基于能量理論的手繩打結(jié)研究

張冬冬董一嘉黃松檀呂俊杰楊惠杰應(yīng)富強(qiáng)

(1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械技術(shù)系，浙江 杭州 310053；2.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014；3.中國(guó)聯(lián)合工程有限公司 裝備工程公司，浙江 杭州 310052)

0 引 言

目前，服裝行業(yè)的打結(jié)依舊是人工打死扣的方式，勞動(dòng)強(qiáng)度大、效率低?，F(xiàn)在的打結(jié)裝置大都是打結(jié)器，如農(nóng)業(yè)方面用于秸稈捆扎D型打結(jié)器，手術(shù)行業(yè)用于外科手術(shù)縫合的絲線打結(jié)器等，因此，對(duì)服裝行業(yè)的打結(jié)裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)研究具有一定的科研和市場(chǎng)價(jià)值。而在研究手繩打結(jié)過程中，拎手繩的能量分析是實(shí)現(xiàn)高成結(jié)率的重要一環(huán)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)打結(jié)開展了大量研究，中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)的張安琪博士[1-2]分析了打結(jié)器割繩脫扣機(jī)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究了打結(jié)器運(yùn)動(dòng)圖像與捆繩張力信息同步獲取系統(tǒng)；李海濤教授[3-4]對(duì)割繩脫扣機(jī)構(gòu)進(jìn)行了磨損分析與改進(jìn)設(shè)計(jì)；陳龍健教授[5]基于逆向工程技術(shù)對(duì)D型打結(jié)器進(jìn)行了三維重構(gòu)與運(yùn)動(dòng)仿真、打結(jié)鉗嘴載荷試驗(yàn)分析[6]；江蘇大學(xué)的尹建軍研究員[7-9]運(yùn)用剛?cè)峤佑|動(dòng)力學(xué)研究了打結(jié)器虛擬打結(jié)方法，設(shè)計(jì)了雙齒盤驅(qū)動(dòng)打結(jié)器，進(jìn)行了成結(jié)試驗(yàn)分析、動(dòng)作參數(shù)分析和打結(jié)試驗(yàn)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)的李哲教授[10]建立了海帶懸鏈線數(shù)學(xué)模型，通過將海帶線在4種狀態(tài)下的空間曲線向指定平面投影的方法證明扭轉(zhuǎn)打結(jié)法的可行性；天津大學(xué)岳龍旺等[11]設(shè)計(jì)了虛擬血管縫合系統(tǒng)，建立了縫合線力學(xué)模型；PHILLIPS J等[12]采用有自適應(yīng)功能的彈簧質(zhì)點(diǎn)模型來對(duì)繩子進(jìn)行了模擬打結(jié)。上述研究著重于運(yùn)動(dòng)仿真、動(dòng)作功能、結(jié)構(gòu)性能分析及空間結(jié)構(gòu)參數(shù)分析等，并未從能量角度分析打結(jié)過程中繩子狀態(tài)來指導(dǎo)打結(jié)裝置的設(shè)計(jì)。

本文將根據(jù)手工打結(jié)的原理，利用能量理論分析打結(jié)過程中不同階段手繩的狀態(tài)，研制手繩打結(jié)裝置，并進(jìn)行穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)。

1 手繩數(shù)學(xué)模型

手繩手工打結(jié)方式如圖1所示。

圖1 手繩打結(jié)方式

筆者通過手工打結(jié)的原理，來建立手繩數(shù)學(xué)模型。

從微分思想出發(fā)，任意取手繩的微小段，繩微端的一端拉力為T1，另一端拉力為T2，手繩的線密度為ρ，受到重力為ρgΔl。

手繩微段受力如圖2所示。

圖2 手繩微段受力

由物體受力平衡條件可得：

(1)

式中：T1H—下端拉力X軸分量；T1V—下端拉力Y軸分量；T1W—下端拉力Z軸分量；T2H—上端拉力X軸分量；T2V—上端拉力Y軸分量；T2W—上端拉力Z軸分量。

由圖2可看出：繩的張力在X和Z軸方向上的分量是相等的，而在Y軸方向上的分量是隨著x和z的變化而變化，設(shè)Y軸方向上的分量為T(x,z)，根據(jù)式(1)可得：

T(x+Δx,z+Δz)=T(x,z)+ρgΔl

(2)

(3)

(4)

由一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：

(5)

由圖1可得：

(6)

聯(lián)立式(4～6)得：

(7)

由T(x)=T2H×f′(x)，可推出：

T′(x)=T2H×f″(x)

(8)

聯(lián)立式(7,8)可得：

(9)

設(shè)a=T2H/ρg，可解得：

(10)

