兩物體牽連加速度的討論

丁衛(wèi)東

(江蘇省如皋中學,江蘇 如皋 226500)

1 緣起

人教社高中《物理》必修1中,有“探究物體加速度與拉力的關系”的實驗．對于本實驗的實施方案,教材推薦了如圖1所示的參考案例．在這個案例中,我們可以先不考慮小車受到的運動阻力,因為這可以讓小車在玻璃板上(或氣墊導軌上)運動,其所受到的運動阻力小到可以忽略不計．這時,我們就將懸掛物(砝碼及托盤)的總重力作為小車受到的拉力．

圖1

基于學生的認知水平,也為了突出教學的重點,教材的這樣處理是無可厚非的,合理的．只是這樣的處理,常常會給學生一個先入為主的認識:“小車所受拉力的大小等于懸掛物的重力”．學生這樣的認識,需要教師在以后的教學過程中,用一個相對較長的時間進行校正．總之一句話,此時懸掛物的加速度是忽略不計的．

在學生學習了牛頓第二定律后,我們懂得了“超重”和“失重”現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)在這類實驗中用來牽引小車的懸掛物也是有加速度的.這樣的加速度對實驗造成的影響我們是必須要考慮進去的．由于細繩是不可伸長的,所以小車和懸掛物在任意時間間隔內發(fā)生的位移大小都相等,兩者的速度大小也一定相等.由此可以推出,此時兩者的加速度大小總是相等．

對于這一結論,學生很好理解,而且印象深刻．

順便講一下,為了解決因懸掛物的加速度而引起的超重和失重問題,我們有幾種方法．一是在實驗過程中保證小車質量遠大于懸掛物質量,即M?m．這樣操作,可使系統(tǒng)加速度很小,懸掛物的失重現(xiàn)象不明顯,由于失重而引起的誤差不太大,在一般實驗條件下,可以忽略不計．一是用“實測”的方法來規(guī)避失重的影響,可借助于力傳感器、測力計等對小車所受到的拉力進行實時測量,這時對懸掛物的質量則不必進行限定．一是在實驗過程中保證小車與懸掛物的總質量M+m保持不變,這時也不必限定懸掛物的質量．這些都不是本文的重點,在這里不作贅述．

可見,兩物體間的“牽連加速度”問題變成了我們必須面對的,繞不過去的問題．

2 誤解

在學習了“運動的合成與分解”后,我們經常會分析討論這樣一類聯(lián)系實際的問題:

圖2

在如圖2所示的裝置中,汽車用跨過定滑輪的輕繩提升重物A．若已知汽車此時向右運動的速度大小為v車,與汽車相連部分的繩子與水平方向間的夾角為α,重物A還沒有到達滑輪處,試求重物A此時速度v物的大?。?/p>

對這類問題的分析,考慮到兩者是通過不可伸長的繩子相互牽連的,所以兩者在繩子方向上的運動不是獨立自由的,而是相互牽制影響的．所以兩者在繩子方向上的分速度是相等的,應該將汽車的速度沿“繩子方向”和“垂直于繩子方向”進行分解,從而建立關系方程．根據(jù)題中已知條件,有重物上升的速度大小為v物=v車cosα．

由于速度和加速度這兩個物理量都是矢量,都可以根據(jù)我們的需要進行分解,所以學生在得到上述結論后,很容易產生一種誤解:重物的加速度與汽車的加速度之間也存在著同樣的牽制關系,即a物=a車cosα．

對學生常犯的這種錯誤,限于高中階段的數(shù)學水平,我們只能用便于學生理解的初等方法來進行講解．一般來說,我們可采用“特殊值”和“反證法”來分析．

設汽車做勻速運動,即汽車的加速度為0,此時由v物=v車cosα可知,汽車在前進過程中,α角不斷減小,銳角范圍內的余弦函數(shù)為減函數(shù),顯然有重物的速度v物不斷增大,即重物做加速運動,其加速度a物是不為0的,而汽車的加速度a車=0,即兩者間并沒有a物=a車cosα這樣的關系式．

