小球在圓弧軌道上滾動與滑動的對比分析

趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學(xué)建和分校，湖北 武漢 430065)

簡諧運動一直是物理競賽中的熱點考題.在第34屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題的第6、16兩題,以及復(fù)賽理論試題的第一題都考察了簡諧運動的情況,而圓弧軌道上的簡諧運動又是考察的重點．同時圓弧軌道上的簡諧運動以及相關(guān)動力學(xué)特性也是大學(xué)理論物理學(xué)習(xí)的重點.基于此本文借助圓弧軌道,針對均質(zhì)小球無摩擦滑動和無滑滾動問題的振動周期進行分析.首先應(yīng)用動力學(xué)特性求出兩種情況小球運動的微分方程,并給出平衡位置微振動的周期;然后從機械能守恒角度對以上兩種情況進行比較分析,發(fā)現(xiàn)無滑滾動周期可以直接借助無摩擦滑動得到;最后將相關(guān)結(jié)論應(yīng)用于競賽題中的圓柱滾動問題．

1 基本模型及兩種情況微振動周期

圖1

一個半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實心圓球被置于一個半徑為R的固定圓筒中,圓筒的中心軸水平,橫截面如圖1所示.θ為某時刻小球質(zhì)心到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角,兩種情況下小球都受到重力mg和支持力FN.考慮兩種情況下小球在其平衡位置的微振動周期.

(1) 小球無摩擦滑動.

考慮小球質(zhì)心的運動,由牛頓第二定律可得

-mgsinθ=ma，

聯(lián)立以上兩式，化簡即可得到微分方程

由小角近似sinθ≈θ,代入(1)式可得小球無摩擦滑動對應(yīng)微振動周期

(2) 小球無滑滾動.

此時小球除了受到重力mg和支持力FN以外,還受到圓筒對其的靜摩擦力f,考慮小球質(zhì)心運動,由牛頓運動定理得

f-mgsinθ=ma.

(3)

由于小球與圓柱之間為無滑滾動,小球轉(zhuǎn)過角度θ1(規(guī)定小球在最低點時θ1=0)與θ之間的關(guān)系為

Rθ=r(θ+θ1).

(4)

由(4)式可得a與θ的關(guān)系為

考慮小球繞過其球心且平行于圓筒的軸轉(zhuǎn)動,由轉(zhuǎn)動定理得

其中I為小球繞過其球心軸的轉(zhuǎn)動慣量

由(3)～(7)式可得無滑滾動小球在圓弧軌道上運動的微分方程

由小角近似sinθ≈θ,代入(8)式可得小球無滑滾動對應(yīng)微振動周期

2 能量角度對以上兩種情況的對比分析

分析以上兩種情況,無摩擦滑動和無滑滾動均沒有機械能損失,但從計算的微振動周期結(jié)果看T2>T1,即無滑滾動時周期更長,分析原因在于無滑滾動中滾動動能取代了部分平動動能,而總的機械能守恒,從而使質(zhì)心平動速度慢一些導(dǎo)致運動周期更長．

設(shè)兩種情況下小球初始時與豎直方向的夾角都為θ0,當(dāng)小球運動到θ位置時,對無摩擦滑動應(yīng)用機械能守恒定律有

對無滑滾動應(yīng)用機械能守恒有

小球繞過其質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度分別為

將(12)式代入(11)式,用平動動能取代轉(zhuǎn)動動能,化簡可得

比較(10)、(13)兩式可得

上式即表示在任意相同的位置,兩種情況所對應(yīng)小球的速度之比為上述結(jié)果,且小球經(jīng)歷的路徑相同,根據(jù)運動規(guī)律

∑si=∑viti，

(15)

可得兩種情況下小球微振動周期之比為

這與(2)、(9)所對應(yīng)的結(jié)果一致．

上文中(2)式這一結(jié)果在很多文獻中有所研究,[1,2]教科書中也將其作為經(jīng)典模型講解．[3]一般情況下可以將(2)式對應(yīng)結(jié)果直接使用,然后在借助能量分析計算其他模型與無摩擦滑動速度的比值,從而得到周期的比值關(guān)系,進而得到其他模型的周期．

3 能量守恒分析圓柱模型的周期

圖2

例.(第34屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試第一題)一個半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實心小圓柱被置于一個半徑為R、質(zhì)量為M的薄圓筒中,圓筒和小圓柱的中心軸均水平,橫截面如圖2所示．重力加速度為g．圓筒固定,小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近做無滑滾動,求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動的頻率．(原題有兩問,本題只分析第1問).

解析:能量守恒方法.

設(shè)初始時小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向夾角為θ0,當(dāng)小球運動到θ位置時,對小圓柱應(yīng)用機械能守恒定律有

小圓柱繞過其質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度分別為

將(18)式代入(17)式,用平動動能取代轉(zhuǎn)動動能,化簡可得

比較(10)、(19)兩式可以得到

此即表示在任意相同的位置,兩種情況所對應(yīng)速度之比為上述結(jié)果,結(jié)合(15)式,可得兩種情況下小球微振動周期之比為

代入(4)式結(jié)果即可得到小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動的周期和頻率為

與原題結(jié)果一致．