式中：a—懸鏈系數(shù)；c1，c2—任意常量。

式(10)為手繩的數(shù)學(xué)模型。

2 手繩的能量

在打結(jié)過程中，繩圈的穩(wěn)定直接影響打結(jié)的成功率，而繩圈的穩(wěn)定關(guān)系比較大的往往是其自身的穩(wěn)定。由能量理論可知：能量總是由高能量狀態(tài)向低能量狀態(tài)轉(zhuǎn)變，所以穩(wěn)定的繩圈就是其處于低能量狀態(tài)；而高能量狀態(tài)的繩圈會(huì)有向低能量狀態(tài)的繩圈自動(dòng)轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)，在高能量向低能量轉(zhuǎn)變過程中容易導(dǎo)致繩圈發(fā)生不利于穩(wěn)定的不規(guī)則變形，從而提高成結(jié)難度。

本文分析手繩的繩圈能量從懸掛約束下的拎手繩的重力勢(shì)能、纏繞成圈中的彎曲能量Eb和成結(jié)中的扭轉(zhuǎn)能量Et著手。

2.1 手繩的重力勢(shì)能

手繩的勢(shì)能通常分為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能[13]。在手繩懸掛約束待打結(jié)狀態(tài)下，前者占主導(dǎo)地位，因?yàn)槔K子沒有張緊，形變很小，彈性勢(shì)能很小，可以不考慮。

根據(jù)上文拎手繩數(shù)學(xué)模型來分析拎手繩重力勢(shì)能的最小空間狀態(tài)，本研究取懸掛約束到纏繞到170°過程中的某一狀態(tài)為例進(jìn)行定量分析，在這一狀態(tài)下兩端固定，手繩纏繞示意圖如圖3所示。

圖3 手繩纏繞示意圖

A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)為手繩纏繞過程中的兩定點(diǎn)。其中：A點(diǎn)是圓周的四等分點(diǎn)，B點(diǎn)是另一固定點(diǎn)。設(shè)經(jīng)過這兩點(diǎn)的曲線y=f(x)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，該段曲線的重心坐標(biāo)為(x,y)，那么由弧長(zhǎng)公式可得：

(11)

由重心公式可得：

(12)

因?yàn)橛懻摰氖鞘掷K的重力勢(shì)能只與重心的高低有關(guān)，只需考慮y0的大小即可，這樣設(shè)泛函J(y)為：

(13)

(14)

(15)

把式(15)代入式(14)，得：

1+(y′)2-y*y″=0

(16)

解式(16)微分方程得：

(17)

式中：a，c—常數(shù)，由以上各式的推導(dǎo)過程可知。

從引入歐拉拉格朗日方程，每一步推導(dǎo)都是在臨界狀態(tài)下進(jìn)行，從而反證出，過兩定點(diǎn)的曲線中，懸鏈線的重心最低，即懸鏈線的勢(shì)能最小。

由圖3可知：在纏繞到170°的過程中重力勢(shì)能占主導(dǎo)地位，再由上述推導(dǎo)得懸鏈線的勢(shì)能最小，所以按懸鏈線纏繞方式的拎手繩能量最低，最穩(wěn)定。

2.2 手繩的彎曲能量

根據(jù)打結(jié)過程，第二階段是成繩圈，即繩彎曲成圈的過程，所以本研究考慮手繩的繩圈彎曲能量，對(duì)手繩進(jìn)行簡(jiǎn)化分析，將手繩投影到二維平面為一曲線。

設(shè)該手繩投影曲線r=r(s)，其中s是弧長(zhǎng)，平面曲線向量分布如圖4所示。

圖4 平面曲線向量分布

曲線可表示為：

r(s)=(x(s),y(s))

(18)

因此，可以計(jì)算出其單位切向量：

α(s)=r′(s)=(x′(s),y′(s))

(19)

在此向量平面中，有且僅有一個(gè)與α(s)垂直的正交的單位向量，即：

β(s)=(-y′(s),x′(s))

(20)

由單位正交向量知識(shí)可知：α(s)是單位向量，存在與其正交的單位向量α′(s)，使得α(s)⊥α′(s)。從而平面曲線r=r(s)的相對(duì)曲率可計(jì)算得：

α′(s)=κrβ(s)?κr=α′(s)·β(s)

(21)

由以上推導(dǎo)可知，手繩二維平面曲線的Frenet公式為[14]：

(22)

其中，α(s)與x軸的正向夾角記作θ(s)，θ(s)為α(s)切向量，同樣也為α(s)的方向角。這時(shí)α(s)可表示為：

α(s)=(cosθ(s),sinθ(s))

(23)

聯(lián)立式(18，20)，可得：

(24)

對(duì)式(24)再次求導(dǎo)，可得：

(25)

其中，α′(s)=(x″(s),y″(s))。則：

α′(s)=(x″(s),y″(s))=(-sinθ′(s)·θ′(s),
cosθ′(s)·θ′(s))

(26)

