了一定的困難度，所以在這個(gè)基礎(chǔ)上可以提示學(xué)生再仔細(xì)觀察下題目，分析下有關(guān)等差數(shù)列的相關(guān)的幾個(gè)量，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)可以使用更加簡(jiǎn)便的方法。

解法2 將最后一排看作第一排，則a1=40，d=-2，n=10，因此只要一步，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式Sn=na1+n（n-1）2d就可以得到S10=310

反思其過(guò)程，善于變化思維角度，擺脫常規(guī)、繁難或錯(cuò)誤的思路尋找正確或較佳途徑的解決問(wèn)題。在解完一道題后，通過(guò)反思解題過(guò)程或題目的特殊因素，進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想，尋求新的解題途徑，可以使學(xué)生思維的靈活性在變換和化歸的訓(xùn)練中得到培養(yǎng)和發(fā)展。

三、 反思解題方法 培養(yǎng)拓展思維能力

正所謂“條條大路通羅馬”，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的魅力還在于，我們可以通過(guò)尋找不同的方法來(lái)開(kāi)拓自己的思路從而得到多種解法，不僅能拓展學(xué)生的思維能力，還能從中享受解題的樂(lè)趣。因此我們?cè)诮忸}之后還是要多角度思考是否還有其他解法，靈活變通，及時(shí)總結(jié)出解題技巧，讓思維更具有創(chuàng)造性。

實(shí)例：在“汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)拆裝”實(shí)訓(xùn)課前，李老師從實(shí)訓(xùn)處領(lǐng)來(lái)一盒氣缸密封墊圈打算上課的時(shí)候備用，總共是6個(gè)，其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，1個(gè)三等品，他從中任取3個(gè)給上午實(shí)訓(xùn)的班級(jí)使用，請(qǐng)問(wèn)其中沒(méi)有三等品的概率？

分析：從6個(gè)中取3個(gè)出現(xiàn)的不同種類(lèi)的次數(shù)為20計(jì)算公式是C36。

方法一：3個(gè)中沒(méi)有出現(xiàn)三等品則可以看成在3個(gè)一等品，2個(gè)二等品中選出3個(gè)，則沒(méi)有三等品的次數(shù)為的C35，則沒(méi)有三等品的概率為P=C35C36=1020=12。

方法二：沒(méi)有三等品則可以看成以下三種情況：3個(gè)一等品次數(shù)為C33=1種；2個(gè)一等品，1個(gè)二等品次數(shù)為C23·C12=6種；1個(gè)一等品，2個(gè)二等品次數(shù)為C13·C22=3種；則沒(méi)有三等品的概率為P=C33+C23·C12+C13·C22C36=1020=12。

方法三：設(shè)A={沒(méi)有三等品}，B={有三等品}，A和B為兩個(gè)互斥事件，且P（A）+P（B）=1，即P（A）=1-P（B），又因?yàn)镻（B）=C25·C11C36=1020=12，則P（A）=1-12=12。

通過(guò)反思解題方法的多樣性，讓學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，從不用的角度入手，去尋找更簡(jiǎn)潔、更適合自己的解題方法，并在尋求的過(guò)程中對(duì)類(lèi)似的題型進(jìn)行歸納整理，形成解題技巧，這樣的反思過(guò)程不僅拓展了學(xué)生的思維能力，還培養(yǎng)了學(xué)生歸納總結(jié)的能力。

四、 反思解題結(jié)果 培養(yǎng)發(fā)散思維能力

最后對(duì)解題結(jié)果的反思也是相當(dāng)重要，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中并不是你解出來(lái)的答案都符合現(xiàn)實(shí)條件，因此檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題意，符合實(shí)際尤為重要。在驗(yàn)證的過(guò)程中教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已掌握的知識(shí)和方法，進(jìn)行多角度、多方位的驗(yàn)證，也可以采用特殊值或具體數(shù)值的帶入驗(yàn)證，讓學(xué)生在驗(yàn)證中打開(kāi)思路、鍛煉發(fā)散思維能力。

例如在對(duì)城市軌道專(zhuān)業(yè)的學(xué)生上分段函數(shù)的課程中，我們就可以針對(duì)各地地鐵票制問(wèn)題創(chuàng)設(shè)出這樣的情境：我國(guó)的地鐵票制有以下三種：?jiǎn)我黄敝?、?jì)程票制和混合票制，作為全球地鐵里程數(shù)排名第二的上海地鐵，它的票制為0-6公里3元；6-16公里4元；16-26公里5元；26-36公里6元；36-46公里7元；46-56公里8元；56公里以上9元。請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們它屬于哪種票制呢？試用我們剛學(xué)過(guò)的分段函數(shù)來(lái)建立應(yīng)付的票價(jià)y（元）與實(shí)際乘坐的公里數(shù)x（km）之間的函數(shù)關(guān)系，并作出函數(shù)圖像。

解：設(shè)實(shí)際乘坐的公里數(shù)x（km），應(yīng)付的票價(jià)y（元）。列出分段函數(shù)為：

y= 3，0

3+0.1×（x-6），6

9，x>56。學(xué)生誤將6-56公里這段簡(jiǎn)單地認(rèn)為每增加十公里票價(jià)就增加1元，則每公里的票價(jià)就可以算成0.1元，就得出了以上的分段函數(shù)。我們將6～56公里中任取一個(gè)x值代入驗(yàn)證一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的不妥，比如x=35公里，代入得到y(tǒng)=5.9元，首先我們地鐵的票價(jià)都是整數(shù)，答案得到的5.9含有小數(shù)點(diǎn)這是很顯然的錯(cuò)誤，再來(lái)35公里對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是26-36公里6元這個(gè)區(qū)間的票價(jià)也和我們算出的答案不符，這一驗(yàn)證我們就可以很快地將之前那個(gè)分段函數(shù)判斷為錯(cuò)解。

通過(guò)對(duì)解題結(jié)果的反思，不僅能提高學(xué)生解題的正確率，同時(shí)讓學(xué)生在嘗試、探索、驗(yàn)證的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而培養(yǎng)其發(fā)散思維能力。

總之，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中反思的習(xí)慣。反思不僅可以幫助學(xué)生正確理解題意、尋求最佳途徑、多角度思考問(wèn)題、提高解題正確率，從而更好地幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)，減少盲目解題、無(wú)從下手、答不合題的毛病，提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)在反思的過(guò)程中能將運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)各項(xiàng)數(shù)學(xué)思維能力。所以反思如同一面鏡子，能幫助學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)自己的不足，只有通過(guò)不斷地改進(jìn)，才能實(shí)現(xiàn)真正的突破，取得更好的成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉奇毅.淺談初中數(shù)學(xué)課堂例題教學(xué)解后的反思[J/OL].百度文庫(kù).

作者簡(jiǎn)介：游潔，福建省福州市，福州機(jī)電工程職業(yè)技術(shù)學(xué)校（交通校區(qū)）。