結論:用細繩(桿)相牽連的兩物體間的加速度關系,不能簡單地用“各自的加速度沿繩子方向的分量相等”來求解．也就是說,我們不能將兩物體速度間的制約關系遷移到加速度之間．

3 真相

為了能讓高中階段的學生更好地理解上述問題,并能弄清兩物體間加速度的制約關系,我們先來看這樣一個特例．

這個特例告訴我們,重物A由于轉動而具有的加速度是不能牽連到汽車上去的．

作為更一般的考慮,我們可以將重物A的實際加速度分解到“繩子方向”和“垂直于繩子方向”,則“繩子方向”上的分加速度中,要去除因重物做圓周運動而具有的“向心加速度”成份,就是能牽制繩子另一端汽車的加速度;同理,汽車的實際加速度也可以分解到它那一端的“繩子方向”和“垂直于繩子方向”,同樣,“繩子方向”上的分加速度中,去除因汽車做圓周運動而具有的“向心加速度”成份,就是汽車能牽制繩子另一端重物的加速度．

為了能讓讀者更清楚地看清這種一般關系,現(xiàn)例析如下.

在圖3中,設小車A用細繩跨過定滑輪牽引小車B,滑輪的大小忽略不計,滑輪距小車表面的高度為H,小車A沿水平面做勻速運動的速度為vA,某一時刻繩子的兩端與水平方向間的夾角分別為α和β．我們將兩小車的速度都進行如圖3所示的分解．顯然有

vBcosβ=vAcosα,

得小車B此時的速度大小為

圖3

整理可得小車B此時的加速度為

由于繩長是一定的,表達式中的α、β和H之間還存在著一定的數(shù)量關系,這里不再作進一步的推導．到這里我們不難發(fā)現(xiàn),造成這種關系的原因是,物體做圓周運動時,其線速度的方向與向心加速度的方向之間存在著的正交關系．

4 實訓

圖4

如圖4所示,物塊A和B用繞過定滑輪的輕繩相連,A的質量為m,B的質量為2m.A穿在光滑豎直固定的長直桿上,滑輪與桿間的距離為l．將A移到與滑輪等高處由靜止釋放,不考慮繩與滑輪間的摩擦,則下列說法正確的是

(A)A在下降過程中加速度先變大后變小.

(B)A剛釋放時它的加速度大小等于重力加速度g.

(C) 當A在下降過程中速度達到最大時,A與B速度大小之比為2 ∶1.

(D) 當A的機械能最小時,B的重力勢能最大.

本題的正確選項是(B)、(D),這里不多分析．現(xiàn)重點分析易錯的(C)選項．

由于學生不容易分析題中A、B兩物體之間的加速度關系,我們可以換一種分析方法．設物體A向下做勻速運動,即假設A的加速度恒為0,分析物體B的加速度的有無和方向,從而確定當A加速度為0時,繩中拉力大于2mg,就能排除選項(C)了．

為了能讓我們更為直觀地了解這一過程中兩物體的速度變化規(guī)律,本人利用“幾何畫板”軟件,由A、B兩物體組成的系統(tǒng)的機械能守恒關系,作出了兩物體的速度大小與繩子的偏轉角之間的關系圖像,如圖5所示．(為了圖像的可視性,縱坐標作了適當?shù)姆糯?橫坐標為角度的真實值．)由該圖我們更為直觀地看到,當A的速度達到最大時,B還處于加速階段．并且能夠看到,當繩子與水平方向間的夾角約為23°時,A的速度達到最大;當繩子與水平方向間的夾角約為43°時,B的速度達到最大．

圖5

兩物體間的牽連加速度是比較復雜的問題,不能簡單地將速度的牽連關系遷移到加速度上來．在我們不能利用求導的方法進行分析和計算的時候,利用初等方法,特殊值法,反證法,計算機輔助法進行分析和計算,也不失為一個很好的突破口．總之,教師可根據(jù)學生的具體情況和教學的實際條件,進行靈活把握,做到分層要求,合理取舍．