式(26)兩邊點(diǎn)乘β(s)，聯(lián)合式(20，23～25)，可得：

α′(s)·β(s)=(-sinθ′(s)·θ′(s),cosθ′(s)·θ′(s))·
β(s)=(sin2θ′(s)+cos2θ′(s))·θ′(s)=θ′(s)=κr

(27)

手繩打結(jié)過程中彎曲成繩圈時(shí)要保持穩(wěn)定狀態(tài)，即低能量狀態(tài)，需符合能量最小原則。由MOLL M等[15]對(duì)能量最小原則研究方法的研究結(jié)果可知：彎曲狀態(tài)下的曲線會(huì)產(chǎn)生方向角θ(s)，可以通過每一微段的方向角θ(s)來判斷手繩二維平面的曲線形狀。所以本研究將手繩等長(zhǎng)度均分，記每一等分段為手繩的單位長(zhǎng)度，分析每一等分段的方向角。

手繩在二維平面投影的曲線彎曲示意圖如圖5所示。

圖5 手繩彎曲示意圖

由文獻(xiàn)[16]可知繩圈的單位彎曲能量公式：

(28)

式中：Eb—彎曲能量；Kb—彎曲剛度；c(s)—曲率，即κr。

通過聯(lián)立式(27，28)可計(jì)算得到曲線的單位彎曲能量：

Kbθ′(s)1θ′(s)2

(29)

當(dāng)且僅當(dāng)θ′(s)1=θ′(s)2時(shí)，有：Eb(min)=Kbθ′(s)1θ′(s)2。

對(duì)θ′(s)1=θ′(s)2兩邊積分，可得：

(30)

計(jì)算時(shí)，手繩曲線的方向角設(shè)為0，將θ(s)0=0將帶入式(30)，可得：當(dāng)且僅當(dāng)方向角θ(s)1=θ(s)2時(shí)，手繩曲線的等分段彎曲能量最小，這時(shí)手繩處于低能量狀態(tài)，其較為穩(wěn)定。由此可得：曲線彎曲的形狀趨于圓形時(shí)，手繩彎曲能量最小，最穩(wěn)定。

在纏繞成繩圈的過程中，即纏繞170°到400°之間(角度從試驗(yàn)中測(cè)得)，在此過程中，繩子的重心變化小，所以重力勢(shì)能較小，彎曲能量占主導(dǎo)地位。由式(28)可知：該階段影響能量的主要因素是纏繞時(shí)繩圈的曲率。

2.3 手繩的扭轉(zhuǎn)能量

分析打結(jié)過程中，手繩繩圈扭轉(zhuǎn)能量前，本研究做一個(gè)手動(dòng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行直觀演示。

繩圈扭轉(zhuǎn)實(shí)例如圖6所示。

圖6 繩圈扭轉(zhuǎn)實(shí)例

用雙手將繩子伸直，該情況下，Lk=Tw=0(其中，Lk—環(huán)繞數(shù)，Tw—扭轉(zhuǎn)數(shù))，繩子產(chǎn)生的能量為0，如圖6(a)所示。

雙手用力將實(shí)驗(yàn)用繩子自身產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)并拉直，此時(shí)，指尖明顯能感覺到繩兩端有想復(fù)原較大扭力，而且如果對(duì)繩扭轉(zhuǎn)越多，反抗的扭矩也越大，手指不跟著增加力道容易使得繩脫落，這時(shí)環(huán)繞數(shù)和扭轉(zhuǎn)數(shù)都大于1，如圖6(b)所示。

繼續(xù)增加繩的扭轉(zhuǎn)數(shù)后，放掉兩手橫向伸直力，繩就變成纏繞麻花狀如圖6(c)所示。在增加扭轉(zhuǎn)數(shù)過程中，繩自身的抵抗能量，即扭轉(zhuǎn)能量，越來越大。

通過手工扭轉(zhuǎn)繩子實(shí)驗(yàn)可得，繩圈的扭轉(zhuǎn)數(shù)是產(chǎn)生繩圈扭轉(zhuǎn)能量的主要影響因素，所以分析繩圈能量時(shí)，對(duì)繩圈的扭轉(zhuǎn)能量通過扭轉(zhuǎn)能量公式進(jìn)行分析[17]：

(31)

式中：Et—扭轉(zhuǎn)能量；Kt—扭轉(zhuǎn)剛度；Tw—扭轉(zhuǎn)數(shù)；L—繩子長(zhǎng)度。

最后成結(jié)階段，繩圈已不需再纏繞彎曲且重心不變，所以彎曲能量和重力勢(shì)能不變。一繩端移動(dòng)另一端固定使得繩自身開始繃緊，使得繩自身為擺脫繃緊有扭轉(zhuǎn)趨勢(shì)，所以在成結(jié)階段扭轉(zhuǎn)能量占主導(dǎo)地位。

由式(31)可知：Kt和L是繩子材料的固有屬性都為不變量，所以在成結(jié)階段影響能量的主要因素是扭轉(zhuǎn)數(shù)Tw。繩子的扭轉(zhuǎn)數(shù)越少有利于穩(wěn)定快速成結(jié)。

3 打結(jié)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述理論分析，試驗(yàn)在手繩打結(jié)裝置平臺(tái)上進(jìn)行，該試驗(yàn)平臺(tái)由繞繩機(jī)構(gòu)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、成結(jié)機(jī)構(gòu)及控制部分組成，控制部分為步進(jìn)電機(jī)，調(diào)速由外接的調(diào)速控制器來實(shí)現(xiàn)。

手繩打結(jié)裝置樣機(jī)如圖7所示。

5.3 mm直徑的手繩打結(jié)實(shí)驗(yàn)過程如圖8所示。

圖8 5.3 mm直徑的手繩打結(jié)實(shí)驗(yàn)過程①移動(dòng)軸；②手繩；③繞繩部分

5.3 mm拎手繩由繞繩機(jī)構(gòu)從0°旋轉(zhuǎn)到170°之間，繩子的重力勢(shì)能起主要作用，所以拎手繩在旋轉(zhuǎn)到170°之前，投影到二維平面，符合懸鏈線方程，其勢(shì)能最小。在170°～400°，用于打結(jié)部分的繩段接近于圓，這階段彎曲能量起主要阻礙作用。最后成結(jié)過程中，繩子的自身扭轉(zhuǎn)起主要阻礙作用，自身的扭轉(zhuǎn)數(shù)越少，越容易成結(jié)。

由于一次實(shí)驗(yàn)成功不足以說明成結(jié)穩(wěn)定性，本文又進(jìn)行魯棒性試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程如圖9所示。

針對(duì)不同直徑的手繩進(jìn)行的打結(jié)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 不同直徑的手繩打結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知:成繩圈過程中是沿著移動(dòng)軸外表面纏繞，所以軸表面應(yīng)有一定摩擦力，也就是對(duì)移動(dòng)軸表面做一些改進(jìn)，增加其阻礙繩子移動(dòng)的力度，這樣成繩圈就容易，彎曲能量就低。從圖9(a,e)可以看出：在成結(jié)階段由于繩直徑相對(duì)于凹槽過大或者過小都無法成結(jié)，尤其直徑大于6 mm的拎手繩成圈所需拉力大，產(chǎn)生的彎曲能量也大，成結(jié)越困難。直徑小于2 mm的拎手繩，在成結(jié)階段，由于凹槽直徑大于拎手繩直徑，無法帶動(dòng)拎手繩成結(jié)；拎手繩直徑對(duì)打結(jié)成功率影響較大，打結(jié)失敗都是發(fā)生在最后的成結(jié)的過程中，直徑越大的拎手繩在成結(jié)過程中越能抵抗自身的運(yùn)動(dòng)，也就是扭轉(zhuǎn)能量越大，打結(jié)越容易失敗。本文的打結(jié)實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)于直徑在2.8 mm到5.3 mm之間的拎手繩打結(jié)成功率具有一定穩(wěn)定性。

由上述知：整個(gè)打結(jié)過程分為待打結(jié)、繞繩圈及成結(jié)，且3個(gè)階段的主導(dǎo)能量分別為重力勢(shì)能、彎曲能量及扭轉(zhuǎn)能量。通過對(duì)繩段進(jìn)行受力分析，待打結(jié)狀態(tài)下手繩只受重力勢(shì)能，解微分方程得到懸鏈線狀態(tài)下手繩處于最低重力勢(shì)能，所以實(shí)驗(yàn)過程中先使待打結(jié)的手繩懸垂接近懸鏈線狀態(tài)；對(duì)繞繩過程中手繩的繩端進(jìn)行分析，得到繩圈越接近圓其彎曲能量越小，所以試驗(yàn)過程中手繩繞著圓軸形成繩圈；根據(jù)扭轉(zhuǎn)能量公式得繩子自身的扭轉(zhuǎn)數(shù)越少扭轉(zhuǎn)能量就越小，于是最后成結(jié)階段不用特別考慮能量只需成結(jié)速度快。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)手工打結(jié)的原理，利用能量理論分析了打結(jié)過程中不同階段手繩的狀態(tài)，研制了手繩打結(jié)裝置，并進(jìn)行了穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)。

本文后續(xù)的研究為：完成到移動(dòng)軸帶動(dòng)繩端成結(jié)的過程的三維數(shù)學(xué)模型，研究纏繞速度與能量的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)打結(jié)，研究最優(yōu)打結(jié)軌跡及打結(jié)過程中繩子的張力大小、擺動(dòng)幅度及繩端的跨度。